精品解析：江西省新余市渝水区2024-2025学年高一下学期期末测试数学试题

2024-2025学年江西省新余市渝水区高一下学期期末测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆台的上下底面半径和圆台的高，结合题意得出圆锥的高及母线，最后利用圆锥侧面积公式计算求解. 【详解】 光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积， 圆台的上、下底面，令，，设，，则 ∴，∴， 则， 所以圆锥的侧面积和为. 故选：A. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即可求解. 【详解】由题知， 所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故选：B. 3. 已知平行四边形满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，将上式两边平方，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 又，所以， 又，所以，解得（负值舍去）， 故选：B 4. 已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】在A中，由平行公理得；在B中，与相交、平行或异面；在C中，或；在D中，或． 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 5. 若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，则外接球的直径为正方体的体对角线，从而可得球的半径，利用公式求出两者的表面积后可得它们的比值． 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为，则， 故球的表面积为，而正方体的表面积为， 故正方体与这个球的表面积之比为． 故选：C． 【点睛】本题考查正方体和其外接球的表面积的计算，注意弄清楚球的半径与正方体的棱长的关系，本题属于基础题． 6. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在中与角终边相同的角，再写成集合的形式即可判断. 【详解】因， 故与角终边相同的角的集合可表示为，C项正确， 而A，B，D项中的角都与终边不同. 故选：C. 7. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设，求直线、的方程，然后求出点的坐标，最后利用建立关于的等式关系从而得解. 【详解】因为 轴，点 为线段 上一点，所以设， 又的斜率为，的斜率为， 所以直线方程为，令，则，即， 直线方程为，令，则，即， 因为 ，所以，即， 所以，则该双曲线的离心率， 故选：C 8. 将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数图象平移变换的法则求解． 【详解】将图像向左平移个单位， 得到． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别令内的两个表达式为函数，先求出这两个函数的所有零点，再分别讨论每个零点.当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值小于0，则这个值一定为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值可能小于0也可能大于0 ，则这个值可能为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值大于0，则这个值一定不为函数的零点.由此判断的这四个零点中哪些一定是函数的零点，哪些可能是零点，哪些一定不是零点. 【详解】令， 当时，或， 当时，或， ①当时，，， 令，则， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ②当时，，， ∵，∴，即是的零点； ③当时，，， ∵，∴， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ④当时，，， ∵，∴， 是的零点. 综上所述：和一定是的零点，和可能是的零点. 故选：BCD. 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 常数项为 D. 系数最大的项为第项 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式计算判定A，赋值法计算求出系数和判定B，根据通项公式计算判断C，先判断是偶数再计算各项系数比较判断D. 【详解】的展开式中所有项的二项式系数和为，故A错误； 令，得所有项的系数和为，故B正确； 常数项为，故C正确； 通项，，，，，． 系数为，系数最大的项是偶数，且， 所以系数最大的项系数为或，对应项为第项或第项，故D错误． 故选：． 11. 下列选项中的两个集合相等的是（ ） A. 是6和10的公倍数}， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两个集合相等的意义，逐项判断作答. 【详解】对于A，由于6和10的最小正公倍数为30，因此，即，A是； 对于B，由于，则，B不是； 对于C，依题意，，，即，C是； 对于D，集合是函数值的集合，为实数集，集合是函数图象上点的集合，，D不是. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是和，那么向量对应的复数是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量，可得其坐标，利用几何意义得到所对应的复数． 【详解】向量． 向量对应的复数是． 故答案为：． 13. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故答案为：． 14. 已知四边形是边长为的正方形，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】用和作基底表示向量和，由平面向量数量积的运算法则计算． 【详解】，， 又，， ， ， ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质． （1）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）把（1）中满足性质的从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：； （3）对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明） 【答案】（1）数列不具有性质，具有性质； （2）证明：因为， ，为偶数, 时, 均为奇数，故由题设条件知不可能为奇数， 又，， 令， 则； （3）集合中元素个数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）结合的通项公式，利用定义分别判断是否具有性质和性质； （2）先证明不可能为奇数，由此可得，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论； （3）根据数列具有性质，得到数列的元素个数，从而证得结果； 【小问1详解】 因为 ， 当时，均为奇数， 故若存在， 由题意可得，与为偶数矛盾， 所以数列不具有性质； 因为，，且，， 故数列具有性质； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的，且， 满足，即， 由性质的定义可得，， ，，， 所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律为一个周期中的各项， 所以数列中最多有个不同的项， 所以中最多有个元素. 又若当，，且数列为周期数列，最小正周期为， 则，，，， 该数列具有性质， 若，，时，， 不妨设，则，所以， 此时等式右侧为奇数，左侧为偶数，矛盾， 所以若或，则， 所以集合中含有个元素. 所以集合中元素个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 17. 个考签中有个难签，人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后.求： （1）甲抽到难签的概率； （2）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率； （3）甲、乙两人有人抽到难签的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求出甲抽到难签的概率； （2）甲抽到难签后，还剩个考签中有个难签，结合古典概型的概率可求出所求事件的概率； （3）利用独立事件的概率公式计算出事件“甲、乙都没抽到难签”的概率，结合对立事件的概率公式可求出所求事件的概率. 【小问1详解】 依题意，个考签中有个难签，所以甲抽到难签的概率是. 【小问2详解】 甲抽到难签后，还剩个考签中有个难签，乙抽到难签的概率为. 【小问3详解】 “甲、乙两人有人抽到难签”的对立事件为“甲、乙都没抽到难签”， 甲、乙都没抽到难签的概率为， 所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为. 18. 在年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系． （1）现对某时间段名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计 用户年龄段岁 用户年龄段岁 合计 请将表格补充完整，并判断是否有的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？ （2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为，求小李第二天去乙直播间购物的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 【答案】（1）列联表见解析，有，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）记事件小李第一天去甲直播间，事件小李第二天去乙直播间，利用全概率公式可求得事件的概率. 【小问1详解】 解：列联表如下： 选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计 用户年龄段岁 用户年龄段岁 合计 所以，， 所以，有的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关. 【小问2详解】 解：记事件小李第一天去甲直播间，事件小李第二天去乙直播间， 则，，， 由全概率公式可得. 因此，小李第二天去乙直播间购物的概率为. 19. 已知函数，． （1）若命题：，为假命题，求实数a的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）若，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）3 （3）． 【解析】 【分析】（1）由否定的定义结合一元二次不等式的恒成立问题求解即可； （2）去掉绝对值，分类讨论得出最值； （3）由一元二次不等式的恒成立问题得出，，利用基本不等式求出的最小值，从而得出实数a的取值范围． 【小问1详解】 解：由命题：，为假命题可得，， 即，，解得； 即实数a的取值范围是； 【小问2详解】 当时，； 当时，； 当时，． 则，当且仅当时成立， 【小问3详解】 ，，即， 则，即， 则，， 而，当且仅当时等号成立； 又由（2）知当时，有最小值3， 即当时，的最小值为7． 所以． 故实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江西省新余市渝水区高一下学期期末测试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平行四边形满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. 5. 若一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知双曲线 的左焦点为 ，左、右顶点分别为 点为双曲线左支上一点且满足 轴，点 为线段 上一点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 所有项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 常数项为 D. 系数最大的项为第项 11. 下列选项中的两个集合相等的是（ ） A. 是6和10的公倍数}， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是复平面的原点，如果向量和对应的复数分别是和，那么向量对应的复数是______. 13. 已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为______. 14. 已知四边形是边长为的正方形，若，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质． （1）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？ （2）把（1）中满足性质的从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：； （3）对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明） 16. 已知函数． （1）当时，求的单调区间： （2）若的值域为，求实数a的取值范围． 17. 个考签中有个难签，人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后.求： （1）甲抽到难签的概率； （2）在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率； （3）甲、乙两人有人抽到难签的概率. 18. 在年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系． （1）现对某时间段名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据： 选择甲公司直播间购物 选择乙公司直播间购物 合计 用户年龄段岁 用户年龄段岁 合计 请将表格补充完整，并判断是否有的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？ （2）若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为，求小李第二天去乙直播间购物的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 19. 已知函数，． （1）若命题：，为假命题，求实数a的取值范围； （2）求函数的最小值； （3）若，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $