5.3 实际问题与一元一次方程2 暑假讲义2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

5.3 实际问题与一元一次方程2 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 数字问题 【题型二】 比赛积分问题 【题型三】 几何问题 【题型四】 销售问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握一元一次方程在实际问题中的应用，包括和差倍分问题、分组盈亏问题 、行程问题 、 工程问题。 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 列一元一次方程解应用题基本步骤 审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案. 关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程 解决的策略常用表格或示意图等方式分析。 【题型一】 数字问题 相关知识点讲解 1 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为； 2 数的大小与表示数的各字母之间的关系，一般间接设未知数。 【典题1】 （24-25七年级上·吉林·阶段练习）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是143，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，根据新的两位数与原来的两位数的和是143，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为； 答：原来的两位数为． 变式练习 1 （24-25七年级上·河南开封·期末）如果三个连续偶数的和为72，那么其中最大的数为（   ） A．26 B．27 C．28 D．30 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键是知道相邻两个偶数的差是2，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程即可解题． 设中间一个偶数为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设中间一个偶数为x， 列方程得 解得， ∴， ∴其中最大的数为26． 故选：A． 2（2024七年级上·全国·专题练习）一个两位数个位上的数是，十位上的数是1.把与1对调，新两位数比原两位数大9.根据题意列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．先表示出原来的两位数和新两位数，根据新两位数比原两位数大9建立方程即可． 【详解】解：由题意得：原两位数是，新两位数是， 则，变形得. 故选：A． 3（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例， 设，由，可知，解得，于是． (1)请把无限循环小数化为分数是___________； (2)请把无限循环小数化为分数； (3)请把无限循环小数（其中循环节为16）化为分数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，循环小数化为分数，掌握互化的方法是解本题的关键； （1）设 ，由可知，再建立方程求解即可； （2）设，则，建立方程求解即可， （3）设，同理可求解． 【详解】（1）解：设 ， 由 ，可知，所以， 解得，于是． （2）设，则， ，解得：， 即． （3）设， 由，可知， ． ． 【题型二】 比赛积分问题 相关知识点讲解 1 总积分=胜积分十平积分十负积分； 2比赛场数=胜场 + 负场十平数； 3 搞清比赛中胜、平、负一场的积分. 【典题1】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 【答案】(1)该队必答环节后的总分数为210分 (2)该队抢答对5道题 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键 （1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解； （2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解． 【详解】（1）解：（分）． 答：该队必答环节后的总分数为210分． （2）解：设抢答答对道题． ，解得． 答：该队抢答对5道题． 变式练习 1（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，现已比赛了8场，输了1场，得17分，设这个足球队已经胜了场，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一方程的实际应用，设该队胜了场，根据题中的等量关系：平场得分胜场得分分，列出方程，即可解题 【详解】解：设该队胜了场，则该队平了场， 胜场得分是分，平场得分是分． 根据等量关系列方程得：， 故选：B． 2（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 【答案】她答对了道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设她答对了道题，则她答错或不答一题为道，根据题意，解得，即可得到答案． 【详解】解：设她答对了道题，则她答错或不答一题为道， 根据题意得， 解得， 答：她答对了道题． 3（2024·河北·一模）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)E同学答对16道，答错4道 (2)比赛不可能得了73分，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，得到等量关系是解题的关键． （1）设E同学答对x道，可得，即可解得E同学答对16道，答错4道； （2）设D同学答对m道，若，得，不符合题意，故比赛不可能得了73分． 【详解】（1）解：设E同学答对x道，则答错道， 根据表格数据可得， 解得， ， 答：E同学答对16道，答错4道； （2）解：不可能，理由如下： 设D同学答对m道，则答错道， 若得了73分，则， 解得， ∵m是整数， ∴不符合题意， ∴比赛不可能得了73分． 【题型三】几何问题 【典题1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，某建筑工地为了施工用水便利，现将一张长为、宽为的长方形铁皮（如图1所示）的四个角上各剪去一个大小相同的小正方形（如图2所示），然后把凸出部分折起来，焊接成一个如图3所示的无盖的长方体水槽（铁皮厚度忽略不计）． (1)设剪去的小正方形的边长为，则水槽的底面积可表示为_______． (2)为了水槽经久耐用，现要在水槽内外层都喷涂防锈漆．如果长方体水槽的宽是高的2倍，则喷漆面积为多少平方米？该水槽蓄水量为多少立方米？ 【答案】(1) (2)喷漆面积为，水槽蓄水量为． 【分析】本题考查了列代数式，有理数的四则运算，掌握列代数式是关键． （1）用长方形的面积减去正方形的面积即可； （2）先求出长方体的高与宽分别为、，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，设剪去的小正方形的边长为，则水槽的底面积可表示为 ， 故答案为：； （2）解：因为长方体水槽的宽是高的2倍， 所以解得： 所以长方体的高与宽分别为、， 则长方体的长为， 所以喷漆面积为，水槽蓄水量为． 变式练习 1（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）一个长方形的周长为 26， 这个长方形的长减少 1 ， 宽增加 2 就可成为一个正方形， 设长方形的长为， 则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找出题中存在的等量关系是正确解答此题的关键． 首先理解题意：长方形的长长方形的宽，根据此列方程即可． 【详解】解：设长方形的长为，则宽是， 根据等量关系：长方形的长长方形的宽， 列出方程得：， 故选B． 2（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）如图，一块长、宽的长方形纸板，一块长、宽的长方形纸板，与一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设小正方形的边长为，依据小正方形的边长的表达式，可得方程，进而得出大正方形的边长及面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题意得， 解得， ， ∴大正方形的边长为厘米， ∴大正方形的面积是（平方厘米）， 答：大正方形的面积是平方厘米． 故选：D 3（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【答案】(1)原正方形纸片的边长为 (2)正方形纸片剩余部分的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设原正方形纸片的边长为，根据第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，列出方程，解方程即可； （2）根据长方形的面积公式列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：设原正方形纸片的边长为， 根据题意，得， 解得，， 答：原正方形纸片的边长为7cm； （2）解：， 答：正方形纸片剩余部分的面积为． 【题型四】 销售问题 相关知识点讲解 1 利润 = 实际售价一进价，利润率 2 找出利润或利润率之间的关系； 3 打几折就是按百分之几十出售. 【典题1】（24-25六年级下·山东淄博·期中）【初次探究】某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的标价． 小敏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程： 分析：设这款春联的成本价为x元/副 （1）请你用含x的代数式补全框图中空缺的部分，并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的标价． 【尝试应用】 （2）该商店有两个进价不同的灯笼都卖了200元，其中一个盈利，另一个亏损．在这次买卖中，这家商店赚了还是赔了？请通过计算说明理由． 【答案】（1）这款春联每副的标价是64元；（2）这次买卖中，这家商店赔了；计算见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据标价、售价与成本价间的关系，可用含x的代数式表示出标价及售价，利用利润售价成本价，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可得出结论； （2）设盈利的灯笼成进价为a元，亏损的灯笼成进价为b元，根据题意列出方程，求出a、b的值，然后再进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得标价为，售价为，则： ， 解得：， ∴（元）． 答：这款春联每副的标价是64元． （2）这次买卖中，这家商店赔了；理由如下： 设盈利的灯笼成进价为a元，亏损的灯笼成进价为b元，根据题意得： ，， 解得：，， （元）， ∴亏损了元． 变式练习 1（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设该服装每件的标价是x元，根据利润售价进价，列出方程即可．解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：设该服装每件的标价是x元，根据题意得： ， 故选：A． 2（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小鹏同学到某文具店购买某种文具时，发现这一类文具每件标价都是元．通过咨询老板，如果每件按照标价的八折进行销售，仍可获利，设进价为元，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据“售价进价利润”可以列出相应的方程即可． 【详解】解：设进价为元， 由题意可得：， 故选：A． 3（2025·安徽蚌埠·模拟预测）为迎接端午佳节，某超市销售两种端午礼盒，每盒A种端午礼盒比每盒B种端午礼盒的进价少50元，而它们销售后的利润相同，其中每盒A种端午礼盒的利润率为，每盒B种端午礼盒的利润率为，求两种端午礼盒的每盒进价． 【答案】每个种端午礼盒的进价为100元，每个种端午礼盒的进价为150元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设每个种端午礼盒的进价为元，则每个种端午礼盒的进价为元，根据利润进价盈利率，再结合两种节能灯的售后利润额相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每个种端午礼盒的进价为元，则每个种端午礼盒的进价为元， 依题意得：， 解得：， 则． 答：每个种端午礼盒的进价为100元，每个种端午礼盒的进价为150元． 4（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某单位购买了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购买的数量（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)购买了A型号冰箱多少台？ (2)如果每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，那么每台C型号冰箱的销售价是多少元？ (3)如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是3：5，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则在（2）的条件下，每台C型号冰箱的利润率是多少？（百分号前保留一位小数） 【答案】(1)6台 (2)2500元 (3)每台C的利润率 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及百分数的应用，理解题意是解题关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）设C型冰箱销售价为x元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可； （3）设A、B两种型号冰箱的成本价分别为、（元），则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用的售价减去成本再除以成本得到盈利率． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 答：购买了A型号冰箱6台； （2）设C型冰箱销售价为x元， 因为每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜， 所以， 解得元． 答：每台C型号冰箱的销售价是2500元； （3）设A、B两种型号冰箱的成本价分别为、（元），则C型号冷冻箱的成本价为元， 由题意，得：， 解得， 所以元， 所以得每台C型号冰箱的成本价是1500元， 因此在（2）条件下，每台C型冰箱的盈利率为：． 答：在（2）的条件下，每台C型号冰箱的盈利率是． 【A组---基础题】 1（21-22七年级上·河北沧州·期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出原两位数的十位数字是，再根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99建立方程即可． 【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字是， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 2（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据小长方形的长相等或大长方形的宽相等，即可得出关于x的一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：依题意找小长方形的长作为相等关系得：或找大长方形的宽做相等关系得． 所以小宇正确，小颖不正确． 故选：A． 3（24-25七年级下·河南新乡·期中）某商场将一种商品按成本价提高后标价，八折销售，每件仍获利元，设这种商品的成本价为元，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，掌握利润、进价、售价之间的关系．首先设这种服装每件的成本价是元，根据题意可得等量关系：进价折成本利润元，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这种商品的成本价为元， 根据题意得： 故选：B． 4（24-25九年级下·湖南长沙·期中）2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用．设该队负了场，根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设该队负了场，故平了场， ， 解得． 故一共负了3场． 故选：B． 5（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）有一个商店把某件商品按进价的作为定价，可是总卖不出去．后来老板按定价减价以96元出售，很快就卖掉了，则这次生意的盈亏情况是（   ） A．亏4元 B．亏24元 C．不亏不赚 D．赚6元 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握一元一次方程的销售问题，找出等量关系是解题的关键，设进价为x，则定价为，再根据“后来老板按定价降价以96元出售，”中根据题意得到关于x的方程式，求得现价，比较可得答案． 【详解】解：设进价为x，则定价为， 根据题意得：， 解得：， 则， 则这次生意亏4元． 故选：A． 6（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，小王计划利用长为的竹篱笆，围成一个一边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为，现有两个方案： 方案甲：围成的养鸡场的长比宽多； 方案乙：围成的养鸡场的长比宽多． 请问：这两个方案哪个能实现？如果能实现，这个养鸡场的面积是多少？    【答案】方案甲不能实现，方案乙能实现，围成的养鸡场的面积为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．先分别求出两种方案中长方形的长和宽，然后再进行判断即可． 【详解】解：方案甲：设的养鸡场平行墙的一边为，则另外一边长为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴此方案不能实现； 方案乙：设的养鸡场平行墙的一边为，则另外一边长为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴此方案能实现， ∴围成的养鸡场的面积为：． 7（2025·河北石家庄·一模）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． (1)已知是半和数，若，，求c的值； (2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式． （1）先根据定义得出，再将，代入求出的值； （2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立． 【详解】（1）解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴； （2）同意． 设是一个“半和数”，则． ∴． ∵，整数，∴为整数． ∴任意一个“半和数”都能被整除． 8（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）初一某班为举办“校园文化艺术节”，统一购买一批T恤衫．已知这款T恤衫在商店的标价是每件30元，商店的促销方式为：一次性消费500元及以下打九折，一次性消费超过500元打八折． (1)若该班一次性购买这款T恤衫共花费378元，则一次性购买T恤衫多少件？ (2)商店在每次交易中所得的营业额需要缴纳营业税，一次性所得的营业额在800元及以下的部分，按营业额的缴纳营业税，超过800元的部分按缴纳营业税，为了演出需要，该班决定第二次购进这款T恤衫，若商店在第二次交易中缴纳营业税52元，则该班第二次购进这款T恤衫多少件？ 【答案】(1)学校一次性购买T恤衫件 (2)学校第二次购进这款T恤衫50件 【分析】本题主要考查了百分数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程并解答． （1）分两种情况：若一次性消费没有超过500元，若一次性消费超过500元，分别求解即可； （2）由题意可得商店在第二次交易中营业额超过800元，根据所缴纳营业税列方程求解即可． 【详解】（1）解：分两种情况讨论： 若一次性消费没有超过500元，则（件）， 若一次性消费超过500元，则，不是整数，则此情况不存在； 答：学校一次性购买T恤衫件； （2）解：设该商店在第二次交易中营业额为x元，根据“一次性所得的营业额在800元及以下的部分，按营业额的缴纳营业税；超过800元的部分按缴纳营业税”， ∵， ∴商店在第二次交易中营业额超过元，即， ， 整理得：， 解得， ∴学校第二次购进这款T恤衫花费（元）， 学校第二次又购进这款T恤衫（件）， 答：学校第二次购进这款T恤衫50件． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定答案，再同法求解即可． 【详解】解： ；故甲运算正确； ∵嘉嘉不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 而； ∴错误的符合一定是把“”错写成“” 设写错符号的数为， ∴， 解得， ∴写错符号的数为，故乙错误；丙正确； ∵ ，故丁正确； 故选：C 2（23-24七年级上·河北邯郸·开学考试）一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有___________块．（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】设有块石头，为自然数，中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，，除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次，列式求解即可． 【详解】解：设有块石头，为自然数， 由题意可得：中间石头的两边都有块石头，两边最远的距离都是米，再往中间的距离依次为，，……，，， 除第一次搬石头走1次外，其余石头都需要走2次， 则： 即 因为石头的总数为奇数个， 所以排除B、D选项， 当石头总数为15块时，即，解得 将代入可得，A选项不符合题意； 当石头总数为17块时，即，解得 将代入可得，则C选项符合题意， 即这些石头共有17块 故选C 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，规律问题的探索，解题的关键是表示出当石头个数为块时，所需要走的距离． 3（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在Rt中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路径向终点运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿着往返运动．点、同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动．连结、，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点在边上时，若，则的值为_____________； (3)当平分的面积时，求的值； (4)当点在边上时，若与重叠部分图形的面积是面积的，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数形结合的思想及分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）分点P在上和上两种情况讨论即可； （2）根据题意，得当点在边上时，，分点Q从点到点运动和点Q从点到点运动两种情况列出方程求解即可； （3）根据题意，此时，点在上，且，分，，，三种情况列出方程求解即可； （4）根据题意，点在上，即，求出，根据与重叠部分图形的面积是面积的，得到，求出，分，，，三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴时，点P在上，时，点P在上， 当时，； 当时，； 综上，； （2）解：根据题意，点在边上时，， 当点Q从点到点运动时，则， 此时，， 解得：； 当点Q从点到点运动时，则， 此时，， 解得：（舍去）； 综上，当点在边上时，，则的值为； （3）解：根据题意，点在上，即， ∵平分的面积，即， ∴， 由（1）知，此时； 当， 此时，则， 解得：（舍去）； 当， 此时，则， 解得：； 当，此时，则， 解得：； 综上，当平分的面积时，的值为或； （4）解：根据题意，点在上，即， ∵，与重叠部分图形的面积是面积的， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，此时； 当， 此时，则， 解得：（舍去）； 当， 此时，则， 解得：； 当， 此时，则， 解得：； 综上，当与重叠部分图形的面积是面积的时，的值为或． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 实际问题与一元一次方程2 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 数字问题 【题型二】 比赛积分问题 【题型三】 几何问题 【题型四】 销售问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握一元一次方程在实际问题中的应用，包括和差倍分问题、分组盈亏问题 、行程问题 、 工程问题。 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 列一元一次方程解应用题基本步骤 审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案. 关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程 解决的策略常用表格或示意图等方式分析。 【题型一】 数字问题 相关知识点讲解 1 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字则这个两位数可表示为； 2 数的大小与表示数的各字母之间的关系，一般间接设未知数。 【典题1】 （24-25七年级上·吉林·阶段练习）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是143，求原来的两位数． 变式练习 1 （24-25七年级上·河南开封·期末）如果三个连续偶数的和为72，那么其中最大的数为（   ） A．26 B．27 C．28 D．30 2（2024七年级上·全国·专题练习）一个两位数个位上的数是，十位上的数是1.把与1对调，新两位数比原两位数大9.根据题意列出的方程为（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·广西河池·阶段练习）阅读材料：把无限循环小数化为分数，可以按如下方法进行：以为例， 设，由，可知，解得，于是． (1)请把无限循环小数化为分数是___________； (2)请把无限循环小数化为分数； (3)请把无限循环小数（其中循环节为16）化为分数． 【题型二】 比赛积分问题 相关知识点讲解 1 总积分=胜积分十平积分十负积分； 2比赛场数=胜场 + 负场十平数； 3 搞清比赛中胜、平、负一场的积分. 【典题1】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分． (1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数； (2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数． 变式练习 1（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，现已比赛了8场，输了1场，得17分，设这个足球队已经胜了场，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共道题，答对一题得分，答错或不答一题扣分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是分，求她答对了多少道题？ 3（2024·河北·一模）某校想了解同学们的历史知识储备情况，于是举办了“历史知识知多少”的知识竞赛．共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，答对1题得5分，答错1题扣1分．如表记录了部分参赛同学的得分情况，甲同学在整理的过程中，不小心将墨水倒在了该表上，致使表格中的一部分内容看不清，请回答相关问题． (1)求这次竞赛中E同学答对的题数和答错的题数； (2)D同学说他此次比赛得了73分，你认为可能吗？为什么？ 【题型三】几何问题 【典题1】（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）如图，某建筑工地为了施工用水便利，现将一张长为、宽为的长方形铁皮（如图1所示）的四个角上各剪去一个大小相同的小正方形（如图2所示），然后把凸出部分折起来，焊接成一个如图3所示的无盖的长方体水槽（铁皮厚度忽略不计）． (1)设剪去的小正方形的边长为，则水槽的底面积可表示为_______． (2)为了水槽经久耐用，现要在水槽内外层都喷涂防锈漆．如果长方体水槽的宽是高的2倍，则喷漆面积为多少平方米？该水槽蓄水量为多少立方米？ 变式练习 1（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）一个长方形的周长为 26， 这个长方形的长减少 1 ， 宽增加 2 就可成为一个正方形， 设长方形的长为， 则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）如图，一块长、宽的长方形纸板，一块长、宽的长方形纸板，与一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为的长方形纸条． (1)如果第一次剪下的长方形纸条周长恰好是第二次剪下的长方形纸条周长的2倍，求原正方形纸片的边长； (2)在（1）的条件下，求正方形纸片剩余部分的面积． 【题型四】 销售问题 相关知识点讲解 1 利润 = 实际售价一进价，利润率 2 找出利润或利润率之间的关系； 3 打几折就是按百分之几十出售. 【典题1】（24-25六年级下·山东淄博·期中）【初次探究】某店家销售一款网红春联，将这款春联的成本价提价后标价，又以七五折优惠卖出，结果每副春联仍获利8元，求这款春联每副的标价． 小敏用下面的框图直观地表示了店家从进货、标价到销售获利的过程： 分析：设这款春联的成本价为x元/副 （1）请你用含x的代数式补全框图中空缺的部分，并利用一元一次方程的知识求这款春联每副的标价． 【尝试应用】 （2）该商店有两个进价不同的灯笼都卖了200元，其中一个盈利，另一个亏损．在这次买卖中，这家商店赚了还是赔了？请通过计算说明理由． 变式练习 1（2025·广东梅州·二模）某商场购进一批服装，每件进价为100元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的7折销售，若打折后每件服装仍能获利，设该服装的标价为元，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小鹏同学到某文具店购买某种文具时，发现这一类文具每件标价都是元．通过咨询老板，如果每件按照标价的八折进行销售，仍可获利，设进价为元，可列方程（   ） A． B． C． D． 3（2025·安徽蚌埠·模拟预测）为迎接端午佳节，某超市销售两种端午礼盒，每盒A种端午礼盒比每盒B种端午礼盒的进价少50元，而它们销售后的利润相同，其中每盒A种端午礼盒的利润率为，每盒B种端午礼盒的利润率为，求两种端午礼盒的每盒进价． 4（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某单位购买了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购买的数量（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)购买了A型号冰箱多少台？ (2)如果每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，那么每台C型号冰箱的销售价是多少元？ (3)如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是3：5，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则在（2）的条件下，每台C型号冰箱的利润率是多少？（百分号前保留一位小数） 【A组---基础题】 1（21-22七年级上·河北沧州·期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为(   ) A． B． C． D． 2（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，在大长方形（是宽）中放入6个长，宽都相同的小长方形，求小长方形的宽．解决这个问题时可设．小宇说：根据小长方形的长相等可列方程；小颖说：根据大长方形的宽相等可列方程．则小宇和小颖的说法正确的是（    ） A．小宇、小颖都正确 B．小宇、小颖都不正确 C．小宇正确，小颖不正确 D．小宇不完全正确，小颖正确 3（24-25七年级下·河南新乡·期中）某商场将一种商品按成本价提高后标价，八折销售，每件仍获利元，设这种商品的成本价为元，根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4（24-25九年级下·湖南长沙·期中）2025年亚足联U-20亚洲杯是亚洲足球联合会的青少年洲际赛事之一， 比赛于2025年2月12日至3月1日在中国广东省深圳市进行，掀起了广大中学生的运动热情．某校特举办校园足球比赛，赛制积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分，星光队进行了10场比赛，其中胜了5场总共得14分，那么该队负了（　　） A．2场 B．3场 C．4场 D．5场 5（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）有一个商店把某件商品按进价的作为定价，可是总卖不出去．后来老板按定价减价以96元出售，很快就卖掉了，则这次生意的盈亏情况是（   ） A．亏4元 B．亏24元 C．不亏不赚 D．赚6元 6（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，小王计划利用长为的竹篱笆，围成一个一边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为，现有两个方案： 方案甲：围成的养鸡场的长比宽多； 方案乙：围成的养鸡场的长比宽多． 请问：这两个方案哪个能实现？如果能实现，这个养鸡场的面积是多少？    7（2025·河北石家庄·一模）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． (1)已知是半和数，若，，求c的值； (2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 8（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）初一某班为举办“校园文化艺术节”，统一购买一批T恤衫．已知这款T恤衫在商店的标价是每件30元，商店的促销方式为：一次性消费500元及以下打九折，一次性消费超过500元打八折． (1)若该班一次性购买这款T恤衫共花费378元，则一次性购买T恤衫多少件？ (2)商店在每次交易中所得的营业额需要缴纳营业税，一次性所得的营业额在800元及以下的部分，按营业额的缴纳营业税，超过800元的部分按缴纳营业税，为了演出需要，该班决定第二次购进这款T恤衫，若商店在第二次交易中缴纳营业税52元，则该班第二次购进这款T恤衫多少件？ 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·河北保定·期末）嘉嘉在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了66． 甲说：如果没有写错符号，该算式； 乙说：嘉嘉一定是把“18”前面的符号写错了； 丙说：嘉嘉一定是把“20”前面的符号写错了； 丁说：算式． 下面对甲、乙、丙、丁四种说法判断正确的有（   ） A．只有甲和乙正确 B．只有乙和丁正确 C．甲、丙、丁正确 D．只有丙正确 2（23-24七年级上·河北邯郸·开学考试）一只小猴子在不停地搬石头．在一条直线上，它放了奇数块石头，每两块之间的距离是米．开始时，小猴子在“起点”的位置，它要把石头全部搬到中间的位置上（每次只搬一块石头），它把这些石头搬完一共走了204米．这些石头共有___________块．（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 3（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在Rt中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路径向终点运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿着往返运动．点、同时出发，当点到达终点时，点也随之停止运动．连结、，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当点在边上时，若，则的值为_____________； (3)当平分的面积时，求的值； (4)当点在边上时，若与重叠部分图形的面积是面积的，直接写出的值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$