精品解析：重庆市渝北中学校2024-2025学年八年级下学期6月期末模拟数学试题

2024-2025重庆市渝北中学校八下期末模拟数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 与的乘积为的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列汉字中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 物理中常常要用到数学的函数图像，如图所示，是使用汽车打捞水下重物的示意图．在重物从水底拉到井口的过程中，汽车以恒定速度向右运动，忽略水的阻力和滑轮的摩擦．四位同学利用数学知识画出了汽车功率P随时间t的变化图像，其中正确的是（ ）（注：在匀速直线运动的情况下，功率可由力与速度的乘积得到，一开始重物在水中，会受浮力作用，在重物露出水面之后拉力会增大） A. B. C. D. 6. 如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（ ）对同位角． A. 60 B. 84 C. 112 D. 144 7. 直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 邻补角互补 B. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 矩形的对角线相等 9. 如图所示，在正方形中，，E为中点，F、G分别为上一点，连接，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 10. 对于任意非零数x，每次（次数为k）选择进行这样的运算（n为非零自然数），我们把这种方式叫做“计数操作”，如：当时，进行第一次“计数操作”，∵，∴，进行第二次“计数操作”，∵，∴．对于该操作，说法正确的是（ ） ①若，则不存在这样的“计数操作”，使． ②存在这样的“计数操作”，使得． ③存在这样的“计数操作”，使得不等式 ④存在这样的“计数操作”，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 计算： ______． 12. 某公司在选拔人才时，采用的理论分数与的实践分数评比，小李在考试中理论分数为93分，实践分数为84分，则小李的总成绩为______分． 13. 若关于x的分式方程的解为负整数，且使关于x的一次函数不过第四象限，则满足该条件的整数n的积为_______． 14. 计算：______． 15. 如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则______；将沿翻折得到，若，则________． 16. 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形．） 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 计算： （1） （2） 19. 学习完平行四边形这一章后，渝北中学兴趣小组小莲和小华对四边形进行了探究，他们发现过任意四边形一顶点能画出平分该四边形面积的线，他们的思路如下：连接四边形一对角线，并往底边作对角线所分的靠侧边的角相等，这样就能做出与所连接对角线的平行线，再将产生的交点与作面积平分线的四边形顶点相连接，再做延长出去的线段的垂直平分线，就能构造出中线，利用我们在小学学到的同底等高的三角形面积相等与等底同高的三角形面积相等即可证明．请根据思路完成下面的作图与填空． （1）用尺规完成以下基本作图：在上作交的延长线于点E，连接，交于点F，作的垂直平分线交于点I，连接． （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵．（已知） ∴．（_______________________） ∴．（___________________________） ∴．（同底等高的三角形面积相等） ∵， ∴__________________．（等式的基本性质） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵垂直平分．（已知） ∴．（______________________） ∴．（_______________________） ∴．（________________） 20. 为应对八年级地理生物中考，某校组织了地理一模和二模测试，并从750人的成绩中抽取了50人的成绩，分为A、B、C、D四个等级（A：，B：，C：，D：），之后绘制了如下的图表，请根据图表、材料回答以下问题． 一模C级分数：39、39、39、38、38、38、37、37、37、37、36、36、36、35、35、35 二模A、B级分数：50、49、49、48、48、48、47、47、46、46、46、46、46、46、45、45、45、45、44、44、44、44、44、44、44、43、43、42、41、40、40 一模测试成绩统计图 考试 平均分 中位数 众数 一模 39.2 b 44 二模 42.4 c 44 （1）填空： ； ； ． （2）根据数据分析，哪一次考试的成绩更好？（写出一条理由） （3）统计后发现，抽样调查中一模为A级的学生二模成绩也为A级，则请估计全年级二模测试中有多少人进步到A级？ 21. 在2025年劳动节，荣昌卤鹅火爆全国，许多卤鹅店进行配料改良，一家卤鹅店准备采购A、B款香料，其中发现3袋A款香料和2袋B款香料的钱是56元，购买4袋A款香料会比购买1袋B款香料多38元． （1）求A、B款香料的进货价． （2）在一次采购中，卤鹅店决定购买30袋香料，因为卤制的品质不同，决定使用A款香料的卤鹅售价为90元，使用B款香料的卤鹅售价为80元，且都会产生相等的额外的成本50元，若要求购买B款香料的袋数至少是A的2倍少4袋，求想要利润最大时应购买A、B款香料的袋数与利润． 22. 如图所示，在四边形中，，，，，，动点E以每秒个单位沿运动，动点F以每秒1个单位沿运动，E、F同时出发，到达终点后停止．设运动时间为x，的面积为，的面积为． （1）请直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出的一条函数性质． （3）结合函数图象，直接写出时x的值．（近似值保留1位小数，误差值小于0.2） 23. 甘肃省敦煌市的月牙泉作为我国西北的级景区，小渝决定这个暑假前往月牙泉旅游，并画出了环月牙泉的折线走法，如图所示，E在A的正东方150处，B在A的北偏东方向，C在B的正东方，D在C的南偏东方向，在E的东南方，过点B作，测得．（参考数据：，） （1）求路线中的长．（结果保留1位小数） （2）若小渝走路的速度大致在1米每秒，请判断他能否在10分钟内走完环线（）． 24. 如图，直线分别交x轴和y轴于点、A，直线分别交x轴、、y轴于点，点E，点，分别交x轴、于点F、点G，，垂足为点C，． （1）求的面积． （2）如图2，过B作轴交于点H，在x轴、y轴上分别有动点Q、P，连接，当四边形周长最小时，则是否在上存在一点M，使得．若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，在x轴、上分别有动点I、N，若四边形是平行四边形，求出满足该条件N的坐标． 25. 在正方形中，连接，为中点，连接，将旋转得到，连接、，交与点，连接，过点作交于点． （1）如图1，若，，求四边形的面积． （2）如图2，连接，分别交、于点、，连接并延长，交于点，判断、的数量关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下为上一动点，连接，为中点，当最短时，平面内有一点使，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025重庆市渝北中学校八下期末模拟数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 与的乘积为的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和二次根式分母有理化，设所求数为x，通过解方程求解，并利用分母有理化化简结果． 【详解】解：设所求数为x，根据题意得方程：， 解得：， 将分母有理化得：， 故选：C． 2. 下列汉字中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，即可解答． 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 3. 在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足被开方数不含分母且因数不含平方数，解决此题的关键是熟练化简二次根式； 【详解】解： ，被开方数含分母，需分母有理化，故不是最简二次根式，故选项A错误； ，17是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件，故选项B正确； ，可化简为整数，不是二次根式，故选项C错误； ，被开方数含平方因数，可进一步化简，故不是最简，故选项D错误. 故选项为D. 4. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算和的值，计算出结果即可求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，取近似值约为2.828， ∵ ，， ∴ ，取近似值约为2.236， ∴， 再除以2得：， ∵ ， ∴ 结果在2和3之间， 故选：C． 5. 物理中常常要用到数学的函数图像，如图所示，是使用汽车打捞水下重物的示意图．在重物从水底拉到井口的过程中，汽车以恒定速度向右运动，忽略水的阻力和滑轮的摩擦．四位同学利用数学知识画出了汽车功率P随时间t的变化图像，其中正确的是（ ）（注：在匀速直线运动的情况下，功率可由力与速度的乘积得到，一开始重物在水中，会受浮力作用，在重物露出水面之后拉力会增大） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数图象，理解题意是解题的关键． 根据重物完全在水中，从露出水面到完全露出水面，当重物完全露出水，即可解答． 【详解】解：当重物完全在水中时，汽车功率P不变；当重物从露出水面到完全露出水面时，汽车功率P逐渐增大；当重物完全露出水中时，汽车功率P不变； 只有C符合题意． 故选C． 6. 如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（ ）对同位角． A. 60 B. 84 C. 112 D. 144 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 7. 直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和二次根式有意义的条件，根据的正负一一判断即可； 【详解】解：根据二次根式有意义的条件确定的取值范围 ，被开方数， ∴， ∴直线的图象与轴交于负半轴或原点；故选项A错误； 选项B和D中 ∵直线的图象可以看出直线从左到右上升，y随x的增大而增大， ∴， ∴直线的图象与轴交于正半轴， 而当时，， ∴可为正也可为负； 若为正时，的绝对值大于的绝对值， 故选项D正确； 若为负时，的绝对值小于的绝对值， ∴选项B错误； 选项C中， ∵直线的图象可以看出直线从左到右下降，y随x的增大而减小， ∴， 而当时，， ∴， ∴直线经过一、三、四象限，故选项C错误； 故选项为： D. 8. 下列命题的逆命题成立的是（ ） A. 邻补角互补 B. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 矩形的对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的概念，逆命题的概念等知识点，判断原命题的逆命题是否成立，需将原命题的条件和结论互换，再验证其正确性，解决此问题的关键是熟练掌握相关知识点； 【详解】解：原命题“邻补角互补”的逆命题为“互补的角是邻补角”；互补的角不一定相邻（如平行线间同旁内角互补但不相邻），故逆命题不成立,故选项A错误； 原命题“线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等”的逆命题为“与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”；根据线段垂直平分线的判定定理，逆命题成立，故选项B正确； 原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，对应角相等不能保证全等（如大小不同的等边三角形），故逆命题不成立，故选项C错误； 原命题“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”。等腰梯形的对角线也相等，但并非矩形，故逆命题不成立，故选项D错误； 故选项为B. 