精品解析：四川省达州市经开区2024--2025学年下学期期末考试八年级数学试卷

2025年春季义务教育教学质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不为零，且被开方数非负．结合这两个条件求解x的范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴且， ∴且， ∴， 故选：B． 2. 对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ） A. 轴对称，平移，旋转 B. 轴对称，旋转，平移 C. 旋转，轴对称，平移 D. 平移，旋转，轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换平移变换旋转变换． 故选：． 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的三个性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选项A、B、D变形错误，选项C变形正确； 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直接根据平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：根据因式分解的定义，可知A，C，D选项不是把一个多项式转化成几个整式积的形式， 只有B选项，是因式分解， 故选：B． 6. 如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（ ） A. 9° B. 10° C. 15° D. 20° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出和，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：正五边形的每个内角度数为：， 正方形的每个内角度数为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．   故选：A ． 7. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程即可； 【详解】解：由题意可知：装裱后的宽度（单位：米）为：， 装裱后的长度（单位：米）为：， ∵装裱后，整幅图画宽与长的比是， ∴， 故选：D 8. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 9. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作E点关于的对称点，连接、 、，当、P、F三点共线，时，此时的值最小，由题意可得，则，根据勾股定理即可求出 的值，即的最小值． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则， ∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质以及勾股定理．熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，DE平分，交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后用平方差公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，根据图象法确定不等式的解集即可，熟练掌握图象法求不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为： 13. 如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，平行四边形的判定与性质．先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质与三角形的中线等分三角形的面积可得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形平行四边形； ∵四边形的面积为20， ∴； ∵点E为的中点， ∴， 故答案为：5． 14. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解．熟练掌握了一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法是解题的关键． 首先分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据已知解集确定的取值范围，再求解凡是方程，根据方程的解为正数确定的另一取值范围，最后找出满足两个条件的所有整数a并求和． 【详解】解： 两边同时乘以6得： 解得：， ， 解得：， 因为一元一次不等式组的解集为， 所以，解得：； 通分得到： 解得：， 因为分式方程的解为整数，所以且， 解得：且， 所以满足条件的整数为：，，2，3，4，5， 它们的和为：， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4的等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要涉及等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及图形面积的计算．解题的关键思路是通过等边三角形的性质构造全等三角形，找出线段扫过的图形，进而计算其面积． 具体来说，利用是等边三角形和的条件，证明和全等，从而将线段的运动转化为线段的运动，进而确定线段扫过的图形，再计算其面积． 【详解】解：是边长为4的等边三角形， ，． ， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ， 即． 在和中， ， ． ，， ，， ，， ，即点Q的运动轨迹在射线上， 作射线，射线上截取，连接， ， 即点P从点C运动到点D的过程中，点Q从图中的点Q运动到点，点Q的运动轨迹是下图中的线段， ，，此时， ， 线段扫过的图形的面积等于的面积． 作于， ， ，  线段扫过的面积， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （1）因式分解：； （2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，解不等式组，本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，合并同类项，再用完全平方公式分解因式即可； （2）先求出不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 17. 先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】；当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分析有意义的条件，选择合数的数，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 当时，原式； 当时，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______，点A的对应点的坐标为______； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，画出； （3）以原点O为对称中心，画出与成中心对称的． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标． （1）根据平移前后C点坐标和的坐标可画出图形； （2）将三角形三顶点分别绕点A按顺时针方向旋转得到对应点，连接可得． （3）作出A、B、C关于原点O的中心对称点、、，连接三点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵且平移后其对应点的坐标为， ∴向右平移5个单位，再向下平移3个单位后得到 ∴点B的对应点的坐标为，点A的对应点的坐标为， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：如图，即为所求： 小问3详解】 解：如图，即为所求： 19. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点D，E，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）按照尺规作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）证明出，即可证明点E在线段的垂直平分线上． 【小问1详解】 解：作图如图所示． 【小问2详解】 证明：在中，，， ∴，． ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴平分． ∵，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质与判定，尺规作图，直角三角形锐角互余，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4cm 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【小问1详解】 证明：，， ，， 和均为直角三角形， 和中， ， ， ， ，， 平分； 【小问2详解】 解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 21. 巴山大峡谷景区是国家森林公园，大巴山国家地质公园，天然褶皱造型博物馆，也是四川十大红叶旅游目的地、古巴人文化的富集地．周末，小乐和爸爸妈妈一起去巴山大峡谷游玩，发现状元楼的每一层的地面可以近似地看作正多边形，爸爸借此机会给小乐出了两道数学题，请帮小乐一起解答． （1）若用两种边长相等的正多边形镶嵌整个平面，其中一种是等边三角形，另一种不可能是下面的______．（填序号） ①正四边形 ②正五边形 ③正六边形 （2）如图1是用4个全等的正八边形拼接成的图形，相邻两个正八边形有一条公共边，围成一圈后，中间形成一个正方形．如图2，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，围成一圈后，中间也形成一个正多边形，求n的值． 【答案】（1）② （2）6 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【小问1详解】 解：正三角形的内角是； ①正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ③正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 综上分析可知：另一种不可能是②正五边形； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 22. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）比较与的大小．并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接证明，得到，证明是等边三角形．则．即可得到结论； （2）作于．求出和，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接 ∵都是等边三角形， ． ． ∴ ． ∵， ． 是等边三角形． ． 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 作于． ∴， 在Rt中，， 四边形是平行四边形 ， 又， 又是等边三角形，各边上的高相等都是 ． ． 【点睛】此题考查了等边三角形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是平行四边形是关键． 23. 某学校为了增强学生体质，购进一批甲、乙两种跳绳，已知一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同． （1）求每件甲种、乙种跳绳的进价分别是多少元？ （2）该校计划购进甲、乙两种跳绳共 48 件，其中甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数．该校决定此次进货的总资金不超过 1000 元，求该校共有哪几种进货方案？哪种方案的费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）每件甲种跳绳的进价为15元，每件乙种跳绳的进价为25元 （2）方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件；方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件；方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件；方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件；方案四的费用最低，为970元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式组是解题的关键： （1）设每件甲种跳绳的进价为元，根据一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲种跳绳件，根据甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数，此次进货的总资金不超过 1000 元，列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每件甲种跳绳的进价为元，则：每件乙种跳绳的进价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解并符合实际意义， ∴， 答：每件甲种跳绳的进价为15元，每件乙种跳绳的进价为25元； 【小问2详解】 设购进甲种跳绳件，则购进乙跳绳件，由题意，得： ，解得：， ∵为整数， ∴，则：， 故共有4种方案： 方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件； 方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件； 方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件； 方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件； ∵乙种跳绳的进价高于甲种跳绳的进价，故购进甲种跳绳的数量越多，乙种跳绳的数量越少，费用越少， ∴方案四，当购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件时，费用最少，为：元； 答：方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件；方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件；方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件；方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件；方案四的费用最低，为970元． 24. 阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． （1）用配方法因式分解：； （2）求的最小值； （3）已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【答案】（1） （2）8 （3）最小值是； 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）按照示例①解答即可； （2）按照示例②解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答； （3）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 25. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季义务教育教学质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用黑色墨水笔或黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是（ ） A. 轴对称，平移，旋转 B. 轴对称，旋转，平移 C 旋转，轴对称，平移 D. 平移，旋转，轴对称 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ） A B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知等腰中，，分别以，为边，作正五边形与正方形有公共边，则的度数为（ ） A. 9° B. 10° C. 15° D. 20° 7. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线AC，BD相交于点O，DE平分，交BC于点E，且，，连接OE．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，直线与直线（，为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 如图，在四边形中，，，E为的中点，连接，．若四边形的面积为20，则的面积为______． 14. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，是边长为4等边三角形，已知点，，点P是线段上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接．在点P从点C运动到点D的过程中，线段扫过的面积为__________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再从，1，2，3中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点C的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______，点A的对应点的坐标为______； （2）将绕点A按顺时针方向旋转得到，画出； （3）以原点O为对称中心，画出与成中心对称的． 19. 如图，在中，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点D，E，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：点E在线段的垂直平分线上． 20. 已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． （1）求证：平分； （2）若，，求长． 21. 巴山大峡谷景区是国家森林公园，大巴山国家地质公园，天然褶皱造型博物馆，也是四川十大红叶旅游目的地、古巴人文化的富集地．周末，小乐和爸爸妈妈一起去巴山大峡谷游玩，发现状元楼的每一层的地面可以近似地看作正多边形，爸爸借此机会给小乐出了两道数学题，请帮小乐一起解答． （1）若用两种边长相等的正多边形镶嵌整个平面，其中一种是等边三角形，另一种不可能是下面的______．（填序号） ①正四边形 ②正五边形 ③正六边形 （2）如图1是用4个全等的正八边形拼接成的图形，相邻两个正八边形有一条公共边，围成一圈后，中间形成一个正方形．如图2，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，围成一圈后，中间也形成一个正多边形，求n的值． 22. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）比较与的大小．并说明理由． 23. 某学校为了增强学生体质，购进一批甲、乙两种跳绳，已知一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同． （1）求每件甲种、乙种跳绳的进价分别是多少元？ （2）该校计划购进甲、乙两种跳绳共 48 件，其中甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数．该校决定此次进货的总资金不超过 1000 元，求该校共有哪几种进货方案？哪种方案的费用最低，最低费用是多少？ 24. 阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． （1）用配方法因式分解：； （2）求的最小值； （3）已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 25. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $