精品解析：广东省汕头市金平区金园实验中学2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷

金园实验中学2024－2025学年度第二学期期中考试卷 八年级数学 （温馨提示：请将所有解答写在答题卷的相应位置．） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：矩形和菱形是平行四边形， 矩形和菱形都具有对角线互相平分，对角相等， ∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等， ∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质． 故选：A． 3. 已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形为平行四边形的是（ ） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式． 【详解】解：若选择①③，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可判定； 若选择②④，根据两组对边相等的四边形是平行四边形即可判定； 若选择①②或③④，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A：==，选项计算错误，不符合题意； B：==（），选项计算错误，不符合题意； C：==，选项计算错误，不符合题意； D： ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由题意可得，，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故选：B． 6. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵△DEF由△DEA翻折而成， ∴EF=AE=5， 在Rt△BEF中， ∵EF=5，BF=3， ∴， ∴AB=AE+BE=5+4=9， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=9 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）． 7. 如图，是棱长为的正方体的一个顶点，是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据侧面展开图连接即可得到直角三角形，再利用勾股定理可得到距离． 【详解】解：连接， ∵正方体得到棱长为， ∴， ∵点是一条棱的中点， ∴， ∴在中，， 故选． 【点睛】本题考查了正方体的性质，中点的定义，勾股定理，掌握正方体的性质是解题的关键． 8. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键．连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得四边形是菱形，然后根据正方形的判定即可得． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵与不一定垂直， ∴与也不一定垂直， ∴四边形一定是菱形，不一定是正方形， 故选：C． 9. 已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202－约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式．在中，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算． 根据海伦公式，已知三角形三边长，先计算半周长，再代入公式即可求出面积． 【详解】解：由三边长分别为，，，则 代入海伦公式： 化简得： 因此，的面积为， 故选：C． 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；②先说明，结合是等腰直角三角形，即，然后根据求解即可判定；③先说明是等腰直角三角形，再运用勾股定理求，然后用勾股定理求得即可；④过B作，交的延长线于F，先说明由是等腰直角三角形可求得，进而求得，用勾股定理可求 ，连接，求出的面积，然后减去的面积即可； 根据④求得的长，再结合正方形的性质即可判定． 【详解】解：①∵ ∴ 又∵， ∵在和中， ∴；故①正确； ②∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即； ∵过点A作的垂线交于点P．若 ∴是等腰直角三角形，即 ∴故②正确； ③∵， ， ∴， ， 又∵②中， ∴ ，故③正确； ④如图：过B作，交的延长线于F， 又∵③中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ， ∴ ∴ 如图，连接， ∵， ∴ ， ∴ ，故④正确． ⑤∵正方形， ∴，故⑤错误； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④共4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “全等三角形的对应边相等”的逆命题是______． 【答案】对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果． 【详解】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等； 故答案为：对应边相等的两个三角形全等 12. 已知，为实数，且，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 13. 【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：16． 14. 如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______． 【答案】####1.5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，延长交于N，利用证得，求得，，再根据三角形中位线的性质即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：延长交于N， 平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角的放在第一象限，其中角的对边长为，斜边的端点、分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、．根据含角的直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理、含角的直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识，添加辅助线、利用三角形的三边关系解决最值问题是解题的关键． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算二次根式的乘除法，再进行加减计算． 【详解】解： ． 17. 已知，． （1）化简和； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式分母有理化，二次根式的混合运算，完全平方公式： （1）通过分母有理化进行化简； （2）根据（1）中结论先计算出和，再利用完全平方公式将变形为，即可求解． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴ ． 18. 如图，是平行四边形的对角线， （1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、；连接、； （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定等，正确作出图形是解题的关键． （1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【小问1详解】 解：如图，EF所作； 【小问2详解】 证明：由作图可知： 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为的垂直平分线， ， 四边形是菱形． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块空地的面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 20. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当地演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”具有这种现象的数还有许多，例如： ，等． （1）【猜想】_____________；（不用化成最简二次根式） （2）【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”术，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， 证明如下， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 证明如下， ； 【小问3详解】 解：， ，， ， ， 故答案：． 21. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． （1）t取何值时，四边形为矩形？ （2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）时，四边形为矩形； （2）4或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定，当时，四边形为平行四边形，又由，平行四边形是矩形，列出方程求解即可； （2）是动点，点在点的左边和右边所构成的四边形都可能是平行四边形，分类讨论列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，，则，，则， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 则有，解得， 答：时，四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵，是上一点，即， ①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， ②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有，解得， 综上所述s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分） 22. 阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）若，，直接写出的值； （2）当，的距离时，求出的值； （3）若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解材料中两点之间的距离公式是解决问题的关键． （1）由材料中两点之间的距离公式直接带点求值即可得到答案； （2）由材料中两点之间的距离公式直接带点列方程求解即可得到答案； （3）由材料中两点之间的距离公式，理解表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和，再由两点之间线段最短即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 由材料中两点之间的距离公式可知； 【小问2详解】 解：，， ，即， ，解得，即或； 【小问3详解】 解：由材料中两点之间的距离公式可知表示动点到定点的距离与动点到定点的距离之和， 根据两点之间线段最短，要使式子有最小值，则三点共线，且在两个定点之间， 则这个最小值为． 23. 已知，正方形，是上一点，交的延长线于． （1）在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； （2）如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： （3）如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得；证明即可得； （2）过点P作于点N，则得；由已知求得，则；由勾股定理可求得，进而得，再由勾股定理即可求得； （3）过点C作交于Q，连接；先证明四边形为平行四边形，再证明，得，从而得证． 【小问1详解】 解：；证明如下： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴； ∵，， ∴，，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点P作于点N，则； ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得； 由（1）知，； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 在中，由勾股定理得； 【小问3详解】 解：； 理由如下：如图，过点C作交于Q，连接； ∵四边形为正方形， ∴，，； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴； ∵平分，， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，角平分线的性质定理等内容，熟练掌握这些知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 金园实验中学2024－2025学年度第二学期期中考试卷 八年级数学 （温馨提示：请将所有解答写在答题卷的相应位置．） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 2. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　） A 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 3. 已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形为平行四边形的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 4. 下列各式中计算正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. 5. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，是棱长为的正方体的一个顶点，是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则展开图中，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中，给出了计算公式海伦公式①，其中，，是三角形的三边长，，为三角形的面积，并给出了证明．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202－约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式②，经过对公式②进行整理变形，发现海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦一秦九韶公式．在中，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若．下列结论：①≌；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “全等三角形对应边相等”的逆命题是______． 12. 已知，为实数，且，则______． 13. 【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____________． 14. 如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将含角放在第一象限，其中角的对边长为，斜边的端点、分别在轴的正半轴，轴的正半轴上滑动，连接，则线段的长的最大值是___________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 已知，． （1）化简和； （2）求的值． 18. 如图，是平行四边形对角线， （1）尺规作图：按要求完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹，并标明字母．作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、；连接、； （2）在（1）条件下，求证：四边形是菱形． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 20. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当地演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”具有这种现象的数还有许多，例如： ，等． （1）【猜想】_____________；（不用化成最简二次根式） （2）【推理证明】请你用一个正整数（为“穿墙”术，）表示含有上述规律的等式，并给出证明； （3）【创新应用】按此规律，若（，为正整数），求的值． 21. 在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t． （1）t取何值时，四边形为矩形？ （2）是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分） 22. 阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的距离，记作．如，，则． 请根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）若，，直接写出的值； （2）当，的距离时，求出的值； （3）若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 23. 已知，正方形，是上一点，交的延长线于． （1）在探究与的数量关系时，小颖作了如图1的辅助线：作于点，作于点N．请你帮小颖写出与的数量关系并证明； （2）如图2，延长交的延长线于，连，若，，，求出的长： （3）如图3，过的直线平分，分别交，于，，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$