9. 如图所示，在正方形中，，E为中点，F、G分别为上一点，连接，则的长为（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作交于点M，延长到点P，使得，连接，，先证明， 是平行四边形，继而证明，可得到，，由，求出，继而求出，即可解答． 【详解】解：过点A作交于点M，延长到点P，使得，连接，，如图， 有， ∵在正方形中，，E为中点， ∴， ，， ∴，， 四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选D． 10. 对于任意非零数x，每次（次数为k）选择进行这样的运算（n为非零自然数），我们把这种方式叫做“计数操作”，如：当时，进行第一次“计数操作”，∵，∴，进行第二次“计数操作”，∵，∴．对于该操作，说法正确的是（ ） ①若，则不存在这样的“计数操作”，使． ②存在这样的“计数操作”，使得． ③存在这样的“计数操作”，使得不等式 ④存在这样的“计数操作”，使得． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，当初始值时，第一次操作选择，可得，第二次操作，可得，据此可判断①；当初始值，第一次操作时，，第二次操作时，，求出，即可判断②；初始值，第一次操作选择，求出，即可判断③；当时，初始值，选择，得．此时，据此可判断④． 【详解】解：当初始值时，第一次操作选择，得．第二次操作选择，得．故存在操作使，故①不成立． 若初始值（满足），第一次操作选择，得．第二次操作仍选，得．两次操作后结果等于原值，故②成立． 若初始值（负数），第一次操作选择，得．此时，满足，故③成立． 当时，初始值，选择，得．此时，满足，故④成立． 综上，正确的命题为②、③、④，共3个， 故选C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11. 计算： ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简，再进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：4 12. 某公司在选拔人才时，采用的理论分数与的实践分数评比，小李在考试中理论分数为93分，实践分数为84分，则小李的总成绩为______分． 【答案】86.7 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算方法，进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：86.7． 13. 若关于x的分式方程的解为负整数，且使关于x的一次函数不过第四象限，则满足该条件的整数n的积为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据一次函数图象所过的象限，求参数的范围，解一元一次不等式组，根据分式方程的解为非负数，求出的值，结合函数图象求出的范围，确定符合题意的的值，求积即可． 【详解】解：解，得：， ∵分式方程的解为负整数， ∴ ∴， ∵关于x的一次函数不过第四象限， ∴， ∴， ∴， 又∵为负整数， ∴， ∴； 故答案为：10． 14. 计算：______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行分母有理化，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：45． 15. 如图所示，在中，与均为的高线，交于点F，连接，若，则______；将沿翻折得到，若，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，延长，交于点，易得，进而求出的度数，再求出的度数，进而求出的度数，折叠的性质，得到，三线合一，推出，证明四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可． 【详解】解：延长，交于点，过作， ∵与均为的高线，交于点F， ∴为的高线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故答案为： 16. 若一个四位自然数，且M满足则称这个四位数M为“蛟龙数”，规定．则最小的“蛟龙数”是_______；若式子的结果是整数，则满足条件的最大“蛟龙数”是______． 【答案】 ①. 1001 ②. 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简二次根式，二元一次方程的解，熟练掌握新定义是解题的关键，根据新定义，结合，得到，根据最小的“蛟龙数”得到，得到，进而得到时，最小，求出最小的“蛟龙数”，求出，进而得到，根据式子的结果是整数，得到为完全平方数，根据，推出，根据，，得到，根据，得到蛟龙数最大时，，此时只能为0，得到的最大值为9，进而求出此时的值，即可得出结果． 【详解】解：∵是蛟龙数，且M满足， ∴， ∴， ∴， ∵蛟龙数最小， ∴， ∴， ∴当时，蛟龙数最小，为； ∵ ， ∴， ∵式子的结果是整数， ∴为完全平方数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当蛟龙数最大时，，此时只能等于0， ∵， ∴最大为9， ∴， ∴， ∴最大的蛟龙数为：； 故答案为：1001，． 三、解答题：（本大题9个小题，17、18小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形．） 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示解集如图： 【解析】 【分析】本题考查求不等式组，在数轴上表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，完全平方公式： （1）先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行完全平方公式的计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 19. 学习完平行四边形这一章后，渝北中学兴趣小组小莲和小华对四边形进行了探究，他们发现过任意四边形一顶点能画出平分该四边形面积的线，他们的思路如下：连接四边形一对角线，并往底边作对角线所分的靠侧边的角相等，这样就能做出与所连接对角线的平行线，再将产生的交点与作面积平分线的四边形顶点相连接，再做延长出去的线段的垂直平分线，就能构造出中线，利用我们在小学学到的同底等高的三角形面积相等与等底同高的三角形面积相等即可证明．请根据思路完成下面的作图与填空． （1）用尺规完成以下基本作图：在上作交的延长线于点E，连接，交于点F，作的垂直平分线交于点I，连接． （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵．（已知） ∴．（_______________________） ∴．（___________________________） ∴．（同底等高的三角形面积相等） ∵， ∴__________________．（等式的基本性质） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵垂直平分．（已知） ∴．（______________________） ∴．（_______________________） ∴．（________________） 【答案】（1） 解：由题意，作图如下： （2） 证明：∵．（已知） ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴．（平行线间的距离处处相等） ∴．（同底等高的三角形面积相等） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵， ∴．（等式的基本性质） ∵垂直平分．（已知） ∴．（中点的性质） ∴．（三角形的中线平分面积） ∴．（等量代换） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角，作垂线，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角，作垂线的方法作图即可； （2）根据平行线间的距离处处相等，同底等高的三角形面积相等，三角形的中线平分面积，等量代换，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为应对八年级地理生物中考，某校组织了地理一模和二模测试，并从750人的成绩中抽取了50人的成绩，分为A、B、C、D四个等级（A：，B：，C：，D：），之后绘制了如下的图表，请根据图表、材料回答以下问题． 一模C级分数：39、39、39、38、38、38、37、37、37、37、36、36、36、35、35、35 二模A、B级分数：50、49、49、48、48、48、47、47、46、46、46、46、46、46、45、45、45、45、44、44、44、44、44、44、44、43、43、42、41、40、40 一模测试成绩统计图 考试 平均分 中位数 众数 一模 39.2 b 44 二模 42.4 c 44 （1）填空： ； ； ． （2）根据数据分析，哪一次考试的成绩更好？（写出一条理由） （3）统计后发现，抽样调查中一模为A级的学生二模成绩也为A级，则请估计全年级二模测试中有多少人进步到A级？ 【答案】（1）6，37，43.5 （2）第二次考试的成绩更好， 理由如下：第一次考试的平均分为39.2，小于第二次考试的平均分42.4． （3）估计全年级二模测试中有225人进步到A级． 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求中位数，利用平均数作决策，从统计图表中有效的或取信息，是解题的关键： （1）根据百分比之和为1，求出的值，根据中位数的确定方法，求出的值即可； （2）利用平均数作决策即可； （3）用总人数乘以进步率进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴一模等级的学生人数为：人， ∴将数据排序后，位于第25和第26数据均为37， 故； 二模数据排序后，位于第25和第26数据为， 故； 【小问2详解】 第二次考试的成绩更好，理由如下： ∵第一次考试的平均分为39.2，小于第二次考试的平均分42.4， ∴第二次考试的成绩更好； 【小问3详解】 第一次考试成绩为等级的人数为：人； 第二考试成绩为等级的人数为：18人， （人）； 答：估计全年级二模测试中有225人进步到A级． 21. 在2025年劳动节，荣昌卤鹅火爆全国，许多卤鹅店进行配料改良，一家卤鹅店准备采购A、B款香料，其中发现3袋A款香料和2袋B款香料的钱是56元，购买4袋A款香料会比购买1袋B款香料多38元． （1）求A、B款香料的进货价． （2）在一次采购中，卤鹅店决定购买30袋香料，因为卤制的品质不同，决定使用A款香料的卤鹅售价为90元，使用B款香料的卤鹅售价为80元，且都会产生相等的额外的成本50元，若要求购买B款香料的袋数至少是A的2倍少4袋，求想要利润最大时应购买A、B款香料的袋数与利润． 【答案】（1）A、B款香料的进货价分别为元和元 （2）当购买款香料袋，购买B款香料袋时，利润最大为688元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设A、B款香料的进货价分别为元和元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买款香料袋，总利润为，根据题意列出不等式求出的范围，求出一次函数的解析式，根据一次函数的性质，求出最值即可． 【小问1详解】 解：设A、B款香料的进货价分别为元和元，由题意，得： ，解得：， 答：A、B款香料的进货价分别为元和元； 【小问2详解】 设购买款香料袋，总利润为，则购买B款香料袋， 由题意，得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，的值最大，为； 故当购买款香料袋，购买B款香料袋时，利润最大为688元． 22. 如图所示，在四边形中，，，，，，动点E以每秒个单位沿运动，动点F以每秒1个单位沿运动，E、F同时出发，到达终点后停止．设运动时间为x，的面积为，的面积为． （1）请直接写出关于x的函数关系式，并写出x的取值范围． （2）在平面直角坐标系中画出和的函数图象，并写出的一条函数性质． （3）结合函数图象，直接写出时x的值．