精品解析：云南省永胜县第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

丽江市永胜县第一中2025届高三上学期开学考 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何体是上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算即可． 【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为． 故选：B． 4. 在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案. 【详解】如图，设与相交于点，为的重心， 可得为的中点，， 所以 ， 因为， 所以，则. 故选：A. 5. 函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在其定义域上单调递增 C. 的值域为 D. 函数有且只有一个零点 【答案】A 【解析】 【分析】根据的图象上的点关于对称的点不在的图象上，可知A不正确；利用的奇偶性以及在上的单调性，可知在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数的值域，可知C正确；求出函数的零点，可知D正确. 【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数， 的图象关于原点对称， 在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确； 当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确； 当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确； 令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确. 故选：A 6. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数和方差公式，即可计算. 【详解】设数据，，，，的平均数是，方差是， ， 方差 . 故选：C 7. 为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ） A. 0.38 B. 0.61 C. 0.122 D. 0.75 【答案】B 【解析】 【分析】利用频率组距，即可得解. 【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在内的概率 故选：B 8. 在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据的变化情况并找出的轨迹就可判定①③④是否正确，作出直线与平面所成的角，就可判定②是否正确. 【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确， 此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确， 如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角， 当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值， 故②错误. 故选：C. 【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，就可以根据轨迹的特点进行判断； (2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定； (3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式求导判断． 【详解】，故A对； ，故B错； ，故C错； ，故D对； 故选：AD 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与的夹角的正弦值为1 B. 平面 C. 点与平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AB 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法判断异面直线、点面距离和线面夹角判定A、C、D；应用线面平行的判定判断B. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， A：由，，则， 即，故异面直线与的夹角的正弦值为1，对； B：由，，则四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，则平面，对； C：由，，， 若平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以点与平面的距离为，错； D：易知平面的一个法向量为，又， 设直线与平面的夹角为，则， 所以直线与平面所成的角不为，错. 故选：AB 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题） 12. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过复数的运算法则将给定的复数化简，再根据纯虚数的定义来确定参数的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以且，解得. 故答案为： 13. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 【答案】144π 【解析】 【分析】易知当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，列方程求解即可. 【详解】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O的半径为R，此时VO－ABC＝VC－AOB＝×R2×R＝R3＝36， 故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π. 故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题. 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的极值点与导数的关系可知关于的方程在时有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，且， 所以，关于的方程在时有两个不等的实根、， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）将代入，求出求，得到，然后利用点斜式写出切线方程； （2）求导得，令函数，则求导可得，则函数在递减，在上单调递增，再根据，，则可证明出函数在上有一个零点，可证明出函数在递减，在上递增，在处取得极小值； （3）当时，由（2）可知，即函数恒成立，恒成立，所以函数在上递增，故只需即可，解得；当时， 由（2）可知存在，使得，函数在上递减，，不符合条件，综上可得. 【详解】解：（1）当时，， 所以． 所以． 曲线在点处的切线方程为． （2）由，得． 令，则． 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 当时，，． 又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数存在极小值． （3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（2）得，所以． 所以在上单调递增， 所以的最小值为． 由，得，满足题意． ②当时，由（2）知，在上单调递减， 所以在上，不满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是． 【点睛】本题的难点在于函数极值点的判断、考查导数与不等式恒成立问题的求解，解答时注意以下几点： （1）利用导数讨论函数极值点的问题时，要注意将问题转化为的根的问题，且必须使在根的两侧异号，当的根无法解出时，可采用零点的存在性定理判断出根的范围； （2）求解根据不等式恒成立求参问题时，一般采用参变分离法或者利用分类讨论思想，将问题转化为函数最值问题的求解. 16. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小． 【答案】（1） （2）∠PFQ＝90° 【解析】 【分析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程． （2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可． 【小问1详解】 由题意得 解得a＝2，c＝1， 从而， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0）， 则，，故，即∠PFQ＝90°． 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0． 联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0． 由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，． 直线MA的方程为， 令x＝4，得，即，同理可得． 所以，． 因为 0，所以∠PFQ＝90°． 综上，∠PFQ＝90°． 17. 已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求四边形AMBN面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点，离心率， 之间的勾股关系即可求出答案；（2）利用设而不求联立椭圆和直线方程，利用韦达定理解出根与系数的关系，对面积表达式进行化简，利用参数的范围得出最终答案. 【小问1详解】 由题意可得 解得, 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时 , 的坐标分别为, 四边形面积为 当直线斜率存在时 , 设其方程为 点 , 点 到直线的距离分别为 则四边形 面积为, 得, 则 所以 ， 因为 所以 中点 , 当 时 , 直线 方程为 , 解得 所以 . 当 时 , 四边形 面积的最大值 综上四边形 面积的最大值为 . 18. 已知，，其中是自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后对a分类讨论，判断符号的正负，从而可得单调区间； （2）转化为，，进而可得a的取值范围. 【小问1详解】 由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 19. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 【答案】（1）5 （2） （3）证明;要证，只需证， 即证， 令数列，由于具有性质，即，对，， 则， 对，，所以具有性质， 令，设的最小值为， 对，令，， 由于具有性质，则有， 所以， 所以，所以成立. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论. 【小问1详解】 由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和； 【小问2详解】 由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得： 【小问3详解】 略 【点睛】本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市永胜县第一中2025届高三上学期开学考 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题） 1. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，可抽象为如图2所示的几何体，该几何体是上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，为的重心，满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 5. 函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在其定义域上单调递增 C. 的值域为 D. 函数有且只有一个零点 6. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为（ ） A. 0.38 B. 0.61 C. 0.122 D. 0.75 8. 在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个 ①； ②直线与平面所成角不变； ③点到直线的距离不变； ④点到四点的距离相等. 其中，所有正确结论的序号为（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 异面直线与的夹角的正弦值为1 B. 平面 C. 点与平面的距离为 D. 直线与平面所成的角为 11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 三、填空题（本大题共3小题） 12. 若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则__________. 13. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为________． 14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题） 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求证：函数存在极小值； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围． 16. 已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小． 17. 已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求四边形AMBN面积的最大值． 18. 已知，，其中是自然对数的底数． （1）讨论的单调性； （2）设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 19. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质. （1）若数列具有性质，求数列的前项和； （2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式； （3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $