精品解析：河南省郑州市航空港区2024-—2025学年下学期八年级数学期末调研卷

2024-2025学年下学期期末样卷八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合,这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； B，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D，轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选D． 2. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．在数轴上将解集表示出来即可． 【详解】解：将在数轴上表示为： 故选：D． 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】A选项：右边为，是平方加常数的形式，并非乘积，故不是因式分解． B选项：左边可提取公因式，得，符合因式分解的定义． C选项：左边与右边展开后不相等，等式不成立． D选项：右边是左边的展开结果，属于整式乘法，而非因式分解． 综上，只有B选项是因式分解． 故选：B． 4. 已知，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：已知， A．不等式两边同时减6，得，成立． B．不等式两边同时乘正数3，得，成立． C．不等式两边同时乘负数，得，成立． D．不等式两边同时除以正数4，得，故不成立． 故选：D． 5. 选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出三角形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解： A.任意三角形的内角和是，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意； B.任意四边形的内角和是，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意； C.正六边形每个内角是，能整除360°，故能密铺，不符合题意； D.正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，掌握多边形的内角是解题的关键． 6. 如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是1，那么不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象即可求解，即在点A、B之间的函数图象满足题意． 【详解】解：根据图象可知，不等式组的解集为：， 故选：A． 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，根据题意得，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 本题考查了角的平分线的基本作图，三角形面积的性质，直角三角形的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点G，根据题意，得平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 故选：C． 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①等腰三角形的高、中线、角平分线重合； ②三角形三条边垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等； ③一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ⑤三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，角形三条边的垂直平分线，正多边形的内角和，平行四边形的判定和三角形的中位线的性质，根据等腰三角形的性质，角形三条边的垂直平分线，正多边形的内角和，平行四边形的判定和三角形的中位线的性质判断即可． 【详解】①：等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一，但命题未明确“底边”，若泛指所有高、中线、角平分线，则错误． ②：三角形三边垂直平分线交于外心，外心到三个顶点距离相等，正确． ③：由内角和公式，解得， ∴正六边形外角为，正确． ④：反例为等腰梯形（一组对边平行，另一组对边相等但不是平行四边形），错误． ⑤：三角形中位线平行于第三边且长度为第三边的一半，正确． 综上，正确的命题有②、③、⑤，共3个， 故选C． 9. 如图，在中，平分交于点F，平分于点E，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考是平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型． 先证明，再证明，根据求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 平分交于点F，平分交于点E， ， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，面积为的纸片沿BC方向平移至的位置，平移的距离是BC长的2倍，则纸片扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质可知四边形是平行四边形，，由平移的距离是长的2倍可得，根据四边形与等高可得，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵纸片沿方向平移至的位置， ∴，四边形是平行四边形， ∵平移的距离是长的2倍， ∴， ∵四边形与的高相等， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质，得出四边形的面积是四个的面积．然后根据已知条件计算是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是华为手机天气APP上显示的郑州市某一天的气温情况，设这天气温为，那么应满足条件是_________．（用含有的不等式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式表示数量关系．由于题目出现了最高气温与最低气温，只需要t大于等于最低气温，小于等于最高气温即可． 【详解】解：由最低气温为，最高气温，可得． 故答案为：． 12. 已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设_____． 【答案】这五个数都小于 【解析】 【分析】掌握反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都小于， 故答案为这五个数都小于. 【点睛】本题考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 14. 如图，在中，点E是的中点，且，当时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 根据中点的性质及已知条件可得，根据平行四边形的性质可得，进而得到；然后证明是等边三角形以及等腰三角形的性质可得、，得，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图， ∵，， ∴． 由旋转可知，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴当最短时，最小． ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最短，即为的长． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（本题共7小题，共75分） 16. 计算下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决相关问题． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 （1）该同学解答过程是从第________步开始出错的，其错误的原因是_________； （2）请写出此题正确的解题过程，再求值，其中x是不等式组的一个整数解． 【答案】（1）二；第一个分式的分子在去括号时括号内的1前面的符号没有变号； （2）过程见解析，当，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． （1）第一个分式的分子在去括号时<>括号内的1前面的符号没有变号，据此可得答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出每个不等式的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后根据分式有意义的条件确定x的值，并代值计算即可． 【小问1详解】 解：观察可知，该同学的解答过程是从第二步出现错误的，错误原因是第一个分式的分子在去括号时<>括号内的1前面的符号没有变号； 【小问2详解】 解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴， ∴原式． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）将向下平移3个单位长度，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出． （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得到（点B，C的对应点分别为，），画出． （3）请直接写出以A，，，C为顶点的四边形的面积． （4）在线段上画一点D，使得的面积是面积的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称和旋转，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）把A、B、C的横坐标不变，纵坐标都减去3即可得到它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即为； （2）根据网格的特点和旋转方式找到的位置，描出并顺次连接即可； （3）根据列式求解即可； （4）取，连接交与D，点D即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解：如图所示，取，连接交与D，点D即为所求． 可证明四边形是矩形，则点D是的中点． 18. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同． （1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】（1）A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元 （2）当购买A类图书60本，B类图书40本时，最省钱，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A类图书的单价为x元，则B类图书的单价为元，根据用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同建立方程求解即可； （2）设购买A类图书m本，则购买B类图书本，根据A类图书不少于B类图书的倍，列出不等式可得；设购买费用为y元，分和两种情况，分别求出对应的y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A类图书的单价为x元，则B类图书的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元； 【小问2详解】 解；当购买A类图书60本，B类图书40本时，最省钱，理由如下； 设购买A类图书m本，则购买B类图书本， 由题意得，， 解得； 设购买费用为y元， 当时，，此时的费用为， ∴y随m增大而增大， ∴当，时，y有最小值，最小值为； 当时，则，此时费用为， ∴y随m增大而减小， ∴当，时，y有最小值，最小值为； ∵， ∴当购买A类图书60本，B类图书40本时，最省钱． 19. 如图，已知，与相交于点E． （1）请你添加一个条件使，并加以证明， （2）在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）添加条件为：，证明见解析 （2）是，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）添加条件为：，然后证明出即可； （2）延长、交于点P，根据题意证明出，得到，，判断出点E在的垂直平分线上，然后证明出，得到，判断出点P在的垂直平分线上，即可证明直线是线段的垂直平分线． 【小问1详解】 添加条件为： ∵，， ∴； 【小问2详解】 是，证明如下： 如图所示，延长、交于点P， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点E在的垂直平分线上 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 ∴直线是线段的垂直平分线． 20. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：、，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）________； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为40，求阴影部分的总面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，正确理解题意是解题的关键： （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设两个连续的偶数为、，n为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得出，最后根据整除的定义即可得证； （3）结合图形可得出阴影部分的面积为，然后根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：（答案不唯一）； 【小问2详解】 证明：设两个连续的偶数为、，n为自然数，则完美数为， ∴ ， ∵n为自然数， ∴为正整数， ∴能被4整除， 即任意一个完美数都能够被4整除； 【小问3详解】 解：根据题意，得 ． 21. 如图，的对角线，相交于点O，，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为． （1）求的长（用含t的代数式表示）； （2）当四边形是平行四边形时，求t的值； （3）当点O在线段的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得出，则BQ即可用t表示； （2）由题意知，根据，列出方程即可得解； （3）如图，先求出和的长，若O在线段的垂直平分线上，则，在中，根据勾股定理得：，列方程可得t的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， ∴当t为秒时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 如图，过点O作交于点E，交于点F， 中，∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍）， ∴当秒时，点O在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 22. 【问题提出】 在中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点P为的中点，作射线交于点F，判断与的位置关系与数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出和的关系________，________； （2）再探究一般情况，如图所示，判断与关系，并说明理由； 【问题应用】 （3）当，且时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得点与点重合，则为的中点，结合直角三角形的性质即可知； （2）延长至点M，使，连接和分别交于点J和K，则和，根据旋转的性质得，进一步证明，有，即可得，则有和； （3）分两种情况：当点D位于上，则，过点A作于点H，则，结合勾股定理即可求得；当点D位于延长线上，根据等量关系即可得点B和点P重合，结合等腰三角形的性质即可． 【详解】解：（1）∵点与点重合， ∴点与点重合， ∵为的中点， ∴为的中点， ∵，， ∴； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接和分别交于点J和K，如图， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）当点D位于上时， ∵，， ∴， 过点A作于点H，如图， 则， ∴， ∵， ∴，， ∴； 当点D位于延长线上时， ∵，， ∴点B和点P重合，如图， ∵，， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，以及勾股定理等知识点，解题的关键是熟悉分类讨论思想和三角形的综合性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末样卷八年级数学 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间90分钟，满分120分．考生应首先阅读试题卷及答题卡上的相关信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（ ） A 三角形 B. 四边形 C. 正六边形 D. 正八边形 6. 如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是1，那么不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为6，则的面积是（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 8. 下列说法正确的个数是（ ） ①等腰三角形的高、中线、角平分线重合； ②三角形三条边垂直平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等； ③一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ⑤三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，平分交于点F，平分于点E，，，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，面积为的纸片沿BC方向平移至的位置，平移的距离是BC长的2倍，则纸片扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是华为手机天气APP上显示的郑州市某一天的气温情况，设这天气温为，那么应满足条件是_________．（用含有的不等式表示） 12. 已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设_____． 13 因式分解：__________． 14. 如图，在中，点E是的中点，且，当时，的长为________． 15. 如图，在中，，，，点P是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为________． 三、解答题（本题共7小题，共75分） 16. 计算下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决相关问题． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 （1）该同学解答过程是从第________步开始出错的，其错误的原因是_________； （2）请写出此题正确的解题过程，再求值，其中x是不等式组的一个整数解． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法）． （1）将向下平移3个单位长度，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出． （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得到（点B，C的对应点分别为，），画出． （3）请直接写出以A，，，C为顶点的四边形的面积． （4）在线段上画一点D，使得的面积是面积的． 18. “阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同． （1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？ （2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 19 如图，已知，与相交于点E． （1）请你添加一个条件使，并加以证明， （2）在第（1）问的条件下延长、交于点P，直线是线段的垂直平分线吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 20. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”．例如：、，；则12、20、28这三个数都是完美数． （1）按照上述规律，请你写出一个与上面不同的完美数，并表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）________； （2）证明：任意一个完美数都能够被4整除； （3）如图所示，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数……，按此规律拼叠到正方形，其边长为40，求阴影部分的总面积． 21. 如图，的对角线，相交于点O，，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．连接并延长交于点Q，设点P的运动时间为． （1）求的长（用含t的代数式表示）； （2）当四边形是平行四边形时，求t的值； （3）当点O在线段的垂直平分线上时，直接写出t的值． 22. 【问题提出】 在中，，，点D是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点P为的中点，作射线交于点F，判断与的位置关系与数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，当点D与点B重合时，直接写出和的关系________，________； （2）再探究一般情况，如图所示，判断与关系，并说明理由； 【问题应用】 （3）当，且时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$