（近似值保留1位小数，误差值小于0.2） 【答案】（1）， （2） 列表如下： 1 2 3 2 1 2 画出函数图象如图： 由图可知：随着的增大而减小； （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，勾股定理，动点的函数图象问题，正确的求出函数解析式，画出函数图象，是解题的关键： （1）作，证明四边形为正方形，求出的长，利用三角形的面积公式，列出函数关系式，根据时间等于路程除以速度，求出x的取值范围即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象，结合图形写出一条性质即可； （3）结合图象，求出的值即可； 【小问1详解】 解：作， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点的移动时间为：秒，点移动的时间为秒， 由题意，得：，， ∴， ∴，， 故，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ∴，解得：； 或，解得； 故或． 23. 甘肃省敦煌市的月牙泉作为我国西北的级景区，小渝决定这个暑假前往月牙泉旅游，并画出了环月牙泉的折线走法，如图所示，E在A的正东方150处，B在A的北偏东方向，C在B的正东方，D在C的南偏东方向，在E的东南方，过点B作，测得．（参考数据：，） （1）求路线中的长．（结果保留1位小数） （2）若小渝走路的速度大致在1米每秒，请判断他能否在10分钟内走完环线（）． 【答案】（1）路线中的长为 （2）能 【解析】 【分析】本题考查含30度的直角三角形，等腰直角三角形和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于点，延长交于点，易得为含30度角的直角三角形，为等腰直角三角形，，，进而得到，设，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （2）利用时间等于总路程除以速度，进行判断即可． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点，延长交于点， 由题意，得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 答：路线中的长为； 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， ∴小渝走路走完环线所需时间约为秒， ∵； 故他能在10分钟内走完环线． 24. 如图，直线分别交x轴和y轴于点、A，直线分别交x轴、、y轴于点，点E，点，分别交x轴、于点F、点G，，垂足为点C，． （1）求的面积． （2）如图2，过B作轴交于点H，在x轴、y轴上分别有动点Q、P，连接，当四边形周长最小时，则是否在上存在一点M，使得．若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，在x轴、上分别有动点I、N，若四边形是平行四边形，求出满足该条件N的坐标． 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式，在上，截取，作轴于点，证明，求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出点坐标，进而得到点坐标，求出直线的坐标，进而求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （2）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接，得到当在上时，四边形周长最小，进而求出点坐标，再根据，求出点的坐标即可； （3）求出点坐标， 根据四边形是平行四边形，且在x轴、上分别有动点I、N，得到，进而得到点的纵坐标，代入函数解析式，求出横坐标即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入解析式，得：， 解得：， ∴， 在上，截取，作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，在直线上， ∴同法可得，直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， 同法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 存在， ∵轴， ∴的横坐标为1， 当时，， ∴， 由（1）知，， 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接， ∴四边形周长， ∴当在上时，四边形周长最小， 同（1）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当在点上方时，， 解得：， 当时，， ∴； 当在点下方时，， 解得：， 当时，， ∴； 综上：或． 【小问3详解】 由（2）知，点在直线上， ∴当时，， ∴， ∵四边形是平行四边形，且在x轴、上分别有动点I、N， ∴，即：轴， ∴， 当时，解得：， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 在正方形中，连接，为中点，连接，将旋转得到，连接、，交与点，连接，过点作交于点． （1）如图1，若，，求四边形的面积． （2）如图2，连接，分别交、于点、，连接并延长，交于点，判断、的数量关系并证明． （3）如图3，在（1）的条件下为上一动点，连接，为中点，当最短时，平面内有一点使，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） ，证明如下： ∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，则：为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）勾股定理求出的长，证明，推出四边形的面积等于进行求解即可； （2）旋转，得到，，进而求出，证明，推出，中垂线的性质，推出，设设交于点，连接，证明，得到，延长至点，使，连接，则：为等腰直角三角形，得到，证明，得到即可． （3）易得，得到当最小时，最小，垂线段最短，得到时，最短，得到的位置，取的中点，连接，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵为中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一动点， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 取的中点，连接，作于点，如图，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $