1.1—1.2三角形中的线段和角 全等三角形【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

1.1—1.2三角形中的线段和角 全等三角形 一、三角形中的线段和角 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.三角形的角的关系：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大（大边对大角），较大的角所对的边也比较大（大角对大边）。 3.三角形的中线、角平分线、高：理解这些概念，会画任意三角形的中线、角平分线、高，增强动手能力，发展空间观念。 二、全等三角形 1.全等三角形的定义：两个能完全重合的三角形叫作全等三角形。全等三角形的形状相同，大小相同，与三角形所在的位置无关。 2.全等三角形的对应元素：能识别全等三角形中的对应顶点、对应边和对应角，并会用符号表示两个三角形全等。例如，如果△ABC≌△A'B'C′，那么AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。这一性质在几何证明中有着广泛的应用。 4.经历三角形平移、轴对称、旋转的变化过程：认识全等三角形，发展空间观念。理解平移、轴对称、旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角也相等。 巩固课内例1:三角形的三边关系 1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系．根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边．对各选项逐一验证，仅需检查最大边是否小于另两边之和即可． 【详解】解：A：最大边10，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形． B：最大边8，，且，均满足条件，能构成三角形． C：最大边12，，不满足条件，不能构成三角形． D：最大边13，，不满足条件，不能构成三角形． 故选：B 2．一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 即， ∵边长为偶数， ∴或， ∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 3．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 巩固课内例2:三角形中线平分面积 1．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，点是边的三等分点，点、分别是，的中点，若的面积为12，则 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】解：∵，点是边的三等分点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴，， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：，． 3．如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 【答案】三角形的面积是45 ． 【分析】本题考查三角形的面积．熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 设面积为s（），由，，可得，， 继而推导出， ，由四边形的面积为22，即可解答． 【详解】连接，如图 设面积为s（）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形的面积为22cm2， ∴， ， ∵+=， ∴， ∴s=45（） 答：三角形的面积是45． 巩固课内例3:全等三角形的性质 1．如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，，，点在边上，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质和等边对等角，三角形内角和定理的应用，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．根据全等三角形的性质可得，根据等边对顶角可得，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 类型一、三角形的概念 1．下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意． 故选：D． 2．（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角与外角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据三角形的定义，三角形的边与内角和外角，进行作答即可 【详解】解：（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形：； 故答案为：； （2）如图，线段BC是和的边； 故答案为：；； （3）如图，的3个内角是，三条边是； 故答案为：；； （4）如图，是的外角． 故答案为：． 3．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】(1)2个； (2)2个；， 【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答． （1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可； （2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可 【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，． （2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，． 类型二、三角形的中线 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，，，是的中线．若的周长为14，求的周长． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的定义是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据三角形的周长公式可得，从而可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为14，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为． 类型三、三角形的角平分线 1．如图，已知中，分别是三角形的高线，角平分线和中线，下列结论错误的是（　 　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键． 根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可． 【详解】解：∵分别是三角形的高线，角平分线及中线， ∴，， ∴正确，C错误． 故选：C． 2．如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形的内角和是是解题关键．根据角平分线的定义可知，，再结合三角形的内角和是求解即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，垂足为D，， ． (1)求和的度数． (2)若是的平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到；根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：，， ； ， ， ， ； （2）解：是的平分线， ， ． 类型四、三角形的高 1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点B作，垂足为E，其中线段是的高，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：线段是中边的高的图是 故选：A． 2．如图所示，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案． 【详解】解：根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高， 得出：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题主要考查对三角形的高的定义的理解和掌握，能区分一条线段是否是三角形的高是解此题的关键． 3．如图，已知在中，． (1)请在图中画出的边上的高； (2)已知E为边上一点． ①若是中线，，则与的周长差为_____________； ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）过点A作交延长线于D，则即为所求； （2）①由三角形中线的定义得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；②由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作交延长线于D，则即为所求； （2）解：①∵是中线， ∴， ∴ ， ∴与的周长差为； ②∵， ∴， ∴， ∴． 类型五、全等图形 1．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．如图，四边形四边形，若，，，则 【答案】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等图形，关键是根据全等图形的性质解答． 根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 类型六、全等三角形中的对应边与对应角 1．如图所示的两个三角形全等，且对应，则（    ） A． B． C．对应 D．对应 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知条件确定，按照全等三角形的性质即可一一判断 【详解】解：∵两个三角形全等，且，对应， ∴， A．∵，∴，该选项错误，故本选项不符合题意； B．∵，∴，该选项正确，故本选项符合题意； C．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意； D．∵，∴对应，该选项错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，，点A和点D对应．，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义得出对应边相等即可得解，熟练掌握全等三角形的定义是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 3．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； （2），对应边是， 对应角是； （3），对应边是， 对应角是； （4），对应边是， 对应角是． 类型一、比较三角形边的大小 1．如图，琳琳将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系得到，进而可判断与的大小关系． 【详解】如图所示，    ∵ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 2．点P在△ABC内部，连接PB，PC．比较大小： （填＞，＝，＜）． 【答案】＜ 【分析】首先需要作辅助线（延长BP交AC于点D），根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，两式相加即可得：AB+AC＞PB+PC． 【详解】解：如图，延长BP交AC于点D． 在△ABD中，AB+AD＞PB+PD； 在△PCD中，PD+DC＞PC， ∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC， ∴AB+AC＞PB+PC， 即PB+PC＜AB+AC． 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解此题的关键是作辅助线，将所求线段联系起来． 3．如图，内有一点．根据下列语句画图：    (1)过点作的垂线段，垂足为； (2)过点作线段交于点，作线段交于点； (3)如果，那么_______； (4)比较和的大小：____________，依据是________________________________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) (4)；垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义即可过点作，交于点即可； （2）根据平行线的定义利用平移的方法过点作线段交于点，点作线段交于点即可； （3）利用两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （4）根据垂线段的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：如图；                （2）如上图； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）∵，， 即与不垂直，， ∴（垂线段最短）， 即和的大小关系为：，依据是垂线段最短． 故答案为：；垂线段最短． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，平行线的性质，垂线的定义，垂线段最短，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握垂线，平行线的作法． 类型二、格点三角形 1．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在长方形网格中画图得出结果． 【详解】解：C点所有的情况如图所示，共有4个 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积的求法，此类题应选取分类的标准，才能做到不遗不漏，难度适中． 2．如图，小方格的顶点称为格点，是给定的格点三角形，图中与面积相等且有两个公共顶点的三角形共有 个． 【答案】18 【分析】本题主要考查学生动手作图的能力，熟练运用“同底等高”理解题意即可. 【详解】解：如图所示，以为边的三角形有5个，以为边的三角形有9个，以为边的三角形有4个，（个）． 故答案为：18. 3．在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点均在“格点”处，位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接和，则这两条线段之间的关系是______； (3)直接写出三角形的面积为______． (4)求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) (4)6 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．平移后的图形中的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，连接各组对应点的线段平行（或在一条直线上）且相等． （1）根据平移的性质画图即可． （2）根据平移的性质求解即可． （3）根据网格求三角形面积即可． （4）连接和，利用割补法求四边形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：如图．线段，即为所求． 由平移可知：线段与线段的关系是； 平行且相等（或，）： （3）解：三角形的面积为． 故答案为：． （4）解：由图可知：线段扫过的面积 类型三、比较三角形的角的大小 1．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理可得，即可求解，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故选：． 2．如图，比较∠A．∠BEC．∠BDC的大小关系为 . 【答案】∠A＜∠BEC＜∠BDC 【分析】根据三角形中一个外角大于任何一个与它不相邻的内角即可解答． 【详解】由三角形中一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得： ∵∠BEC是△ABE的一个外角，∴∠A＜∠BEC， ∠BDC是△CDE的一个外角，∴∠BEC＜∠BDC， ∴∠A＜∠BEC＜∠BDC. 故答案为∠A＜∠BEC＜∠BDC. 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形中一个外角大于任何一个与它不相邻的内角是解题的关键. 3．已知：如图，．    (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高线； (3)画出的角平分线； (4)比较与的大小： ，依据是 ． (5)比较线段与的大小： ，依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角 (5)，垂线段最短 【分析】（1）取的中点D，连接，即可画出中边上的中线； （2）根据钝角三角形的高线的画法即可画出中边上的高，即过点D画的垂线即可； （3）根据角平分线的画法即可画出的平分线； （4）利用三角形的外角性质即可判断； （3）利用垂线段最短即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所示求，   ； （2）解：如图，即为所示求，   ； （3）解：如图，即为所示求，   ； （4）解：，依据是三角形的外角大于任意一个不相邻的内角． 故答案为：，三角形的外角大于任意一个不相邻的内角； （5）解：，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质以及垂线段最短．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 类型四、分割全等三角形 1．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 3．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试． 【答案】见解析 【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【详解】解：如图所示即为所求． 【点睛】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键． 类型五、等腰三角形的边长与周长 1．等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了定要三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义分两种情况，再根据三角形三边关系确定可能的边长组合并计算周长即可． 【详解】解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况： 情况一：腰长为，底边为． 则三边为、、． 此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立． 情况二：腰长为，底边为． 则三边为、、． 此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立． 则周长为． 故选：B 2．若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ． 【答案】， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答的关键．先判断出已知角为等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角等于， ∴是等腰三角形的顶角， ∴另外两个角相等，且度数为， 故答案为：，． 3．已知一个等腰三角形的周长为20，底边长为x，腰长为y． (1)用含有x的代数式表示y； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式表达式，等腰三角形的定义，三边关系，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的定义，得腰长为，即可作答． （2）先理解两边之和大于第三边，得，得，再结合为底边长，即可作答． 【详解】（1）解：∵等腰三角形的周长为20，底边长为． ∴腰长为， 即 （2）解：根据两边之和大于第三边，得， 即， 则， ∴， ∵为底边长， 即， ∴． 类型六、三边关系化简绝对值 1．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 2．已知的三边分别为，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解：的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 3．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 类型一、三角形角平分线、高的夹角问题 1．如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，平分，交于点，为边上的高． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 【答案】(1) (2)； (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义． （1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数； （2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论； （3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， ； 又是的平分线， ； （2）解：是边上的高， ， 在中，，， ， 由（1）知，， ，即； （3）解：，理由如下： 且是的平分线， ， ， ． 类型二、三角形与平行结合 1．如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 2．如图，直线，点E、F分别在上，连接，的平分线与直线交于点G．有一个动点M在射线上运动（不与点E、点G重合），连接，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，解答此题的关键是注意分类讨论．设，，则，分“点M在直线上方，点M在直线与之间，”两种情况，分别求解即可． 【详解】解：设，， ， ， 若点M在直线上方时，如图， ， 若点M在直线与之间时，如图， 综上所述或， 故答案为：或． 3．已知，点M、N分别是、上的两点，点G在、之间． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，等量代换，一元一次方程解决几何角度问题等知识点，解题的关键构造辅助线，熟练利用平行线的性质进行解答. （1）作出辅助线，利用平行线的性质即可求解； （2）作出辅助线，利用角平分线的性质找出相等的角，再利用平行线的性质求出相等的角，最后利用三角形内角和定理和等量代换可求出两角之和； （3）构造辅助线，利用平行线的性质假设出角的度数，表示出相关角度，根据给出的角的关系列出方程，解方程即可得出结果. 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ∴的度数为； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ∵平分，平分， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴ ， ∴的度数为； （3）解：如图，过点作，过点作， 又， ， 设，，则，，， ∵， ， ， ，，, ， ，， ∵， 即， 解得，， ， 的度数为． 类型三、尺规作图 1．在学习三角形的高线时，老师要求同学们画出边上的高，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高的作法．从一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：边上的高，应该从C点向作垂线产生， 故选：B． 2．如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 °． 【答案】125 【分析】利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入计算即可． 【详解】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A， 而∠A=70°， ∴∠BOC=90°+×70°=125°． 故答案为125． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用. 3．尺规作图：已知，在边上求作点D，使得．要求： (1)简写作图思路； (2)尺规作图，保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，熟练掌握三角形内角和定理及作一个角等于已知角是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可知，当时，，即作即可； （2）根据作一个角等于已知角尺规作图，作出，角的另一边交于点D，即得答案． 【详解】（1）在中，， 在中，， ， ， 因此求作点D，只要作即可； （2）如图，点D就是所求作的点． 类型四、网格作图 1．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 2．如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积公式．直接利用三角形的面积可求得，采用割补法“用大的矩形面积减去三个小三角形的面积”可求得，据此求解即可． 【详解】解：由网格图可得， ， 故有． 故答案为：8． 3．如图，已知所有小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点（每个小方格的顶点叫作格点）上，借助网格解答下列问题： (1)过点A画直线的垂线，并标出垂足D； (2)线段_______的长是点C到直线的距离； (3)过点C画直线的平行线交网格于格点E，连接； (4)四边形 的面积是_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)15 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质可得出答案； （2）利用点到直线的距离的定义得出答案； （3）根据平移的性质可求解； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 取格点M、N、F， ∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴，即， ∴． （2）解：由（1）知于D， ∴线段的长度是点C到直线的距离； 故答案为：； （3）解：如图所示：线段、即为所求； 由图可得：将线段向下平移4个单位，再向右平移3个单位可得线段， 根据平移的性质可得. （4）解：． 【点睛】此题主要考查了利用网格作图，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质，平移的性质，利用网格求图形的面积．熟练掌握网格与平移的性质是解题关键． 类型五、全等三角形的动点求t 1．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 2．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 3．已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：若， 则，即， ∴，； 若 则，，则 得：， 解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1—1.2三角形中的线段和角 全等三角形 一、三角形中的线段和角 1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.三角形的角的关系：在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大（大边对大角），较大的角所对的边也比较大（大角对大边）。 3.三角形的中线、角平分线、高：理解这些概念，会画任意三角形的中线、角平分线、高，增强动手能力，发展空间观念。 二、全等三角形 1.全等三角形的定义：两个能完全重合的三角形叫作全等三角形。全等三角形的形状相同，大小相同，与三角形所在的位置无关。 2.全等三角形的对应元素：能识别全等三角形中的对应顶点、对应边和对应角，并会用符号表示两个三角形全等。例如，如果△ABC≌△A'B'C′，那么AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。这一性质在几何证明中有着广泛的应用。 4.经历三角形平移、轴对称、旋转的变化过程：认识全等三角形，发展空间观念。理解平移、轴对称、旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角也相等。 巩固课内例1:三角形的三边关系 1．下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．10，5，5 B．5，8，4 C．12，5，6 D．3，6，13 2．一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 3．已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 巩固课内例2:三角形中线平分面积 1．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 2．如图，点是边的三等分点，点、分别是，的中点，若的面积为12，则 ． 3．如图，点E在上，点D在上，且，与交于点F，四边形的面积为22，则三角形的面积是多少？ 巩固课内例3:全等三角形的性质 1．如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 2．如图，，，点在边上，则的度数为 ． 3．如图，，点在同一直线上，连接．判断与的数量关系，并说明理由． 类型一、三角形的概念 1．下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 2．（1）如图，点D在中，写出图中所有三角形： ； （2）如图，线段BC是 和 的边； （3）如图，的3个内角是 ，三条边是 ； （4）如图，是 的外角． 3．如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，． (1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形． (2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形． 类型二、三角形的中线 1．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 3．如图，在中，，，是的中线．若的周长为14，求的周长． 类型三、三角形的角平分线 1．如图，已知中，分别是三角形的高线，角平分线和中线，下列结论错误的是（　 　）    A． B． C． D． 2．如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 3．如图，在中，，垂足为D，， ． (1)求和的度数． (2)若是的平分线，求的度数． 类型四、三角形的高 1．下列四个图形中，线段是中边的高的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ． 3．如图，已知在中，． (1)请在图中画出的边上的高； (2)已知E为边上一点． ①若是中线，，则与的周长差为_____________； ②若，求的度数． 类型五、全等图形 1．下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 2．如图，四边形四边形，若，，，则 3．把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形． 类型六、全等三角形中的对应边与对应角 1．如图所示的两个三角形全等，且对应，则（    ） A． B． C．对应 D．对应 2．如图，，点A和点D对应．，，，则 ． 3．一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 类型一、比较三角形边的大小 1．如图，琳琳将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形与四边形的周长分别为和，则与的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法比较 2．点P在△ABC内部，连接PB，PC．比较大小： （填＞，＝，＜）． 3．如图，内有一点．根据下列语句画图：    (1)过点作的垂线段，垂足为； (2)过点作线段交于点，作线段交于点； (3)如果，那么_______； (4)比较和的大小：____________，依据是________________________________． 类型二、格点三角形 1．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，小方格的顶点称为格点，是给定的格点三角形，图中与面积相等且有两个公共顶点的三角形共有 个． 3．在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点均在“格点”处，位置如图所示．现将三角形平移，使点移动到点，点、分别是点、的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接和，则这两条线段之间的关系是______； (3)直接写出三角形的面积为______． (4)求线段平移过程中扫过的面积． 类型三、比较三角形的角的大小 1．一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 2．如图，比较∠A．∠BEC．∠BDC的大小关系为 . 3．已知：如图，．    (1)画出中边上的中线； (2)画出中边上的高线； (3)画出的角平分线； (4)比较与的大小： ，依据是 ． (5)比较线段与的大小： ，依据是 ． 类型四、分割全等三角形 1．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 3．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试． 类型五、等腰三角形的边长与周长 1．等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．若等腰三角形的一个角等于，则它的另外两个角的度数为 ． 3．已知一个等腰三角形的周长为20，底边长为x，腰长为y． (1)用含有x的代数式表示y； (2)求x的取值范围． 类型六、三边关系化简绝对值 1．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 2．已知的三边分别为，化简： 3．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 类型一、三角形角平分线、高的夹角问题 1．如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 3．如图，在中，平分，交于点，为边上的高． (1)若，，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 类型二、三角形与平行结合 1．如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线，点E、F分别在上，连接，的平分线与直线交于点G．有一个动点M在射线上运动（不与点E、点G重合），连接，若，则 ． 3．已知，点M、N分别是、上的两点，点G在、之间． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点P是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图3，若点E是上方一点，连接、，的延长线将分为两部分，且，，，求的度数． 类型三、尺规作图 1．在学习三角形的高线时，老师要求同学们画出边上的高，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 °． 3．尺规作图：已知，在边上求作点D，使得．要求： (1)简写作图思路； (2)尺规作图，保留作图痕迹． 类型四、网格作图 1．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 2．如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，若每个小方格的边长为1，则 ． 3．如图，已知所有小正方形的边长都为1，点A，B，C都在格点（每个小方格的顶点叫作格点）上，借助网格解答下列问题： (1)过点A画直线的垂线，并标出垂足D； (2)线段_______的长是点C到直线的距离； (3)过点C画直线的平行线交网格于格点E，连接； (4)四边形 的面积是_______． 类型五、全等三角形的动点求t 1．如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 3．已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$