广东省湛江市雷州市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 3．（3分）某科技论坛对Deep Seek、豆包、腾讯元宝、夸克四款AI助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）： AI助手 评分（满分100） Deep Seek 88 豆包 84 腾讯元宝 84 夸克 86 评分的众数和中位数分别是（　　） A．84，86 B．84，88 C．88，85 D．84，85 4．（3分）若添加一个条件，使得▱ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BC 5．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x2 D．y＝3x 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 9．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而增大 C．当时，y＞0 D．它的图象经过第一、二、三象限 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝5 B． C．菱形的面积为48 D．点A到BC的距离为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是　 　 ． 12．（3分）某校为调查学生对2023年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为S甲2＝5.48，S乙2＝5.32，S丙2＝5.17，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 　 　 班．（填“甲”或“乙”或“丙”） 13．（3分）如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　 　 ． 14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，若EF＝2，则BC＝　 　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE＝OE，AB＝2，则BC的长为　 　 ． 三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分） 16．（7分）计算：． 17．（7分）在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． 求证：AF＝CE． 18．（7分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺） 四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分） 19．（9分）某商店销售A，B两种服号的商品，销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元． （1）求每台A型和B型商品的销售利润； （2）商店计划购进A，B两种型号的商品共10台，其中A型商品数量不少于B型商品数量的一半，设购进A型商品m台，这10台商品的销售总利润为w元，求该商店购进A，B两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CA平分∠BCD，过点A作AE⊥CB，交CB延长线于点E．四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，连接EO． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝1，∠BCD＝60°，求△AEC的面积． 21．（9分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组： A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，m＝ 　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22．（13分）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 23．（14分）如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）求证：EF＝ED； （2）若AB＝2，，BF的长度为 　 　 ； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 2024-2025学年广东省湛江市雷州市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C D B C C D C 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A.，故不是最简二次根式，不符合题意； B.，故不是最简二次根式，不符合题意； C.，故不是最简二次根式，不符合题意； D． 是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2．（3分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 【解答】解：A、因为12+22≠32，所以不能构成直角三角形； B、因为22+32≠42，所以不能构成直角三角形； C、因为32+42＝52，所以能构成直角三角形； D、因为42+52≠62，所以不能构成直角三角形． 故选：C． 3．（3分）某科技论坛对Deep Seek、豆包、腾讯元宝、夸克四款AI助手中某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）： AI助手 评分（满分100） Deep Seek 88 豆包 84 腾讯元宝 84 夸克 86 评分的众数和中位数分别是（　　） A．84，86 B．84，88 C．88，85 D．84，85 【解答】解：数据按照从小到大排列是：84，84，86，88， 84出现次数最多， 故众数是84，中位数是， 故选：D． 4．（3分）若添加一个条件，使得▱ABCD是菱形，则这个条件可以是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BC 【解答】解：A选项，▱ABCD中有AB＝CD，添加该条件不能证明▱ABCD是菱形，A不符合题意， B选项，添加AC＝BD后可证▱ABCD是矩形，但不能证明▱ABCD是菱形，不符合题意， C选项，添加AC＝BD后可证▱ABCD是菱形，符合题意， D选项，添加AC＝BD后可证▱ABCD是矩形，但不能证明▱ABCD是菱形，不符合题意， 故选：C． 5．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x2 D．y＝3x 【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不符合题意； B、y是反比例函数．不符合题意； C、y＝2x2是二次函数，不符合题意； D、y＝3x是正比例函数，符合题意． 故选：D． 6．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据二次根式加减法、乘除法的法则逐项分析判断如下： A、和，不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误； B、，故选项B正确； C、，故选项C错误； D、，故选项D错误； 故选：B． 7．（3分）如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A． B． C． D．2.5 【解答】解：∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAB＝90°， ∴OB， ∴这个点表示的示数是， 故选：C． 8．（3分）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 9．（3分）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论不正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而增大 C．当时，y＞0 D．它的图象经过第一、二、三象限 【解答】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项不符合题意； B．∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C．当时，y＞0，故本选项不符合题意； D．它的图象经过第二、三，四象限，故本选项符合题意； 故选：D． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，若AC＝6，BD＝8，则下列结论错误的是（　　） A．AB＝5 B． C．菱形的面积为48 D．点A到BC的距离为 【解答】解：A、由题意可得： ∴AC⊥BD，且，， 则在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，由勾股定理可知， 故该选项正确，不符合题意； B、由题意可得：AC⊥BD，且，， 则在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，OA＝3，OD＝4，由勾股定理可知， ∵点E是Rt△AOD斜边AD的中点， ∴， 故该选项正确，不符合题意； C、在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形的面积为， 故该选项错误，符合题意； D、过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∴由等面积可知， 由题意可得： ∴AC⊥BD，且，， 则在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3，OC＝4，由勾股定理可知， ∴24＝5AF，解得， 则点A到BC的距离为， 故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是　x≥5　 ． 【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴x﹣5≥0， ∴x≥5． 故答案为：x≥5． 12．（3分）某校为调查学生对2023年播出的《感动中国》节目中英雄人物事迹的了解情况，选取甲、乙、丙三个班级进行“感动中国故事知多少”的问卷测试，若甲、乙、丙三个班级的平均分相同，且方差分别为S甲2＝5.48，S乙2＝5.32，S丙2＝5.17，则甲、乙、丙三个班级中成比较稳定的是 　丙　 班．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【解答】解：∵三个班级的平均分相同，S甲2＞S乙2＞S丙2， ∴三个班级中成比较稳定的是丙． 故答案为：丙． 13．（3分）如图，已知直线y1＝2x+3与直线y2＝kx+b（k≠0）交于点（n，6），则关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为 　x　 ． 【解答】解：将点（n，6）代入y＝2x+3得， n， 由函数图象可知， 当x时，一次函数y1＝2x+3的图象不在一次函数y2＝kx+b图象的上方，即kx+b≥2x+3， 所以关于x的不等式kx+b≥2x+3的解集为：x． 故答案为：x． 14．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，若EF＝2，则BC＝　4　 ． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，EF＝2， ∴E是BD的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴2， ∴BC＝4， 故答案为：4． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于E，若BE＝OE，AB＝2，则BC的长为　2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OB， ∵AE⊥BD于E，BE＝EO， ∴△ABO是等边三角形， ∴AB＝BO＝2， ∴AC＝2OB＝4， ∴BC2， 故答案为：2． 三、解答题一（总共3道题，每道题7分，共21分） 16．（7分）计算：． 【解答】解：原式＝4﹣31 ＝1﹣31 ＝﹣2． 17．（7分）在▱ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F． 求证：AF＝CE． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AD＝CB， ∴∠DAF＝∠BCE ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DFA＝∠BEC＝90° ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE． 18．（7分）《九章算术》中记“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远．问：竹子折断处离地面有几尺？（1丈＝10尺） 【解答】解：设竹子折断处离地面有x尺， 由题意得：∠C＝90°，BC＝4尺，AC+AB＝10尺，AC＝x尺， ∴AB＝（10﹣x）尺， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∴x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.2． 答：竹子折断处离地面有4.2尺． 四、解答题二（总共3道题，每道题9分，共27分） 19．（9分）某商店销售A，B两种服号的商品，销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元． （1）求每台A型和B型商品的销售利润； （2）商店计划购进A，B两种型号的商品共10台，其中A型商品数量不少于B型商品数量的一半，设购进A型商品m台，这10台商品的销售总利润为w元，求该商店购进A，B两种型号的商品各多少台，才能使销售总利润最大？ 【解答】解：（1）设A型利润x元/台，B型利润y元/台，由“销售1台A型和2台B型商品的利润和为400元，销售2台A型和1台B型商品的利润和为320元”可得： ， ∴ 答：A型利润80元/台，B型利润160元/台； （2）设A型m台，则B型（10﹣m）台， ∴， ∴，W＝80m+160（10﹣m）， ∴W＝﹣80m+1600， ∵k＝﹣80＜0， ∴W随m增大而减小， ∴当m＝4时，Wmin＝﹣80×4+1600＝1280， 答：A型4台，B型6台，总利润最大． 20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CA平分∠BCD，过点A作AE⊥CB，交CB延长线于点E．四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，连接EO． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OE＝1，∠BCD＝60°，求△AEC的面积． 【解答】（1）证明：由题意可得： ∴∠CAD＝∠ACB，∠ACD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠CAD， ∴AD＝CD， ∵BC＝DC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； ∵BC＝DC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：由题意可得：AC⊥BD，， ∵AE⊥CB， ∴∠AEC＝90°， ∴， ∴AC＝2， ∴， ∴△AEC的面积． 21．（9分）2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组： A．x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝ 　98　 ，b＝ 　93　 ，m＝ 　10　 ； （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【解答】解：（1）10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 98出现最多，则a＝98， 根据统计表可得满分的有10×50%＝5人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83，86． 则按从小到大排列，第5个数据为86，第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为10﹣10×50%﹣3＝2，都不为0， ∴评分分数为A和B的人数都是1人， ∴，则m＝10， 故答案为：98，93，10． （2）男生更喜欢《哪吒2》， 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》， （3）（人）． 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人． 五、解答题三（总共2道题，22题13分，23题14分，共27分） 22．（13分）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点． （1）求直线y＝kx+b的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上． ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由． 【解答】解：（1）将A（6，0），B（0，3）代入y＝kx+b得： ，解得：， ∴直线AB的表达式为yx+3； （2）①∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°， ∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠BCO＝∠CDE． 在△BOC和△CED中， ， ∴△BOC≌△CED（AAS）， ∴OC＝DE，BO＝CE＝3． 设OC＝DE＝m，则点D的坐标为（m+3，m）， ∵点D在直线AB上， ∴m（m+3）+3， ∴m＝1， ∴点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1）； ②存在，设点Q的坐标为（n，n+3）． 分两种情况考虑， 当CD为边时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴0﹣n＝4﹣1或n﹣0＝4﹣1， ∴n＝﹣3或n＝3， ∴点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）； 当CD为对角线时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴n+0＝1+4， ∴n＝5， ∴点Q″的坐标为（5，）． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，）或（﹣3，）或（5，）． 23．（14分）如图正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F． （1）求证：EF＝ED； （2）若AB＝2，，BF的长度为 　2　 ； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 【解答】（1）证明：过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，EH⊥AB于点H，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠BAD＝∠DAC＝45°，AD∥BC， ∴EN⊥BC， ∴四边形ABNM，四边形CDMN和四边形AMEH都是矩形， ∴∠FNE＝∠EMD＝90°，MN＝AB＝AD，AM＝BN， ∴∠1+∠2＝90°， ∵EF⊥DE， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝∠2， ∵EM⊥AD，∠DAC＝45°， ∴△AME是等腰直角三角形， ∴AM＝EM， ∵MN＝AD， ∴EM+EN＝DM+AM， ∴EN＝DM， 在△ENF和△DME中， ， ∴△ENF≌△DME（AAS）， ∴EF＝ED； （2）解：∵四边形ABCD是正方形，且AB＝2， ∴AD＝AB＝2， 设AM＝EM＝BN＝a， ∴DM＝AD﹣AM＝2﹣a， 在△DME中，由勾股定理得：EM2+DM2＝DE2， ∴， 整理得：a2﹣2a+1＝0， 解得：a＝1， ∴AM＝EM＝BN＝a＝1， ∵△ENF≌△DME， ∴FN＝EM＝1， ∴BF＝BN+FN＝2， 故答案为：2； （3）∵点E为对角线AC上一点， ∴线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，有以下两种情况： ①当DE与AD的夹角是30°时，即∠ADE＝30°，如图3①所示： ∴∠EDC＝∠CDA﹣∠ADE＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， 在四边形DEFC中，∠EFC+∠BCD+∠EDC+∠DEF＝360°， ∴∠EFC+90°+60°+90°＝360°， ∴∠EFC＝120°； ②当DE与BC的夹角是30°时，即∠CDE＝30°，如图3②所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， 在△CDE中，∠CED＝180°﹣（∠CDE+∠DCA）＝180°﹣（30°+45°）＝105°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝105°﹣90°＝15°， ∵∠BCA是△CEF的外角， ∴∠BCA＝∠CEF+∠EFC， ∴45°＝15°+∠EFC， ∴∠EFC＝30°， 综上所述：∠EFC的度数是120°或30°． 学科网（北京）股份有限公司 $$