精品解析：云南省临沧市部分学校2024-2025学年高一下学期期末统测数学试卷

云南省临沧市部分学校2024-2025学年高一下学期期末统测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【详解】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 2. 已知正数a，b满足，则ab的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接使用基本不等式即可. 【详解】由正数a，b，且，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依据，直接计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：D 4. 已知为上的奇函数，当时，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据，简单计算即可. 【详解】由题可知：函数为上的奇函数，所以， 又当时，，则， 所以. 故选：B 5. 若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得该圆锥底面半径、母线长，则可得高，再利用体积公式计算即可得. 【详解】由题意可得该圆锥底面半径为，母线长为， 则高为，则. 故选：A. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 7. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出图形，利用正弦定理和余弦定理计算即可得. 【详解】如下图：由题可得、、，，， ，即， 故，则，则， 故. 故选：C. 8. 已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，，由定义域排除CD，根据单调性排除B，得到答案. 【详解】当时，取得最大值，则，所以， 由，得，C，D错误． 当时，单调递减，B错误． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助向量数量积的坐标形式、模长公式及投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：由，故与的夹角为锐角，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：ABD. 10. 连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】借助相互独立事件的定义逐项验证即可得. 【详解】，，，， 对A：，， 故与不相互独立，故A错误； 对B：，，有， 故与相互独立，故B正确； 对C：， 故与不相互独立，故C错误； 对D：，，有，’ 故与相互独立，故D正确； 故选：BD. 11. 在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，等体积转化，直接判断；对B，建系，计算量两平面的法向量进行判断即可；对C，计算判断可得结果；对D，利用向量计算正弦值为，然后判断即可. 【详解】对A，如图 ，因为点到平面的距离为定值，为定值， 所以棱锥的体积为定值，故A正确； 对B，建立空间直角坐标系如图所示： 设正方体的棱长为2，所以，其中， ， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以，令，所以， ，令，所以 若平面平面CDP，则，不符合题意， 所以B正确； 对C，又，所以，若平面， 所以，所以点不唯一，故C错误； 对D，，平面的一个法向量为， 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值为 令，则，当时，有 所以直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 【答案】26 【解析】 【分析】法一，由也是方程的根，然后利用韦达定理可知；法二，将代入方程，利用复数相等概念建立方程求解求可得. 【详解】法一：因复数是关于的方程的根， 则其共轭复数也是方程的根， 所以由韦达定理得. 法二：因为复数是关于的方程的根， 所以， 解得. 13. 已知半径为2的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，则该圆锥的轴截面（等边三角形）的边长为，利用等面积法可得出关于的等式，解出的值，可得出该圆锥的母线长，利用圆锥的表面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，则该圆锥的轴截面（等边三角形）的边长为， 借助等面积法可得，解得， 则该圆锥的母线长， 故该圆锥的表面积. 故答案为：. 14. 已知函数（）图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为5，在上单调，且，则__________，的最小正值为__________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据余弦函数的图象与性质即可求解． 【详解】设的最小正周期为T．由题意得，得，则． 因为在上单调，且， 所以的图象关于点对称， 则（），得（）， 故的最小正值为． 故答案为：，． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． （1）求角； （2）求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式可得，根据三角形为钝角三角形即可求解； （2）由余弦定理求出即可求解. 【小问1详解】 由，得， 解得， 因为为钝角，所以． 【小问2详解】 因为，，， 所以， 解得， 所以的周长为． 16. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助频率之和为计算即可得； （2）借助平均数计算即可得； （3）借助分层抽样的性质可得这6名员工中成绩在与的人数，再借助列举法计算即可得解. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 ， 故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 ，， 则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、， 这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、， 则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、 、、、、、、、、、、，共种， 其中这2名员工的成绩都在内情况有： 、、、、、，共种； 故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为. 17. 若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． （1）证明：函数是“子集函数”． （2）判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． （3）若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）不是“子集函数”，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到证明； （2）同理利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到判断； （3）利用函数的定义域可求值域，再利用包含关系可求参数的范围. 【小问1详解】 证明：若，则定义域为， 可得值域为， 由于，所以是“子集函数”． 【小问2详解】 不是“子集函数”．理由以下： 由于，可得，则的定义域为． 由，则，即的值域为． 因为，所以不是“子集函数”． 【小问3详解】 由，得， 则， 因为，所以的值域为． 因为是“子集函数”，所以， 则，解得， 故a的取值范围为． 18. 如图，在直三棱柱中，为AB的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，连接交于点，连接 在直三棱柱中，，所以四边形为正方形， 所以为的中点，又为AB的中点，所以，又平面， 平面，所以平面 （2）证明：在直三棱柱中，，为AB的中点， 所以，又平面，平面，所以， 平面，所以平面，又平面， 所以平面 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，得到，然后根据线面垂直的判定定理可得； （2）利用，，结合面面垂直的判定定理可得； （3）建立空间直角坐标系，分别计算平面的一个法向量为，，然后根据向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 以为原点，为轴，为轴，过点在平面作的垂线作为轴， 如图所示，设 又，所以， 所以， 则， 设平面的一个法向量为 则，令，所以，所以 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为 19. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式，结合互斥事件概率加法来计算； （2）利用独立事件概率乘法公式，结合分类讨论，可得互斥事件概率加法来计算. 【小问1详解】 根据题意可知，比赛3局结束的事件为前两局中，甲或乙中有一个人胜了一局且另一局为平局或败局， 第三局由前两局中胜一局的一方获胜， 所以比赛3局结束的概率为：， 【小问2详解】 根据题意可知，甲最终获胜的可能性有： ①两局后获胜，即连续胜两局，此时概率为； ②三局后获胜，且前两局有一局没获胜， 此时概率为； ③四局后以胜2局获胜，且前三局只胜一局，另两局没有全败，此时概率为； ④四局后以胜1局获胜，且另外3局全是平局，此时概率为； 所以设“甲最终获胜”为事件，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省临沧市部分学校2024-2025学年高一下学期期末统测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知正数a，b满足，则ab的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. -9 B. 9 C. -4 D. 4 4. 已知为上的奇函数，当时，，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 5. 若一个圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 小华为测量A，B（视为质点）两地之间的距离，选取C，D（与A，B在同一水平面上）两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则A，B两地之间的距离是（ ） A. 40米 B. 米 C. 米 D. 60米 8. 已知函数，当时，取得最大值n，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 在正方体中，M，N分别为线段的中点，为正方形内（包含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 不存在点，使得平面平面CDP C. 存在唯一的点，使得平面 D. 直线PM与平面ABCD所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是关于的方程的根，则_________________. 13. 已知半径为2的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为______________. 14. 已知函数（）图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为5，在上单调，且，则__________，的最小正值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． （1）求角； （2）求的周长． 16. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 17. 若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． （1）证明：函数是“子集函数”． （2）判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． （3）若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，为AB的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局.已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立. （1）求比赛3局结束的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $