精品解析：四川省南充市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题

南充市2023—2024学年度下期普通高中二年级学业质量监测数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将签索写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 30 6. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 为了研究某校学生脚长（单位：厘米）和身高（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ） A. 162 B. 164 C. 168 D. 170 8. 定义在的函数满足，且当时，．设在上的最大值为，其数列的前项积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. 服从二项分布 C. D. 若，则 10. 已知，则下列结论中正确是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 若，使得成立，则实数的取值范围为 C. 若，则必有两个不同的零点 D. 若有两个不同的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三个数成等比数列，则______． 13. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______． 14. 某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有______种． 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且是数列的前项和. （1）求数列通项公式； （2）设，数列的前项和，求证：. 16. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最值． 17. 已知是数列的前项和，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 18. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？ （2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈． ①用表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求的分布列和数学期望及方差； ②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率． 附：．其中． 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间； 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有， 则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么 ①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有； ②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有 其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数． 根据以上内容，完成如下问题： （1）求函数的凹的区间和凸的区间； （2）若在区间上图象是凹，求实数的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南充市2023—2024学年度下期普通高中二年级学业质量监测数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将签索写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可得解. 【详解】由题意从A村经B村再去C村，不同路线的条数是条. 故选：B. 2. 在等差数列中，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列项的性质计算即可. 【详解】因为是等差数列， 所以,所以. 故选：D. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线对称性，知对称轴为直线，即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态密度曲线关于对称， . 故选：. 4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第3个图中的点比第1个图中的点分布更为集中， 所以， 第2，4图表示的负相关，且第4个图中的点比第2个图中的点分布更为集中， 所以，所以， 综上所述，. 故选：C. 5. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入得出答案. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中常数项为， 故选:C. 6. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解． 【详解】记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件， 则，， 故． 故选：D． 7. 为了研究某校学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ） A. 162 B. 164 C. 168 D. 170 【答案】A 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点求出，再把代入回归方程计算． 【详解】，所以，解得． 所以回归方程为，当时，． 故选：A． 8. 定义在的函数满足，且当时，．设在上的最大值为，其数列的前项积为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到当时，得到，得出，求得，结合指数函数的性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，定义在的函数满足，即， 因为当时，， 所以当，函数， 则当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为； 当时，的最大值为， 所以，可得， 当时，可得，所以 当时，，可得；当时，，可得， 当时，，可得； 当时，由指数函数的性质，可得，所以， 即， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中．有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. 服从二项分布 C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据超几何分布定义判断，对于B，根据二项分布的定义判断，对于C，根据二项分布的概率公式求解判断，对于D，根据二项分布的期望公式求出，进而可求出. 【详解】对于AB，根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为， 所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，则随机变量服从二项分布，所以A错误，B正确， 对于C，因为，所以，所以C错误， 对于D，因为，所以， 所以，所以D正确， 故选：BD 10. 已知，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项式定理得出的展开式，再逐一判断即可. 【详解】因为， 所以. 又，， ， 所以ABD正确，C错误； 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 当时，恒成立 B. 若，使得成立，则实数的取值范围为 C. 若，则必有两个不同的零点 D. 若有两个不同的零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用求出的最大值进行判断，对于B，由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可，对于C，，得，令，转化为与的交点，画出函数图象结合图象分析判断，对于D，利用分析法分析判断. 【详解】对于A，当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以A正确， 对于B，，使得成立，则，使成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，所以B错误， 对于C，由，得， 令，由选项B可知在上递增，在上递减，， 当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示， 由图可知当时，与的图象有两个不同的交点， 则有两个不相等的零点，所以C正确， 对于D，不妨设，因为有两个不同的零点， 所以，即， 所以， 要证，只要证，即证， 所以只要证，即， 令，则， 所以只要证， 令，则， 令，则， 所以在上递增，所以， 所以，所以在上递增， 所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用导数求函数的单调区间，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，若三个数成等比数列，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由等比中项的定义列出等式，解方程即可. 【详解】因三个数成等比数列，所以， 即. 故答案为：. 13. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“新不动点”的定义列方程求解即可. 【详解】由，得， 由，得， ，得， 所以， 因为，所以， 所以，得， 所以在区间上的“新不动点”为. 故答案为： 14. 某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有______种． 【答案】150 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分组分配问题和分步乘法计数原理和分类加法计数原理求解． 【详解】当甲乙两位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时， 则不同的分配方案种数为， 则不同的分配方案种数共有． 故答案为：150． 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且是数列的前项和. （1）求数列通项公式； （2）设，数列的前项和，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可； （2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可. 【小问1详解】 由于则， 则，因此， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 则，即. ， 由于，则，故成立. 16. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是． 【解析】 【分析】（1）求出的值，即可由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最值即可． 【小问1详解】 ，故切点是， 由得， 故切线方程是：，即 【小问2详解】 ， 令，解得：或2， ，，的变化如下： 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，，， 故函数的最大值是，最小值是． 17. 已知是数列的前项和，且满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，可得，得到证明. （2）由（1）可得，则，则，利用错位相减求和法计算得到答案. 【小问1详解】 ， 当时，，解得， 当时，，， 两式相减得，， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， ， 则， 两式相减得， ， 所以. 18. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 40 20 60 不经常整理错题 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？ （2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈． ①用表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求的分布列和数学期望及方差； ②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率． 附：．其中． 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关，理由见解析； （2）①分布列见解析，，；② 【解析】 【分析】（1）由列联表中数据，计算卡方，进行独立性检验即可； （2）①由的可能取值结合超几何分布计算相应的概率，列出分布列，计算期望以及方差； ②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()， “这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”，由条件概率计算，再由全概率公式计算即可. 【小问1详解】 零假设为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关. 根据列联表中数据，经计数得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联. 【小问2详解】 ①由等比例的分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人. 的可能取值为. ， 则的分布列为 0 1 2 数学期望. 方差； ②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()， “这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀” 则 ， 据全概率公式得：. 所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为. 19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下： 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间； 设在区间上连续，如果对上任意两点恒有， 则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间； 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理： 设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么 ①如果在上恒有，则在区间上图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有； ②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有 其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数． 根据以上内容，完成如下问题： （1）求函数的凹的区间和凸的区间； （2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1）函数的凹的区间是和，凸的区间是. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求二阶导，并判断正负，得出函数的凹的区间和凸的区间； （2）由凹凸性得出，进而分离参数，将问题转化为，利用导数得出最值，进而得出实数的取值范围； （3）等价变形，构造函数和，利用导数证明，，从而得出答案. 【小问1详解】 ， 令，解得或；令，解得. 因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是. 【小问2详解】 ， 在区间上图象是凹的，，即. 所以，即. 令， 即函数在上单调递减. 所以， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 构造函数， 令，解得， 易知函数在上单调递增，在上单调递减. 所以， 因此，，当且仅当时取等号. 构造函数， 令，则， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此，当且仅当时取等号. 综上， 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立问题求参数范围时，关键在于分离参数，将问题转化为最值问题，从而得出参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$