2025年福建省宁德市蕉城区蕉城区 二模数学试题（4月）

2024-2025学年度第二学期九年级4月核心素养检测 数 学 试 题 (满分：150分 考试时间：120分钟) 一、选择题 (共10小题；每小题4分，满分40分) 1．下列各数中，最小的是(    ) A． B．0 C． D．2 2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿294700亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据294700用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某商户3月份销售某吉祥物10万件，5月份销售11.5万件，设该吉祥物销售量的月平均增长率为（），则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知是的直径，，，是圆上的点，且，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列说法正确的是（    ） A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C．数据4，9，5，7的中位数是6 D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 9．如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（）    A．3 B．4 C．12 D．6 10．已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点A，B都在直线的上方，且，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(共6小题；每小题4分，满分24分) 11．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 ． 12．已知关于x的不等式的解集是，则a的值为 ． 13．如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为 ．    第16题图 第14题图 第13题图 14．已知反比例函数，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 15．如图，在矩形中，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 16．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）计算：． 18．（本题8分）如图，已知，，．求证：．    19．（本题8分）先化简，再求值：，其中m＝． 20．（本题8分）如图，在中，．    (1)求作菱形，使得D，E，F分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 21．（本题8分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． (1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； (2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 22．（本题10分）某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题． (1)本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图； (2)若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？ (3)完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率． 23．（本题10分）如图，是的直径，是的一条弦，于点M，连接． (1)若，求的度数； (2)的延长线相交于点F，是的切线，交于点E，若，求证：． 24．（本题12分）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足，连接EF，求证：． 李伟同学是这样解决的： 将绕点A顺时针旋转90°得到，此时AB与AD重合，再证明，可得结论． (1)如图2，在四边形ABCD中，，，，且，，求BE的长； (2)类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），在旋转过程中，等式始终成立，请说明理由． 25．（本题14分）根据以下素材，探索完成任务． 运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况 素 材 在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片、一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 问题解决 任 务 1 确定心形叶片的形状 如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 任 务 2 研究心形叶片的尺寸 如图3，心形叶片的对称轴直线与坐标轴交于A，B两点，直线分别交抛物线和直线于点E，F，点E，是叶片上的一对对称点，交直线与点G．求叶片此处的宽度． 任 务 3 探究幼苗叶片的生长 小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分，如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务1中的二次函数．已知直线与水平线的夹角为．三天后，点D长到与点P同一水平位置的点时，叶尖Q落在射线上(如图5所示)．求此时幼苗叶子的长度和最大宽度． 九年级数学试题 第 4 页 共 8 页 九年级数学试题 第 4 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B D C A C C C 11． 12．2 13． 14．k＞4 15． 16． 10．C 【详解】∵，∴，∵点和两点都在直线的上方且，∴，∴，∴①，又∵，∴，∴，∴，，∴，∴②，由①②得． 16． 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD， 即OM的最大值为； 17．解： ． 18．证明：在和中， ， ， ， ， ． 19．；. 解： 把代入原式 故原式可化简为：原式，原式的值 20．（1）如图所示． （2）∵，， 则， ∴ ∴． ∵菱形的各边相等，可设 ∴， 在中， 即 解得：（舍去） ∴ 即的长为6． 21．（1）解：过点M作于点D，如图， 根据题意可知， ∵海里， ∴海里． 故小岛M之间的最小距离为海里． （2）在中，海里． 在中， ∴， ∴(海里)， 则 (海里)， 故AB的长为200海里． 22．（1）解：由题意可得，时段B的人数为72，所占百分比为36%， ∴总人数为：（人）， 时段C的人数为（人）， 则条形统计图如图所示： （2）解：“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比为， 全县初中学生完成作业不超过1.5小时的人数约为（人）， 答：全县完成作业不超过1.5小时的学生约有人； （3）解：用树状图表示选取的情况，如图： 选取的总可能数为12，一男一女的可能数为8， 则刚好选到1名男生与1名女生的概率为． 23．（1）解：， ， ， 是的直径，， ， ， 故的度数为； （2）证明：连接，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ． 24．（1）如图2，过点作，交延长线于点． 四边形中，，， ∴四边形是正方形． ∴． 已知，根据已知材料可得：． 设，则， ∴． 在中，， ∴， 解得．∴． （2）如图3，将绕点顺时针旋转90°至位置， 则，，，旋转角． 连接，在和中， ， ∴． ∴． 又， ∴， ∴． 25．解：任务一：把=代入得： ∴， ∴抛物线解析式为 ∴顶点D 的坐标为； 任务二：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵E、是叶片上的一对对称点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 任务三：∵直线与x 轴成角 ∴可设直线的解析式为， 把点代入得，． ∴直线的解析式为， 联立，解得或 ∴，同理可求出直线的解析式为：， ∴， 把代入， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 联立，解得． ∵幼苗是越长越张开， ∴不合题意，舍去 ∴， 作交延长线于点H， ∴， 设直线的解析式为， 把点和代入得， ∴直线的解析式为， 作轴交抛物线和直线分别于点N，M， 作交曲线于． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴叶片此时的长度为，最大宽度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$