精品解析：湖南省株洲市荷塘区株洲市方舟兰天高级中学有限公司2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

湖南省株洲市荷塘区方舟蓝天高级中学2024-2025学年七年级数学期中考试试卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项字母填到答题卡对应的题号中） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列各多项式分解因式结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列由左边到右边的变形，属于分解因式的变形是（ ） A. B. C. D. 4. 如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 在解一元二次方程组时，若①-②可直接消去未知数y，则和（ ） A. 互为倒数 B. 大小相等 C. 互为相反数 D. 都等于0 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 平移后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如果是某个整式的完全平方式，那么常数k的值为（ ） A. 6 B. -6 C. ±6 D. 18 9. 如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ） A. B. C. D. 10. 某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（　　）． A. 38 B. 28 C. 34 D. 44 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 因式分解： _____________． 12. 将方程变形为用含的式子表示，则________． 13. 计算：________． 14. 若是一个完全平方式，则实数_________． 15. 若方程组的解为，则的值为_______． 16. 已知是方程的一个解，则m的值为_________． 17. 平移不改变图形的________． 18. 我们可以用符号表示代数式，a是正整数．我们规定：当a为奇数时，，当a为偶数时，，例如：，，设，，依此规律，则_______． 三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）解方程组：． 20. 计算和分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 21. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 22. 关于x，y的方程组的解满足，， （1）求的值． （2）化简 23. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价(元) 零售价(元) 黑 色 文化衫 25 45 白 色 文 化 衫 20 35 (1)学校购进黑.白文化衫各几件？ (2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润． 24. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 25. 下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解方程组： 解：，得③…第一步 ，得…第二步 …第三步 代入①，得…第四步 所以，原方程组的解为…第五步 （1）小张同学的解题过程从第________步开始出现错误； （2）解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是________（填序号）； A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论 （3）请写出正确的解题过程． 26. 如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”. （1）写出10，11，12，…，20中的“好数”. （2）如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市荷塘区方舟蓝天高级中学2024-2025学年七年级数学期中考试试卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 4．本试卷共三道答题，26道小题，满分120分，时量共120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项字母填到答题卡对应的题号中） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，去括号，整式的加减运算法则进行判定即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 2. 将下列各多项式分解因式结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．先把各个多项式分解因式，即可得出结果． 【详解】解：A、，不符合题意， B、，不符合题意， C、，符合题意， D、，不符合题意． 故选：C． 3. 下列由左边到右边的变形，属于分解因式的变形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的概念“将多项式写成几个因式的积的形式”，即可求解． 【详解】解：A、结果不是几个因式的积，不是因式分解，不符合题意； B、，运用平方差公式进行因式分解，符合题意； C、左边是单项式，不符合因式分解的定义，不符合题意； D、是整式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；   故选：B ． 4. 如果单项式与是同类项，那么关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的定义得出，，，代入方程，解得即可． 【详解】单项式与是同类项， ，， 方程为， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查同类项和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，解题的关键是熟知同类项的定义． 5. 在解一元二次方程组时，若①-②可直接消去未知数y，则和（ ） A. 互为倒数 B. 大小相等 C. 互为相反数 D. 都等于0 【答案】B 【解析】 【分析】若方程组中y的系数相等，可采用①-②直接消去未知数y． 【详解】解：在解一元二次方程组时， 若①-②可直接消去未知数y，则⊗和⊕大小相等． 故选：B． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 6. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式法和提公因式法分解因式即可求得答案． 【详解】解：平方差公式：， 完全平方公式：， ， 故选D． 【点睛】本题考查了公式法和提公因式法分解因式，熟练掌握平方差公式、完全平方公式及提公因式法因式分解是解题的关键． 7. 平移后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，三角形内角和定理，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键． 根据三角形内角和定理求得的度数即可．根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，进而求解即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平移后得到， ∴． ∴ 故选：D． 8. 如果是某个整式的完全平方式，那么常数k的值为（ ） A. 6 B. -6 C. ±6 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】完全平方式有两个：①a2+2ab+b2，②a2﹣2ab+b2，根据以上知识点得出kx＝±2•3x•1，求出即可． 【详解】解：∵9x2+kx+1是某个整式的完全平方式， ∴k＝±2×3×1＝±6． 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9. 如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 【详解】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 10. 某市采取分段收费．若每户每月用水不超过，每立方米收费2元；若用水超过，超过部分每立方米加收1元．小明家某月交水费82元，则该月用水（　　）． A. 38 B. 28 C. 34 D. 44 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出20立方米时交40元，题中已知五月份交水费82元，即已经超过20立方米，所以在82元水费中有两部分构成，列方程即可解答． 【详解】解：设他家该月用水，根据题意得： ， 解得：， 答：他家该月用水． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 因式分解： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．利用提公因式法和完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将方程变形为用含的式子表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先两边同时减去，再两边同时除以，即可得到答案． 【详解】解：两边同时减去得，， 两边同时除以得，， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质的应用，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 13. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据积的乘方运算及单项式乘以单项式运算法则分别求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式乘法运算，涉及积的乘方运算及单项式乘以单项式运算，熟记整式的运算法则是解决问题的关键． 14. 若是一个完全平方式，则实数_________． 【答案】9或 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方式的形式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式“”进行求解． 【详解】解：由是一个完全平方式，可知：， ∴或； 故答案为9或． 15. 若方程组的解为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入，得，代入，即可求解， 本题考查二元一次方程组的解，已知字母的值求代数式的值，解题的关键是：理解二元一次方程组的解的含义． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 16. 已知是方程的一个解，则m的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程的解，解题关键在于把x与y的值代入方程，将x与y的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故答案为 17. 平移不改变图形的________． 【答案】大小和形状 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质进行描述即可． 【详解】解：平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置， 故答案为：大小和形状． 18. 我们可以用符号表示代数式，a是正整数．我们规定：当a为奇数时，，当a为偶数时，，例如：，，设，，依此规律，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，根据题意，依次求出，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为， 所以， ， ， ， …， 由此可见，这列数从开始按4，2，1循环， 因为， 所以． 故答案为：2． 三、解答题（第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） ； （2）， 得，， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为． 20. 计算和分解因式： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，分解因式，熟练掌握单项式乘单项式的法则、提公因式及公式法分解因式是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式的法则计算即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 21. 先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式进行化简可得化简结果，根据绝对值的非负性和平方的非负性求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵，即， ∴，，解得，， 将，，代入原式， ∴化简结果为，值为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，绝对值的非负性．解题的关键在于正确的运算． 22. 关于x，y的方程组的解满足，， （1）求的值． （2）化简 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及化简绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）将，，代入方程组解答即可， （2）利用（1）求得的k值，化简绝对值即可． 【小问1详解】 解：将，代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 把代入得 原式 . 23. 某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，计划购买黑白两种颜色的文化衫进行手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了 黑白两种颜色的文化衫200件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表： 批发价(元) 零售价(元) 黑 色 文化衫 25 45 白 色 文 化 衫 20 35 (1)学校购进黑.白文化衫各几件？ (2)通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润． 【答案】(1)学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件；(2)该校这次义卖活动共获得3800元利润． 【解析】 【分析】（1）设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件，根据两种文化衫200件共花费4800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论． 【详解】解：(1)设学校购进黑文化衫x件，白文化衫y件， 依题意，得：， 解得：． 答：学校购进黑文化衫160件，白文化衫40件． (2)(45-25)×160+(35-20)×40＝3800(元)． 答：该校这次义卖活动共获得3800元利润． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、分式加法运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据题意可得，，进而可得，，，然后将原式整理为，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，然后代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ， ∴； 【小问2详解】 解： ． 25. 下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题． 解方程组： 解：，得③…第一步 ，得…第二步 …第三步 代入①，得…第四步 所以，原方程组的解为…第五步 （1）小张同学的解题过程从第________步开始出现错误； （2）解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是________（填序号）； A．数形结合 B．类比思想 C．转化思想 D．分类讨论 （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）二 （2）C （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提． （1）依据题意，利用二元一次方程组的解法，观察即可判断得解； （2）依据题意，将“二元”转化为“一元”，体现了转化的思想； （3）依据题意，根据二元一次方程组的解法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，根据二元一次方程组的解法，②-③得，． ∴第二步开始出现错误． 故答案为：二． 【小问2详解】 解：第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想， 故选：C． 【小问3详解】 解：，得③． ，得． ． 把代入①，得， ． 原方程组的解为． 26. 如果一个数能表示成（，是整数），我们称这个数为“好数”. （1）写出10，11，12，…，20中的“好数”. （2）如果，都是“好数”，请分别判断和一定是“好数”吗？如果不是，请举反例说明；如果是，请说明理由. 【答案】（1）10、13、16、17、18、20 （2） 一个“好数”能表示成，，是整数）， 一个数能够表示成两个整数的平方和，这个数即为“好数”， 判断： 不一定是“好数”， 若，，则、均为“好数”， 但，而3不能写成两个整数的平方和，不是“好数”， 当、为“好数”时， 不一定是“好数”， 判断一定是“好数”，理由如下： 、为“好数”， 设，， 则 ， 、、、均为整数， 、为整数， 一定是“好数”． 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，完全平方数，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键． （1）根据“好数”的意义判断，即可得出结论； （2）举一个反例判断即可；设， 、、、均为整数），则，依此即可求解． 【小问1详解】 一个“好数”能表示成，，是整数）， ，11，12，，20中， 、、、，、， 能表示成，是整数）， 故“好数”有：10、13、16、17、18、20； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $