1.3 全等三角形的判定【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

1.3 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定方法 1.边边边公理（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等。 2.边角边公理（SAS） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 3.角边角公理（ASA） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4.推论（AAS） 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边、直角边公理（HL） 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 二、证明两个三角形全等的基本思路 1. 已知两边：找第三边（SSS）；找夹角（SAS）；找是否有直角（HL）。 2. 已知一边一角：找一角（AAS或ASA）；找夹边（SAS）。 3. 已知两角：找夹边（ASA）；找其它边（AAS）。 巩固课内例1:全等三角形的判定(SAS)(直接) 1．如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 2．如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了证明三角形全等，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法，添加条件根据证明三角形全等即可． 【详解】解：∵，， ∴添加，可利用“”判断， 故答案为：． 3．如图，在和中，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等、全等三角形的判定等知识点；灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据题意添加符合题意的条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）添加的条件是． （2）证明：在和中， ， ， ． 巩固课内例2:全等三角形的判定(SAS)(间接) 1．在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是边上的中线，得，又，，由判定，即可得到答案. 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 由判定， 故选：A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法. 2．如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 3．已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由得出，再由全等三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 巩固课内例3:全等三角形的判定(ASA) 1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 2．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 【详解】解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 3．如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得出，然后利用即可证明． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴． 在和中， ， ∴． 巩固课内例4:全等三角形的判定(AAS) 1．如图，已知，，则的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理．利用证明即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， 故选：B． 2．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 【答案】(1)36 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握上述基础知识是解题的关键； （1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）先根据三角形的外角性质得到，然后即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）证明：，即， 而， ， 在和中， ， ． 巩固课内例5:全等三角形的判定(SSS)(直接) 1．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，结合即可证明，即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与用尺规作一个角等于已知角的原理．解题的关键是理解尺规作图过程中构造出的相等线段，从而确定全等三角形的判定依据． 分析用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图过程，找出对应的相等边，确定全等三角形的判定方法． 【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； 同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点， 再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点， 连接，这样就得到． 在和中，三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS（边边边）”， 可得 所以，即得出作一个角等于已知角的依据是“”． 故答案为：． 3．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 巩固课内例6:全等三角形的判定(SSS)(间接) 1．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 2．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质， （1）利用证明即可； （2）利用全等的性质和平行线的性质得出，再利用来证明，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）点是的中点， ， 在和中，， ． （2）， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ， ． 巩固课内例7:全等三角形的判定结合求解 1．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 2．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 3．如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由得出，再根据判断与全等即可； （2）由与全等得出判断与全等，最后利用全等三角形的性质可得． 【详解】（1）全等，理由如下： ∵ ， ∴ ， 在与中 ∴ （2），理由如下： 在与中 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在与中 ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，此题比较典型． 巩固课内例8::k“型全等 1．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B 2．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 【答案】50 【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出的长，本题比较简单，但是计算时要细心． 由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，进而求出FH，然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积． 【详解】因为， 所以，，所以， 因为， 所以， 所以． 同理证得， 所以， 所以， 所以． 3．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 巩固课内例9:全等三角形的判定(HL) 1．如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求解即可． 【详解】解：由题意可，，即两直角三角形斜边相等， 若用“”判定和全等，则还需一组直角边相等， 即或， 只有B选项符合， 故选：B． 2．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 3．已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）如图，延长与交于点，由（1）可知，得出，再根据对顶角，得到，得出，从而得出，即可证出． 【详解】（1）证明：是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 类型一、找出图中的全等三角形 1．如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”求解即可． 【详解】解：∵，，为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 综上所述，全等三角形共有5对， 故选：C ． 2．如图，AD＝BC，AB＝CD，AE＝CF，找出图中的一对全等三角形： ． 【答案】或或． 【分析】通过，即可证明．可得∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，再用SAS与即可． 【详解】证明：或或； 在和中， ， ， ∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC， 在和中， ， ， ∵AC-AE=AC-CF, CE=AF, 在和中， ， ． 故答案为或或． 【点睛】本题考查三角形全等的判定定理，图形中并无直角三角形，通过SSS、SAS、ASA、AAS来证明全等，属于一般题型． 3．如图，在中，D是边的中点，过点C作交的延长线于点F，找出图中的全等三角形． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 全等三角形的判定，由线段中点得出，由平行线的性质得出，由对顶角相等可得出，利用即可得出． 【详解】解：，理由如下： ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 类型二、全等的依据 1．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 【答案】 【分析】本题考查了作图－基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图方法可知， 在与中， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，中，点在边上． (1)在边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据你在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理． 【答案】(1)见解析 (2)①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质与判定，利用尺规正确作图是解题的关键． （1）利用尺规作角等于已知角的方法作交于点，根据平行线的判定可得，则点即为所求； （2）根据在（1）中作图的依据和作图的结果，结合平行线的公理即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求： （2）解：根据在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理为： ①同位角相等，两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 类型三、添加条件证全等 1．如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 2．如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 【答案】 或或；（答案不唯一） 或或（答案不唯一）． 【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由根据平行线的性质得，由得，根据，，添加相应的条件即可； （2）先证明，再由平行线的性质得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解： ， ， 即， ， ， ∴添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 添加的条件是，根据，， 故答案为：或或； （2）方法一：添加的条件是时， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法二：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 方法三：添加的条件是， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 3．如图，，，点、、、在同一直线上，连接、交于点． (1)添加一个条件：________，使得，并说明理由； (2)用尺规作图在的下方作一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)，理由见解析 (2)画图见解析 【分析】（）根据全等三角形的判定解答即可； （）分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，则，因为，所以由可证，故即为所求； 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当添加条件时，，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求． 类型四、网格中全等三角形 1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可． 【详解】解：如图： 由网格可知， ∴， 由网格可知均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故A可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故B可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故D可以证明全等，不符合题意； 如图： 由上可得，而是钝角三角形， 故与不可能全等，故C符合题意， 故选：C． 2．下图网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出 个与全等的格点三角形（不包括）． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，理解并掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 理解图示，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：每相邻的两行有个，每相邻的两列有个， ∴共有 （个）． 3．如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)加解析 【分析】本题考查了三角形的高，中线等分面积，全等三角形判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）取格点T，连接并延长与相交，交点即为点D，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合网格特征即可得到； （2）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可说理； （3）可通过证明，则，再由即可说理． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点即为所求： （3）解：如图，点即为所求： 类型五、玻璃块问题 1．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）    A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形． 【详解】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形， 带1、4可以用“角边角”确定三角形， 故选：C． 2．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键． 显然第③中有完整的三个条件，用可得到现要的三角形与原三角形全等． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 3．小明踢足球时，不慎将一块三角形玻璃打碎成三块，如图所示，请你选择图①、图②、图③一个图形作为依据，利用尺规作图，画出与该三角形玻璃全等的三角形，便于帮助小明去配玻璃．（做出选择，保留作图痕迹，不要求写作法）    【答案】选择图③作为作图依据，图见解析． 【分析】本题考查应用与设计作图，熟记全等三角形的判定方法和基本做图思路是解题的关键．先作一个角等于已知角，再作出已知边，然后作出另一个角的已知角，两边相交即可得到答案． 【详解】解：选择图③作为作图依据   就是所求做的三角形． 类型六、全等中的平移 1．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．如图，直线于点，点，分别在直线，上，，三角形向右平移得三角形，线段与直线交于点.若图中阴影部分的面积为，则 . 【答案】 【分析】本题考查平移、全等三角形的判定和性质．证明，，则，根据即可得出结果． 【详解】解：∵直线于点， ∴ ∵三角形向右平移得三角形，， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移变换、全等三角形的判定．根据，，利用即可证明． 【详解】证明：由平移的性质得，， ， 在和中， ， ． 类型七、全等中的对称 1．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 2．如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵和关于直线对称． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：. 3．（对称型）如图，中，，点是的中点．求证：    (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理可以证得； （2）利用全等三角形的对边相等即可证明． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：由（1）知， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 类型一、全等与平行结合 1．判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了两种折叠与测量方案．方案Ⅰ：沿图1中虚线折叠，若测得，则，否则不平行；方案Ⅱ：先沿图2中折叠，展开后再沿折叠，若测得，，则，否则不平行．对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（   ） A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的判定方法和性质是解题的关键．方案Ⅰ，利用内错角相等，两直线平行即可判定；方案Ⅱ，先判定，得出，即可判定,． 【详解】解：对于方案Ⅰ， ∵， ∴, ∴方案Ⅰ可行； 对于方案Ⅱ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即：, ∴方案Ⅱ可行， 综上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行． 故选：D． 2．学习了平行线之后，李强同学想出了过直线外一点画一条直线的平行线的方法：如图（2），过点做一条与相交的直线，如图（3）以为顶点，以为角的一边，作，如图（4）过的另一条边作直线，则，这样做的数学依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解答本题的关键． 根据同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】解：由作法可知，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线．上方的点，连接、、、，若，，． (1)判断直线与是否平行？并说明理由； (2)求的长； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质即可解答； （3）根据全等三角形的性质得然后利用三角形的内角和定理即解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ； （3）解：∵， ，， ∴， ∴． 类型二、全等三角形的判定 1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， （）； （2）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型三、全等模型——旋转90°型 1．如图所示，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据AAS证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】是锐角的高 , 故选C． 2．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 3．如图，在中，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可得，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型四、全等模型——线三等角 1．已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，由平移的性质可得，，则可证明，再证明，得到，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则 ；(用含的代数式表示 （2）当点运动 s时，． 【答案】 α 2或5 【分析】（1）先证明，由对顶角性质得到，则； （2）①当点E在射线上移动时，证明，则，得到，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案；②当点E在射线上移动时，作点作交直线于点，，证明，则，得到，点从点B出发，在直线上以的速度移动，即可得到答案． 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： （2）①如图，当点E在射线上移动时， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动了：； ②当点在射线上移动时，作点作交直线于点，， ∴， ∵, ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴移动了：（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动或时，； 故答案为：2或5． 3．已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)9． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 类型五、全等模型——手拉手 1．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 2．如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； (2)如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再利用证明，即可证明； （2）同理可证明，得到；由三角形内角和定理可得，则可导角证明，则由三角形外角的性质可得．- 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型一、尺规作图 1．如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 【答案】B 【分析】本题考查作图−基本作图，平行线的判定等知识，根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断，解题的关键是熟练掌握基本知识， 【详解】在作图痕迹中，弧是以为圆心，为半径的弧． 故选：B． 2．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点D；连接，．由作图的方法可得，的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题考查了作线段，全等三角形的判定，熟记定理内容是解题关键．由作图过程可得：，结合，利用可证，即可解答． 【详解】解：由题意可知：，，， ． 故答案为：． 3．作图和说理 (1)如图，在公路的两侧各有一所学校，一辆拖拉机沿着（从到）方向行驶．请在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大；在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大．你的依据是________： (2)如图，已知． ①利用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线（不写作法保留作图痕迹）． ②这样作出的两条直线平行的理由是：________． 【答案】(1)作图见解析，垂线段最短 (2)①作图见解析；②同位角相等，两直线平行 【分析】（）根据垂线段最短，作图即可； （）①在直线的右侧作，直线即为所求；②根据同位角相等，两直线平行，即可得出结论； 本题考查了垂线段最短，利用尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，掌握基本作图方法是解题的关键 【详解】（1）解：如图，点即为所求，理由是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； （2）解：①如图所示，直线即为所求； ②这样作出的两条直线平行的理由是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 类型二、倍长中线法 1．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 2．如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为 ．             【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围，即可得出的取值范围即可． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． (1)【教材回顾】 例4  如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； (2)【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线的性质得出，，再证，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明，得到，，证明，得到，即可证得； （3）延长到E，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，（两直线平行，内错角相等）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等，； （2）证明：，理由如下： ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 类型三、半角模型 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 2．如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 【答案】①②④ 【分析】根据等腰直角三角形和旋转的性质，逐项判断即可. 【详解】∵在中，， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 由旋转的性质可知，∠ABF=∠ACD=45°， ∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=45°+45°=90°， ∴，①正确； 由旋转的性质可知，∠CAD=∠BAF，AF=AD， ∴∠EAF=∠BAF+∠BAE, ∵， ∴， 又∵AE=AE， ∴，②正确； 由旋转可知CD=BF， 由可知DE=EF， ∴，故③错误；④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定、勾股定理等知识，解题的关键是根据旋转的性质得出对应角和对应边相等. 3．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型． （1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长到G，使，连接．在和中，已知了一组直角，，，因此两三角形全等，可得，，进而得．由此可证，即可得，进而可得结论． （2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样． （3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 类型四、婆罗摩笈多 1．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 【答案】D 【分析】延长，过点A作于点F，证明，得出，，，证明，得出，，，得出为直角三角形且，故甲说法正确；根据，，得出，故乙说法正确；根据，，即可证明，故丙说法正确． 【详解】解：延长，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴为直角三角形且，故甲说法正确； ∵，， ∴，故乙说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故丙说法正确； 综上分析可知：三个人的说法都正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 2．如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作交的延长线于点H，证明，得到，再证明，得到，则． 【详解】解：过点A作交的延长线于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型五、最值问题 1．如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 如图，在截取，使得，连接，证明，则，由，可知当三点共线，且时，的值最小，如图，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，在截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为6， 故选：D． 2．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 3．问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）能达到， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，最短距离问题，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键． （1）根据三点共线，两点之间，线段最短即可求解； （2）根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，利用全等三角形的判定和性质得出，确定当A、F、G三点共线时，最小，结合图形，利用各角之间关系即可求解． 【详解】解：（1）∵两点之间，线段最短， ∴当A、P、B三点共线时，取得最小值， 即； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）以为边，C为顶点，向下作，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当A、F、G三点共线时，最小，此时，点F位置如图所示： 此时，， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型六、特殊全等三角形的判定(边边角) 1．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定之边边角问题，边边角在某些情况下得到的图形是唯一的，而有些情况却有两种情况，解题关键是确定所得的图形是否只有一种画法，据此分别判断①②③即可． 【详解】解：如图，Q点位置有两个，故①错误； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故②正确； 当，时，可得到形状唯一确定的正确，故③正确； 故选：C ． 2．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案． 【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误． 如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确． 如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确． 综上：②③正确． 故答案为：②③ 【点睛】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键． 3．[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形    B．    C．    D．的面积与的面积相等 【答案】(1)作图见解析 (2)2，2，不一定 (3)A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可得结论； （2）由（1）中所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； （3）利用全等三角形的性质判断即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   点及即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； （3）解：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形， 故选：A． 类型七、全等动点求t 1．如图，在中，，点D为的中点．点P在线段上以每秒4个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，则a的值为（   ） A．4 B．4或2 C．6 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 用的长度减去的长度，根据全等三角形对应边相等，分两种情况列方程即可得到结论． 【详解】解：由题意，， ∴； 当时 ∵，是的中点， ∴，解得， ∵， ∴，即，解得； 当时 ，解得， ∵， ∴，即，解得； 故选D 2．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 3．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定方法 1.边边边公理（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等。 2.边角边公理（SAS） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 3.角边角公理（ASA） 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4.推论（AAS） 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 5.斜边、直角边公理（HL） 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 二、证明两个三角形全等的基本思路 1. 已知两边：找第三边（SSS）；找夹角（SAS）；找是否有直角（HL）。 2. 已知一边一角：找一角（AAS或ASA）；找夹边（SAS）。 3. 已知两角：找夹边（ASA）；找其它边（AAS）。 巩固课内例1:全等三角形的判定(SAS)(直接) 1．如图，和相交于点，若，用“”证明还需（   ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，再添加一个条件就可以用“”判断，则添加的这个条件为 ． 3．如图，在和中，，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线条和字母） (1)你添加的条件是______； (2)请根据你添加的条件，写出证明过程． 巩固课内例2:全等三角形的判定(SAS)(间接) 1．在中，是边上的中线，点E在的延长线上且，则的理由是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 3．已知：如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 巩固课内例3:全等三角形的判定(ASA) 1．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 3．如图，点C在线段上，．与全等吗？请说明理由． 巩固课内例4:全等三角形的判定(AAS) 1．如图，已知，，则的根据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 3．如图，，点在边上，和相交于点． (1)若，则_____°； (2)若，求证：． 巩固课内例5:全等三角形的判定(SSS)(直接) 1．木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 2．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 3．如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 巩固课内例6:全等三角形的判定(SSS)(间接) 1．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 3．如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 巩固课内例7:全等三角形的判定结合求解 1．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 3．如图，． (1)写出与全等的理由； (2)判断线段与的数量关系，并说明理由． 巩固课内例8::k“型全等 1．为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端水平距离为的处，使用测角仪测得，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 3．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 巩固课内例9:全等三角形的判定(HL) 1．如图，已知，若用“”判定和全等，则可以添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 3．已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 类型一、找出图中的全等三角形 1．如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．如图，AD＝BC，AB＝CD，AE＝CF，找出图中的一对全等三角形： ． 3．如图，在中，D是边的中点，过点C作交的延长线于点F，找出图中的全等三角形． 类型二、全等的依据 1．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的图形的全等这一章的知识，说明画出的依据是 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明 3．如图，中，点在边上． (1)在边上求作点，使；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)根据你在（1）中作图的依据和作图的结果，写出两条与之相关的公理． 类型三、添加条件证全等 1．如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点，在上且．请你只添加一个条件，使得． （1）你添加的条件是 ；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可） （2）依据所添条件，判定与全等的理由是 ． 3．如图，，，点、、、在同一直线上，连接、交于点． (1)添加一个条件：________，使得，并说明理由； (2)用尺规作图在的下方作一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法） 类型四、网格中全等三角形 1．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．下图网格中的每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．就是一个格点三角形，在如图给定的网格中，能够画出 个与全等的格点三角形（不包括）． 3．如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 类型五、玻璃块问题 1．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）    A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、3或3、4去均可 2．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 3．小明踢足球时，不慎将一块三角形玻璃打碎成三块，如图所示，请你选择图①、图②、图③一个图形作为依据，利用尺规作图，画出与该三角形玻璃全等的三角形，便于帮助小明去配玻璃．（做出选择，保留作图痕迹，不要求写作法）    类型六、全等中的平移 1．如图所示，平移得到，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线于点，点，分别在直线，上，，三角形向右平移得三角形，线段与直线交于点.若图中阴影部分的面积为，则 . 3．如图，将沿射线方向平移得到，连接交于点．求证：． 类型七、全等中的对称 1．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 2．如图，和关于直线对称．若，则的度数为 ． 3．（对称型）如图，中，，点是的中点．求证：    (1)． (2)． 类型一、全等与平行结合 1．判断一张纸带的两边，是否相互平行，提供了两种折叠与测量方案．方案Ⅰ：沿图1中虚线折叠，若测得，则，否则不平行；方案Ⅱ：先沿图2中折叠，展开后再沿折叠，若测得，，则，否则不平行．对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（   ） A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行 2．学习了平行线之后，李强同学想出了过直线外一点画一条直线的平行线的方法：如图（2），过点做一条与相交的直线，如图（3）以为顶点，以为角的一边，作，如图（4）过的另一条边作直线，则，这样做的数学依据是 ． 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线．上方的点，连接、、、，若，，． (1)判断直线与是否平行？并说明理由； (2)求的长； (3)若，，求的度数． 类型二、全等三角形的判定 1．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 3．已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 类型三、全等模型——旋转90°型 1．如图所示，是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 3．如图，在中，，，，与相交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 类型四、全等模型——线三等角 1．已知，在中，，点在边的延长线上，沿平移线段得到线段．已知点在边上，当时，是以为斜边的等腰直角三角形，则线段的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以/的速度移动，过点作的垂线交直线于点． （1）若，则 ；(用含的代数式表示 （2）当点运动 s时，． 3．已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 类型五、全等模型——手拉手 1．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，，，，，，则 3．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个结论：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，两个等腰三角形和中，，，，连接．此时和的数量关系是什么？并说明理由； (2)如图，两个等腰三角形和中，，．连接，两线交于点P，则 ． 类型一、尺规作图 1．如图，已知直线，小明用直尺和圆规作出了的平行线，在作图痕迹中，弧是（   ） A．以为圆心，为半径的弧 B．以为圆心，为半径的弧 C．以为圆心，为半径的弧 D．以为圆心，为半径的弧 2．如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点D；连接，．由作图的方法可得，的依据是 ． 3．作图和说理 (1)如图，在公路的两侧各有一所学校，一辆拖拉机沿着（从到）方向行驶．请在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大；在公路上作一点，使得拖拉机行驶到该点时在学校听到的拖拉机噪声最大．你的依据是________： (2)如图，已知． ①利用无刻度的直尺和圆规，过点作的平行线（不写作法保留作图痕迹）． ②这样作出的两条直线平行的理由是：________． 类型二、倍长中线法 1．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点是边上的中点，，，则线段长度的取值范围为 ．             3．李老师善于通过教材例题整合知识内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师就华师版八年级上册数学教材第69页的例题进行拓展整合、设计的问题，请你解答． (1)【教材回顾】 例4  如图1，在中，是边的中点，过点画直线，使，交的延长线于点，求证：． 证明：∵（已知）， ∴，（________，______）（填写依据）． 在与中， ∵，，（已知）， ∴（________）（填写依据）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 将上述证明过程补充完整； (2)【迁移探究】 为了探索直角三角形的性质，李老师将（1）中的替换为，并结合（1）作出如下辅助线． 如图2，在中，，是斜边上的中线，过点画直线，使，交的延长线于点．易得以及． 根据李老师的辅助线提示和思路，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3．在中，，，直接写出边上的中线长度的取值范围． 类型三、半角模型 1．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 2．如图，在中，，D，E是斜边上BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接EF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 3．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 类型四、婆罗摩笈多 1．如图，在中，，，在外的中，，，连接，转动使的延长线与线段相交于点M，点M为中点，连接，下列几人的结论： 甲同学说：为直角三角形且； 乙同学说：的长是的长的2倍； 丙同学说：与的面积相等． 其中正确的是（   ） A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．丙的说法正确 D．三人的说法都正确 2．如图，，，的延长线交于点F，若，，则的长为 ． 3．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 类型五、最值问题 1．如图，在锐角三角形中，，的面积为15，平分．若M，N分别是上的动点，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，，，，平分交于点，点、分别是、边上的动点，则的最小值为 ． 3．问题探究 （1）如图①，在直线的异侧有两点，其距离为4．点为直线上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，已知边上有一点，且满足，过点作，并截取，连接，求证：； 问题解决 （3）某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏．等腰三角形空地为如图③所示的，其中为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路和，其中点，点分别在上，且满足，为节约成本，要求两条小路的长度和最小，即最小．已知，在中，，垂足为点．那么这样的设计要求能否达到？若能，求出当最小时的度数；若不能，请说明理由． 类型六、特殊全等三角形的判定(边边角) 1．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的； 其中所有正确结论有几个？（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是 ． 3．[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形    B．    C．    D．的面积与的面积相等 类型七、全等动点求t 1．如图，在中，，点D为的中点．点P在线段上以每秒4个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A以每秒a个单位长度的速度运动．设运动时间为t秒，若以点C，P，Q为顶点的三角形和以点B，D，P为顶点的三角形全等，且和是对应角，则a的值为（   ） A．4 B．4或2 C．6 D．4或6 2．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 3．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$