精品解析：安徽省亳州市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

安徽省亳州市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数计算公式求解即可． 【详解】， 故选：C． 2. 随着天气转暖旅游人数逐步增加，各景区投入不同数额的经费（万元）对环境进行治理，得到旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示： 投入经费（单位：万元） 1 2 3 4 5 6 7 收益增加值（单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9 若与的回归直线方程为，则（ ） A. -0.2 B. 0.2 C. -0.4 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】先算出，代入回归直线方程为，可得. 【详解】， 所以. 故选：B 3. 下列函数在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【详解】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D 4. 已知数列满足，则（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，则. 【详解】根据题意，， 则，即， 即数列的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列， 又，所以. 故选：B 5. 已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，则取到的正品数为2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式结合组合数计算即可. 【详解】取到的正品数为2的概率为. 故选：D 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出数列的周期即可求解． 【详解】由已知得，， ， ， ，即， 所以， 故选：C． 7. 已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值. 【详解】由题可知，曲线为， 则，设， 当曲线在点处的切线与平行时，两平行直线间的距离为P，Q两点距离最小值， 令，，即， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 此时的距离最小值为直线与直线的距离：. 故选：B. 8. 已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据求出，，再在中求出，利用算两次的思想即可求出关于的等式，进而求出离心率. 【详解】由题意可知，，， 设，，则由渐近线的对称性可知，， 因，则， ， 因，则，，， 则在中，则，化简得， 则离心率. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为20 B. 成等比数列 C. 数列为单调递减数列 D. 数列为单调递增数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二次函数的性质即可判断A；由求得通项公式，进而得出的值，即可判断B；根据增减数列的定义即可判断CD． 【详解】对于A，，当或5时，的最大值为20，故A正确； 对于B，，当时，， 所以也符合，所以数列的通项公式为， 所以，，所以成等比数列，故B正确； 对于C，，为等差数列，且， 所以数列为单调递减数列，故C正确； 对于D，，因为函数在上单调递减， 所以数列为单调递减数列，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知盒子中有2个白球和3个黑球，盒子中有3个白球和2个黑球．先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是（ ） A. 是互斥事件 B. 是独立事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念即可判断A；由条件概率，全概率公式即可判断BCD． 【详解】由题可知，，， 对于A，由题可知，是对立事件，所以是互斥事件，故A正确； 对于BC，， ， ，故不是独立事件，故BC错误； 对于D，，故D正确； 故选：AD． 11. 在长方体中，，则（ ） A. B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C. 直线AD与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解夹角的余弦值判断A，利用向量法求解平面的夹角判断B，利用线面角的向量公式求解判断C，利用点面距离的向量公式求解判断D. 【详解】在长方体中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 对于A，，， 则，故A错误； 对于B，为平面的法向量，设平面与底面ABCD夹角为， 则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设直线与平面所成角为 则，所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线AD与平面所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是______. 【答案】16 【解析】 【分析】令，利用各项系数和求出，再利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096， 所以，令得， 即，解得， 所以展开式中二项式系数和为． 故答案为：16. 13. 在三棱柱中，为的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，，两边平方计算后求其模. 【详解】根据题意，取中点，连接, ， 又， 则 ， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意方程有三个根，即方程有三个根，转化为与函数有三个交点，利用导数研究的单调性，画出示意图，数形结合可得或，解对数不等式即可得解. 【详解】函数且有三个零点，则方程有三个根， 即方程有三个根，即方程有三个根，易知， 所以方程有三个根，所以与函数有三个交点， 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为， 令得， 又无限趋向于0且时，趋向于负无穷大， 无限趋向于正无穷大时，趋向于0； 当时，，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，令得， 又无限趋向于0且时，趋向于正无穷大， 无限趋向于负无穷大时，趋向于0； 作出与函数的示意图： 由图可知，或，所以或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究臭氧效应，先选取40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （1）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 试验组 （2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）；列联表如下： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （2）依据小概率值的独立性检验，能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义求m，再根据题给数据，完成列联表； （2）根据给定公式计算出，再与题给条件进行比较，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意知：这40只小鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后，第20位和第21位数据的平均值，第20位为23.2，第21位为23.6. 所以这组数据的中位数：. 填写列联表如下： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 【小问2详解】 根据（1）中的列联表数据，结合给定公式， 可得, 根据小概率值的独立性检验：， 则. 所以依据小概率值的独立性检验，即能认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常体重的增加量有差异. 16. 已知数列的前项和为. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与之间的关系化简结合等比数列定义即可证明； （2）由（1）得，化简得然后结合单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由① 时，得. 时：② ①②即. ， 数列是首项为公比为的等比数列. . 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 则，单调递增，， n的最小值为. 17. 在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． （1）求甲队以获胜的概率； （2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 3 4 5 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意分析出甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，即可求解； （2）根据题意可取，分别计算出概率，即可求解分布列及数学期望． 【小问1详解】 甲队以获胜，已知甲队在第一场比赛中获胜，则甲队必在第五场获胜，第2,3,4场中胜1场，负2场，则甲队以获胜的概率为． 【小问2详解】 根据题意可取， 当时，即甲再连胜2场，所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 当时，有2种情况，甲胜或乙胜， 所以， 所以的分布列为： 3 4 5 所以数学期望． 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点的两条直线MA与直线MB的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若，求点的坐标； （3）已知点，直线与轴交于点，直线AM与交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）且， （2）或. （3）存在 【解析】 【分析】（1）设，利用化简，即可求的方程； （2）利用，求出直线的斜率，可求直线的方程，联立直线方程可求点的坐标； （3）设，则直线AM为，联立曲线，求出，可求的坐标，利用斜率公式以及斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式可得，从而可得结论. 【小问1详解】 设， 则， 化简得且， 所以点的轨迹(曲线)的方程为且. 【小问2详解】 或， 若，则； 由①②可得，即 若，则； 由①②可得，即 综上，或 【小问3详解】 设， 则直线AM为， 联立曲线得， 整理得， 由题设知， 则， 故， 又， ， 所以 ， 即， 所以存在，使得. 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求实数； （2）若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②求证：. 【答案】（1）； （2）①； ②由题意，（1）及（2）①证明如下，， 在中，， 有三个极值点，其中， 则另外两个，是方程的根，即的两个根， ∴要证，即证明， 设， 在中，， ∵， ∴，在上单调递减， 要证，即证， ∵，， ∵在上单调递减， ∴要证，即证， ∵， ∴，即为， ∴设，， ， 当时, ， ∴， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴，即， ∴. 【解析】 【分析】（1）设出切点的横坐标，根据直线与曲线相切，即可求出实数； （2）①求出表达式并求导，通过函数有3个极值点得出导数的情况，构造函数，进而将问题转化为直线与函数的交点问题，通过求解的单调性和范围，即可求出实数的取值范围； ②根据其中一个极值点，将问题转化为证明极值点偏移问题，即，根据，将转化为，构造函数的形式，最后对函数进行求导并判断其单调性，从而证明结论成立. 【小问1详解】 由题意，， 在中，， ∵与直线 相切， 设切点的横坐标为， ，解得：. 【小问2详解】 ①由题意及（1）得，，， 在中，， ∴， 在中，， ， ∵有三个极值点， ∴有3个根，即有3个根， 设其中一个根为，则有2个根，且都不为0和1， 即有2个解，即直线与函数有2个交点， 在中，， 当时，解得：， 当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∵当时，，当时，， ∴， ∵直线与函数有2个交点，且交点横坐标不为1， ∴. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省亳州市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 2. 随着天气转暖旅游人数逐步增加，各景区投入不同数额的经费（万元）对环境进行治理，得到旅游景区收益的增加值（万元），对应数据如下表所示： 投入经费（单位：万元） 1 2 3 4 5 6 7 收益增加值（单位：万元） 2 3 2 5 7 7 9 若与的回归直线方程为，则（ ） A. -0.2 B. 0.2 C. -0.4 D. 0.4 3. 下列函数在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 5. 已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随机抽取2件进行检测，则取到的正品数为2的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知点在曲线上，点在直线上，则P，Q两点距离最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为20 B. 成等比数列 C. 数列为单调递减数列 D. 数列为单调递增数列 10. 已知盒子中有2个白球和3个黑球，盒子中有3个白球和2个黑球．先从盒子随机取出一球放入盒子，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件；再从盒子中随机取一球，设“从盒子取出的球是白球”为事件，“从盒子取出的球是黑球”为事件，下列说法正确的是（ ） A. 是互斥事件 B. 是独立事件 C. D. 11. 在长方体中，，则（ ） A. B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C. 直线AD与平面所成角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，所有项的系数和为4096，则此二项式展开式中二项式系数之和是______. 13. 在三棱柱中，为的中点，则______. 14. 已知函数且有三个零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究臭氧效应，先选取40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，将试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量为 15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 （1）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，并分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 试验组 （2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列的前项和为. （1）求证：数列是等比数列； （2）若，求的最小值 17. 在某次乒乓球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束．在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响． （1）求甲队以获胜的概率； （2）设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望． 18. 在平面直角坐标系xOy中，过点的两条直线MA与直线MB的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若，求点的坐标； （3）已知点，直线与轴交于点，直线AM与交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求实数； （2）若函数有三个极值点， ①求实数的取值范围； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $