精品解析：上海市华东师范大学第二附属中学2025届高三下学期三模数学试卷

华东师范二附中2024-2025学年第二学期高三年级数学三模 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________． 2. 已知函数，则______. 3. 不等式的解集是________. 4. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 5. 已知向量，若，则_________． 6. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则_____________. 7. 已知幂函数在上严格增，则实数__________ 8. 已知随机事件满足，，，则__________ 9. 复数，，则的最大值是__________. 10. 袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有_____________． 11. 著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为__________ 12. 已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. 已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99% C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 14. 在 中，内角 和 所对的边分别为 和 ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 16. 设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 18. 如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） （1）证明：平面平面； （2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 19. 某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 （1）求成对数据的相关系数； （2）求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； （3）设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 20. 设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． （1）当时，求椭圆的离心率； （2）若且点在直线上，求的值； （3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若，直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范二附中2024-2025学年第二学期高三年级数学三模 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】运用并集概念计算. 【详解】集合，，则. 故答案为：. 2. 已知函数，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 3. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式等价变形为，解此不等式即可. 【详解】不等式等价于，解得， 因此，不等式的解集是. 故答案为. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 5. 已知向量，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 6. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用通项公式即可得出． 【详解】展开式的通项公式：， ∵含有的系数是54，∴，，得，∴，，解得． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7. 已知幂函数在上严格增，则实数__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 8. 已知随机事件满足，，，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求出，进而可求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 9. 复数，，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】由题意可得，由三角不等式可得. 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 10. 袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有_____________． 【答案】28 【解析】 【分析】列出乙取到白球且红球已经被取出所包含的基本事件，再求每一个基本事件发生的数量，最后求和即可. 【详解】解：由题意可得满足条件的基本事件有：A=（红，白），B=（红，黑，黑，白），C=（黑，黑，红，白），D=（黑，红，黑，白）. 事件A有；事件B有；事件C有；事件D有. 所以共有4+8+8+8=28种取法. 故答案为：28. 11. 著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为__________ 【答案】12 【解析】 【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 12. 已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】题目等价于要求满足使得数列从第项开始为固定的常数的最小正整数，依题，可考虑从，，时，分别求得关于数列的项的等式，分析讨论是否满足题意，进行取舍即可. 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾； 若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）． 13. 已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99% C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立性检验思想，即可判断选项. 【详解】根据独立性检验思想可知，有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%. 故选：D 14. 在 中，内角 和 所对的边分别为 和 ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由正弦定理可得，则，即 又，则，即， 所以是的充要条件，故选C． 15. 已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据线面垂直的判定定理来确定线面垂直关系，再利用长方体的体对角线与外接球直径的关系求出球的直径，进而求出球的半径和表面积. 【详解】因为平面，所以底面， 因为点到底面的距离为1．所以． 因为平面， 所以平面，而平面，故，， 即该球的直径为 所以球的半径为． 故选：B 16. 设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 【答案】B 【解析】 【分析】结合对称性，在双曲线（抛物线）上寻找五点，使得中点在双曲线（抛物线）上即可. 【详解】命题①：结合对称性，在双曲线上分别取如下五点： ， 则线段、、、、的中点依次为 ， 结合点的对称性，不妨设双曲线的方程为， 双曲线中心为，， 由点的对称性，只需代入点解方程组， 则有； 解得， 此时，， 故存在双曲线过此五点，故①真； 命题②：结合对称性，在抛物线分别取如下五点：， 其中，则， 则线段、、、、的中点依次为 ， 抛物线，设，， 验证：， 即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； 所以，、可能均为抛物线，故②假； 故选：B． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）． 17. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解. （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围; 【小问1详解】 当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 18. 如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） （1）证明：平面平面； （2）若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：在半圆柱内，平面，所以；因为为上底面对应圆的直径，所以， 又，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）面面垂直判定应用，由两个线线垂直：，，得线面垂直，进而得面面垂直； （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，，，，， 所以，， 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 取，所以， 由图可知，二面角为钝角， 所以所求二面角的余弦值为. 19. 某科研活动共进行了5次试验，其数据如表所示： 特征量 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 （1）求成对数据的相关系数； （2）求特征量关于的回归方程，并据此估算特征量时的值； （3）设特征量作为随机变量服从正态分布，其中为5次试验中的平均数，为5次试验中的方差．求．（本题所有答数精确到0.01．） 【答案】（1） （2） 关于的回归方程为 ，； （3） 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据相关系数公式，即可求解； （2）根据（1）的数据，结合回归直线方程中和的公式，即可求回归直线方程； （3）根据（1）的结果求和，再根据概率公式，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，， ， ， ， 所以； 【小问2详解】 ， ， 所以， 当时，； 【小问3详解】 ，所以,， ，， 所以. 20. 设有椭圆和直线．椭圆的左、右焦点分别为、．是上位于第一象限内的一点． （1）当时，求椭圆的离心率； （2）若且点在直线上，求的值； （3）设点满足，其中是点到的距离．当变化时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出和，求出即可求解； （2）设，求出，求出和，求出和，根据椭圆的定义即可求解； （3）求出，设，对于每一个固定的设点到的距离为，利用点到直线距离公式求出，利用辅助角公式求出，证明是第一象限的角，据此即可求解. 【小问1详解】 由题可知，， ， 所以椭圆的离心率为； 【小问2详解】 如图，设， ， 又， 是第一象限上的点， ，即解得， ， 由椭圆的定义知，. 【小问3详解】 由椭圆的定义知． ，设， 对于每一个固定的设点到的距离为， 利用点到直线距离公式有， 由辅助角公式得， 是第一象限内的一点， ，注意到， 是第一象限的角， 设， 当时为在固定下的最小值， 由题意知对于有解， ， 两边平方可得， 要求的最小值，即求的最大值， ，当时取到． 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”． （1）若，直接写出相应的集合； （2）设，且存在实数，使得直线的一距离不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数． 【答案】（1） （2） （3） 先说明，设点为函数图象上的一点， 因为存在，则存在，设直线， 其中为任意的正常数， 考虑的最小值， 因为，且在上为严格增函数， 故当时，，即在上严格减， 当时，，即在上严格增， 故为函数的极小值点，也是最小值点，故， 若令，， 则对恒成立，即， 所以，且直线的“距离”为， 因为对任意的，都有， 考虑直线， 考虑， 因为直线的“距离”和直线的“距离”相等， 所以对任意的恒成立，所以， 则, 即，即， 同理有，故， 由的任意性可知函数为上的偶函数. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况进行分析，说明，再结合可得出的取值范围，即可得出集合； （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分、两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，可得出，再利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）先推导出，设点为函数图象上的一点，的最小值，令，，结合题中定义推导出，结合的任意性以及函数奇偶性的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 若，由可得，可知当时，，不合乎题意； 若，由可得，可知当时，，不合乎题意. 故，由可得，故. 【小问2详解】 要求直线的“距离”，则求的最小值，分以下两种情况讨论： ①当时，对任意的恒成立， 所以在上严格减，无最小值； ②当时，，由得，由得， 所以函数在区间上严格减，在区间上严格增， 故，所以， 令，其中，则， 由得，由得， 所以，函数在区间上严格增，在区间上严格减， 由题意知，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $