5.2 解一元一次方程 暑假讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

5.2 解一元一次方程 本讲义亮度: 1 构建知识体系 明确学习目标,深入浅出,力求打扎实基础; 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型,提高分析能力; 【题型一】 解一元一次方程—移项合并同类项 【题型二】 解一元一次方程—去括号 【题型三】 解一元一次方程—去分母 【题型四】 已知一元一次方程的解,求参数 【题型五】 绝对值方程 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 会解一元一次方程,掌握解方程中移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为1. 1 移项 方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. 2 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 【题型一】 解一元一次方程—移项合并同类项 方程中的某些项改变符号后,可以从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. 【例】利用等式性质,; 利用等式性质,. 【典题1】(24-25七年级上 山西运城 期末)方程移项后,正确的是( ) A. B. C. D. 【典题2】(24-25七年级下 福建泉州 期中)解方程: 变式练习 1(11-12九年级上 福建厦门 阶段练习)将方程移项后,正确的是( ) A. B. C. D. 2(24-25七年级下 福建泉州 期中)解方程:. 3(24-25七年级下 四川乐山 期中)解方程:. 【题型二】 解一元一次方程—去括号 【典题1】(23-24七年级上 西藏拉萨 期末)将方程去括号正确的是( ) A. B. C. D. 【典题2】(24-25七年级下 吉林长春 期中)解方程:. 变式练习 1(24-25六年级下 山东烟台 期中)解一元一次方程时,去括号正确的是( ) A. B. C. D. 2(24-25七年级下 福建泉州 期中)解方程:. 3(24-25七年级上 福建厦门 期中)解方程: 【题型三】 解一元一次方程—去分母 【典题1】(24-25七年级下 河南南阳 阶段练习)下列方程的变形中,正确的是( ) A.方程,移项,得 B.方程,去括号,得 C.方程,未知数系数化为1,得 D.方程化成 【典题2】(24-25七年级下 吉林长春 期中)取何值时,代数式的值比的值小. 变式练习 1(24-25七年级下 福建泉州 期中)解方程,去分母后正确的是( ) A. B. C. D. 2(24-25七年级下 吉林长春 期中)解方程:. 3(24-25六年级上 上海 阶段练习)解关于的方程:; 【题型四】 已知一元一次方程的解,求参数 【典题1】(17-18七年级上 全国 课后作业)若方程与的解互为相反数,则的值为( ) A. B. C. D.-1 变式练习 1(24-25七年级上 甘肃兰州 期末)若一元一次方程的解为,则的值为( ) A.6 B. C.2 D. 2(24-25七年级下 重庆 阶段练习)关于的一元一次方程的解为正整数,其中为整数,则的值有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 【题型五】 绝对值方程 【典题1】 (2024七年级上 全国 专题练习)同学们,你们知道怎样解“绝对值方程”吗?我们可以这样考虑:因为,,所以有或,分别解得或,根据以上解法,求方程的解. 变式练习 1(2025 河北 模拟预测)若,则“”表示的数可能是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 2(24-25七年级上 湖北武汉 期中)数轴上的点A到表示的点B的距离是8,那么点A表示的数是( ) A.6 B. C.10或 D.6或 3(24-25七年级上 湖南益阳 期中)先阅读下列解题过程,然后解答后面的问题.解方程:. 解:因为,且, 所以原方程可化为或. 由,得; 由,得. 所以原方程的解是或. 试根据上面的思路解下列方程:. 4(24-25七年级上 贵州遵义 期末)定义新运算,如; 若,则称与互为“望一”数; 若,则称与互为“望外”数; (1)计算: . (2)下列互为“望一”数的是 ;互为“望外”数的是 .(填序号) ①; ②; ③; ④; ⑤; (3)若,则的值为多少? 【A组-基础题】 1(24-25七年级上 湖北孝感 期末)对于方程,去括号正确的是( ) A. B. C. D. 2(24-25七年级下 福建泉州 期中)在解方程的过程中,变形正确的是( ) A. B. C. D. 3(24-25七年级上 安徽合肥 期末)若是关于x的方程的解,则k的值为( ) A. B. C. D. 4(24-25六年级下 山东泰安 期中)下列方程变形中,正确的是( ) A.方程,去分母 B.方程,移项得 C.方程,去括号得 D.方程,系数化为1得 5(24-25七年级上 云南保山 期末)一位同学在解方程时,把“”处的数字看错了,解得,这位同学把“”处的数字看成了( ) A.5 B. C.-10 D.10 6(24-25七年级上 广东汕头 期中)若为有理数且,则的取值是( ) A.5 B. C.或3 D. 7(24-25七年级上 河南安阳 期末)已知关于的方程有正整数解,则整数的所有可能的取值的和为( ) A.14 B.45 C. D. 8(24-25七年级上 北京 期中)解方程: (1) (2) 9(24-25七年级上 河北邢台 阶段练习)解方程: (1); (2). 【B组-提高题】 1(24-25八年级下 上海 期中)已知关于x的方程,则下列说法不正确的是( ) A.时方程无解 B.无论b的值为多少,方程的解不可能是 C.时,方程解为 D.时 2(24-25七年级上 山东滨州 期末)解方程:. 解:①当时,解得;②当时,解得. 所以原方程的解是或. (1)解方程:; (2)解方程:; (3)探究:当b分别为何值时?方程, ①无解; ②只有一个解; ③有两个解. 10 学科网(北京)股份有限公司 $$ 5.2 解一元一次方程 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 解一元一次方程—移项合并同类项 【题型二】 解一元一次方程—去括号 【题型三】 解一元一次方程—去分母 【题型四】 已知一元一次方程的解，求参数 【题型五】 绝对值方程 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 会解一元一次方程，掌握解方程中移项、合并同类项、去括号、去分母、系数化为1. 1 移项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. 2 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 【题型一】 解一元一次方程—移项合并同类项 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项. 移项的依据是等式的性质. 【例】利用等式性质，； 利用等式性质，. 【典题1】（24-25七年级上·山西运城·期末）方程移项后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程－移项．把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项．根据移项的法则进行判断即可． 【详解】解：根据移项的规则得：方程移项后为． 故选：B． 【典题2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 变式练习 1（11-12九年级上·福建厦门·阶段练习）将方程移项后，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元一次方程中的移项，注意移项要变号．方程利用移项得到结果，即可作出判断． 【详解】解：一元一次方程移项得： ， 故选：D． 2（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，解题关键是掌握一元一次方程的解题步骤．根据解一元一次方程：移项、合并同类项进行解答即可． 【详解】解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 3（24-25七年级下·四川乐山·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1．根据解一元一次方程的基本步骤，解方程即可． 【详解】解：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 【题型二】 解一元一次方程—去括号 【典题1】（23-24七年级上·西藏拉萨·期末）将方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次方程，去括号法则，熟练掌握去括号的运算法则是解题的关键．根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 去括号得：， 故选：A． 【典题2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】． 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解： ． 变式练习 1（24-25六年级下·山东烟台·期中）解一元一次方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程-去括号，根据括号前面是“”，则括号里面的都要变号计算即可． 【详解】解：方程去括号，得． 故选：D． 2（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 3（24-25七年级上·福建厦门·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型三】 解一元一次方程—去分母 【典题1】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）下列方程的变形中，正确的是（   ） A．方程，移项，得 B．方程，去括号，得 C．方程，未知数系数化为1，得 D．方程化成 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程的步骤，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键．根据解一元一次方程的步骤逐项分析判断即可． 【详解】解：A、方程，移项，得，故此选项变形不正确，不符合题意； B、方程，去括号，得，故此选项变形不正确，不符合题意； C、方程，未知数系数化为1，得，故此选项变形不正确，不符合题意； D、方程化成，故此选项变形正确，符合题意； 故选：D． 【典题2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）取何值时，代数式的值比的值小． 【答案】 【分析】本题主要考查解方法，理解题意，列方程，掌握解一元一次方程的方法是关键． 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：根据题意列方程得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，． 变式练习 1（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算．等式两边同时乘以6化简即可． 【详解】解：， 等式两边同时乘以6得，， 去括号，得： 故选C． 2（24-25七年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程，掌握解一元一次方程的方法是关键． 根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 3（24-25六年级上·上海·阶段练习）解关于的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型四】 已知一元一次方程的解，求参数 【典题1】（17-18七年级上·全国·课后作业）若方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程，相反数的知识，解题的关键是分别解出两个方程，根据两个方程的解互为相反数，即可． 【详解】解：， 解得：； ， 解得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴， 解得：． 故选：A． 变式练习 1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）若一元一次方程的解为，则的值为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程解的综合应用（已知一元一次方程的解，求参数），熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 由方程的解的定义可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：一元一次方程的解为， ， 解得：， 故选：． 2（24-25七年级下·重庆·阶段练习）关于的一元一次方程的解为正整数，其中为整数，则的值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，解题关键是先解方程得到，再根据方程的解和都为正整数，确定参数的值． 【详解】解：解一元一次方程， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 方程的解为正整数， 为正整数， 的值为、、、、， 的值有个． 故选：B ． 【题型五】 绝对值方程 【典题1】 （2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程”吗？我们可以这样考虑：因为，，所以有或，分别解得或，根据以上解法，求方程的解． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，绝对值等知识点，根据绝对值的性质得到两个一元一次方程，分别解一元一次方程即可，熟练掌握绝对值和解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴或， ∴或． 变式练习 1（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 2（24-25七年级上·湖北武汉·期中）数轴上的点A到表示的点B的距离是8，那么点A表示的数是（    ） A．6 B． C．10或 D．6或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程．设这个数为，根据绝对值的意义列出等式． 【详解】解：设这个数为， 由题意得到， 解得， 或． 故选：D． 3（24-25七年级上·湖南益阳·期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 4（24-25七年级上·贵州遵义·期末）定义新运算，如； 若，则称与互为“望一”数； 若，则称与互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ；互为“望外”数的是 ．（填序号） ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)①④；③⑤ (3)0 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，得到，从而通或，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∴或， ∵方程无解， 解方程得， ∴x的值为0． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·湖北孝感·期末）对于方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的去括号法则，根据方程的去括号法则即可求解，掌握方程去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴去括号得：， 故选：D． 2（24-25七年级下·福建泉州·期中）在解方程的过程中，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程时去分母、去括号方法的正确运用．掌握一元一次方程的解法是关键．去分母的方法是方程两边同时乘各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线有括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项． 【详解】解：A．，故原变形错误； B．，故原变形错误； C．，故原变形错误； D．，故原变形正确； 故选：D． 3（24-25七年级上·安徽合肥·期末）若是关于x的方程的解，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入已知方程，列出关于k的新方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x的方程得： ， ， ， 故选：C． 4（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列方程变形中，正确的是（    ） A．方程，去分母 B．方程，移项得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为1得 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 根据解一元一次方程的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A、方程 ，去分母得，该项错误，故不符合题意； B、方程，移项得，该项正确，故符合题意； C、方程，去括号得，该项错误，故不符合题意； D、方程，系数化为1得，该项错误，故不符合题意； 故选：B． 5（24-25七年级上·云南保山·期末）一位同学在解方程时，把“”处的数字看错了，解得，这位同学把“”处的数字看成了（   ） A．5 B． C．-10 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．设括号处未知数为y，则，将代入得，，计算求解即可． 【详解】解：设括号处未知数为y，则， 将代入得，， 解得，． 故选：D． 6（24-25七年级上·广东汕头·期中）若为有理数且，则的取值是（    ） A．5 B． C．或3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的意义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即：或． 故选C． 7（24-25七年级上·河南安阳·期末）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（   ） A．14 B．45 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．先解一元一次方程可得，再由方程的解为正整数，则或，求出的值即可求解． 【详解】解：， ， ， 方程有正整数解， ， ， 方程的解是正整数， 或， 解得或， ， 故选：D． 8（24-25七年级上·北京·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1，可得解； 对于（2），根据去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，可得解． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 9（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【B组---提高题】 1（24-25八年级下·上海·期中）已知关于x的方程，则下列说法不正确的是（   ） A．时方程无解 B．无论b的值为多少，方程的解不可能是 C．时，方程解为 D．时 【答案】D 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键． 根据题意逐项求解判断即可． 【详解】A．当时，，不符合题意，故方程无解，选项正确； B．当时，，不符合题意，故无论b的值为多少，方程的解不可能是，选项正确； C．当时， 去括号得， 移项得， 系数化为1得，，故选项正确； D．当时，，不符合题意，故方程无解，选项错误． 故选：D． 2（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$