精品解析：湖南省长沙市明德教育集团联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

明德教育集团八年级期末考试 八年级数学试卷24－25学年第二学期 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列数据6，5，7，5，8，6，6中，众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的概念进行解答即可. 【详解】在数据6，5，7，5，8，6，6中，数据6出现了3次，出现次数最多， 所以这组数据的众数是6， 故选B. 【点睛】本题考查了众数，明确众数是指一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键.众数一定是这组数据中的数，可以不唯一. 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解题的关键．根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出哪个选项不能表示y是x的函数． 【详解】A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，故D符合题意； 故选：D． 3. 关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，是解题的关键．根据二次函数的定义：形如，进行求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得：． 故选：C． 4. 抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ） A. （1，5） B. （-1，-5） C. （1，-5） D. （-1，5） 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式可直接得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（1，5）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的顶点式是解题的关键． 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和C即可；根据三角形的内角和定理判断B和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知抛物线，下列结论中错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y取最大值3 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A：抛物线中，系数，故开口向下，正确； B：顶点式为，对称轴为，此处，故对称轴为直线，正确； C：开口向下时，顶点处取得最大值，最大值为顶点纵坐标，当时，正确； D：开口向下时，对称轴右侧（），随增大而减小，而非增大，故错误． 故选：D． 7. 下面四个命题，其中真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查考查命题与定理知识，特殊四边形的判定与性质，需逐一分析各选项是否符合对应图形的定义或判定条件． 【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A为假命题； B. 根据平行四边形的判定定理，两组对角分别相等的四边形必为平行四边形（可通过内角和与平行线性质推导对边平行），故B为真命题； C. 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度相等仅当菱形为正方形时成立，故C为假命题； D. 对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，例如可构造满足条件但四边长度不等的四边形，故D为假命题． 故选：B． 8. 已知函数的图象经过二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与系数的关系，熟知对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，当时，图象经过第二、四象限．据此即可解答． 【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限， ∴． 故选：A． 9. 《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：A． 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 将抛物线向右平移个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线平移的性质，即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线向右平移个单位长度， ∴平移后所得的抛物线的解析式为， 故答案为：． 12. 甲参加某商场员工招聘，通过计算机、语言表达和商品知识三项测试，成绩分别为：80、90、94，若相应分别按的比例计算成绩，则甲的综合得分为______分． 【答案】90 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义进行求解即可． 本题主要考查了求加权平均数，熟知加权平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，甲的综合得分为分， 故答案为：90． 13. 如图，平行四边形的对角线 、相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，则的长为______cm． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和三角形中位线定理，解题的关键在于要利用平行四边形的对比相等这一性质求出线段的长，再根据中位线定理求出即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵点E、F分别是线段、的中点 ∴ 故答案为：4. 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：1． 15. 函数与的图象如图所示，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式；先求出交点坐标，再求k即可． 【详解】解：如图，设两直线交于， 当时，， ， 把代入得， 解得， 故答案为：2． 16. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据立方根的定义，二次根式的性质，负整数指数幂的性质、零指数幂的性质依次计算后，再合并即可求解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用直接开平方法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 19. 已知一次函数图象经过点两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点． （1）求此一次函数解析式． （2）求 的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，直线与坐标轴围成的三角形的面积，求得一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解． （2）根据解析式，分别求得的坐标，继而即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴ 【小问2详解】 由（1）得，令，得， 令，得， ∴， ∴， ∴． 20. 可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，激发学生的自主学习兴趣某学校开展“”使用技巧培训活动，为了解学生的使用水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表： DeepSeek使用技巧测试成绩频数分布直方图 组别 分数段 频数 5 10 20 组学生的成绩：81，81，82，86，87，88，88，88，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查样本容量为___________； （2）表格中的为___________，本次调查数据的中位数为___________； （3）请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数． 【答案】（1）50 （2）15，87.5； （3）1080人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图，中位数，样本估计总体，解题的关键是： （1）根据抽样调查和普查的区别即可得出答案，利用A组频数除以其所占百分比即可求出样本容量； （2）根据样本容量减去其余各组频数即可求出m，根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：本次抽样调查样本容量为， 故答案为： 50； 【小问2详解】 解：C组数据有10个，所以， ∵排序后，中位数为第25、26个数的平均数，，， ∴第25、26个数在C组， C组数据从小到大为：81，81，82，86，87，88，88，88，89，89， ∴第25、26个数为87， 88， ∴中位数为， 故答案为：15，87.5； 【小问3详解】 解：， 即估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数为1080人． 21. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，E为的中点， ∴； ∵，即， ∴； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而可得到，再由可得四边形是平行四边形，再由得证结论； （2）由菱形的性质得到，从而证得，进而在中，根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴； ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中， ， ∴． 22. 已知某抛物线的解析式为，为实数． （1）若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）把解析式化为顶点式得到对称轴和开口方向，从而得到离对称轴越远，函数值越大，进而可确定当时，，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴此抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，的最大值为4， ∴当时，， ∴， 整理得：， ∴或， 故的值为或． 23. 2024年2月16日至2月25日，世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山举行，吉祥物“Chopy”和“Loopy”成为本次世乒赛的“显眼包”，某电商直播间在2月初以每套300元的成本价购进若干吉祥物玩偶进行销售． （1）吉祥物玩偶的标价为每套400元，经过两次降价后的价格为每套324元，并且两次降价的百分率相同，求吉祥物玩偶每次降价的百分率； （2）在（1）的条件下，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于4020元．问该电商第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶多少套？ 【答案】（1）每次降价的百分率为； （2）为使两次降价销售的总利润不少于4020元，第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶45件． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据数量关系列出方程或不等式是解决问题得关键． （1）设吉祥物玩偶每次降价的百分率为，根据“两次降价后的售价原价”，列出方程，解方程即可得出结论； （2）设第一次降价后售出吉祥物玩偶件，则第二次降价后售出吉祥物玩偶件，根据“总利润第一次降价后的单件利润销售数量第二次降价后的单件利润销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，或（舍去）． 答：每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设第一次降价后售出吉祥物玩偶件，则第二次降价后售出吉祥物玩偶件， 第一次降价后的单件利润为：（元/件）； 第二次降价后的单件利润为：（元/件）． 依题意得：， 解得：， 即：为使两次降价销售的总利润不少于4020元，第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶45件． 24. 阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． （1）“友好方程”的“超强代码”是________； （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； 【小问3详解】 解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 25. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程. 问题呈现：过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明是定值 （1）特例探究，如图1，过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，的值为______； （2）一般证明： ①时，直接写出______； ②求出的值； （3）如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过点M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1）、；1 （2）①1；②1 （3）直线过定点 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键． （1）由求出点、的坐标分别为：、，得出，再代入计算即可； （2）①点、的坐标分别为、，得，，把点代入得：，当时，求出，再代入计算即可； ②由①知，，，，再代入计算即可； （3）运用待定系数法分别求出直线的表达式和直线的表达式为，联立方程组，求出交点坐标，根据两点间距离公式求出，，代入，求得，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴， 则． 故答案为：、；1； 【小问2详解】 解：①当，则；当，则，解得， ∵直线分别交轴和轴于点和， ∴点、的坐标分别为：、， ∴，， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， ∴当，时，， ∴， 故答案为：1； ②由①知，，，， 则； 【小问3详解】 解：设直线的表达式为：， 则，解得， ∴， 设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点， 由点、的坐标得，，则， 同（2）可求点，则， ，即， 解得：，则， 当时，，即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德教育集团八年级期末考试 八年级数学试卷24－25学年第二学期 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列数据6，5，7，5，8，6，6中，众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线y＝（x－1）2＋5顶点坐标是（ ） A. （1，5） B. （-1，-5） C. （1，-5） D. （-1，5） 5. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列结论中错误的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y取最大值3 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 下面四个命题，其中真命题是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 菱形的对角线相等且互相垂直 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8. 已知函数的图象经过二、四象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 将抛物线向右平移个单位长度，那么平移后所得的抛物线的解析式为______． 12. 甲参加某商场员工招聘，通过计算机、语言表达和商品知识三项测试，成绩分别为：80、90、94，若相应分别按的比例计算成绩，则甲的综合得分为______分． 13. 如图，平行四边形的对角线 、相交于点O，点E、F分别是线段、的中点，若，则的长为______cm． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数_________． 15. 函数与的图象如图所示，则______． 16. 如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 三、解答题（本大题共9个小题．第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知一次函数图象经过点两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点． （1）求此一次函数解析式． （2）求 的面积． 20. 可以为初中生提供高效的学习工具和资源，帮助其更好地理解和掌握知识，激发学生的自主学习兴趣某学校开展“”使用技巧培训活动，为了解学生的使用水平，教务处从全校学生中随机抽取部分学生进行测试（成绩为百分制，用表示），成绩80分以上（含80分）的为优秀等级，将数据整理为如下不完整的统计图表： DeepSeek使用技巧测试成绩频数分布直方图 组别 分数段 频数 5 10 20 组学生的成绩：81，81，82，86，87，88，88，88，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查样本容量为___________； （2）表格中的为___________，本次调查数据的中位数为___________； （3）请估计全校1800名受训学生中成绩达到优秀等级的人数． 21. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，，求的面积． 22. 已知某抛物线的解析式为，为实数． （1）若该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． 23. 2024年2月16日至2月25日，世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山举行，吉祥物“Chopy”和“Loopy”成为本次世乒赛的“显眼包”，某电商直播间在2月初以每套300元的成本价购进若干吉祥物玩偶进行销售． （1）吉祥物玩偶的标价为每套400元，经过两次降价后的价格为每套324元，并且两次降价的百分率相同，求吉祥物玩偶每次降价的百分率； （2）在（1）的条件下，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于4020元．问该电商第一次降价后至少要售出吉祥物玩偶多少套？ 24. 阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． （1）“友好方程”的“超强代码”是________； （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 25. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程. 问题呈现：过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，探究并说明是定值 （1）特例探究，如图1，过点的直线（k、c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B，则点A的坐标为______，点B的坐标为______，的值为______； （2）一般证明： ①时，直接写出______； ②求出的值； （3）如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过点M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $