精品解析：吉林省松原市前郭县达里巴乡中学2024--2025学年下学期八年级期中检测 数学试卷

前郭县达里巴乡中学·八年级期中检测卷 数学试卷 1．本试卷为数学科目，考试形式为闭卷，全卷满分120分，考试时间120分钟，请合理安排答题时间． 2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在答题卡和试卷相应位置． 3．选择题答案须用2B铅笔规范填涂在答题卡上，非选择题请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内，写在试卷上无效． 4．闭卷考试不允许查阅教材及相关资料，请独立思考、诚信作答，禁止交流讨论、传递资料等作弊行为． 5．答题时请注意字迹工整、卷面整洁，合理组织语言，条理清晰地表达观点． 6．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回，不得带出考场． 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 0.6，0.8，1 B. 1，3，10 C. 5，10，12 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、0.6和0.8不是正整数，不满足定义，选项错误； B、，不满足定义，选项错误； C、，不满足定义，选项错误； D、，满足定义，选项正确； 故选：D． 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 4. 如图，在矩形中，对角线相关于点为边上的任意一点（不与点重合），过点作，垂足分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用，运用面积关系是本题的关键．连接．由勾股定理得出，可求得，由矩形的性质得出，，由，求得答案． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴； 故选：A． 5. a、b、c为三边，不是直角三角形的是（ ） A. a2＝c2﹣b2 B. a＝，b＝1，c＝ C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a＝8k，b＝17k，c＝15k 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理判断A、B，D选项；用直角三角形各角之间的关系判断C选项． 【详解】解：A、∵a2＝c2﹣b2，∴a2+b2＝c2，∴a、b、c为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误； B、∵b2+c2＝a2，∴a、b、c为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误； C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3x+4x+5x＝180°，解得，x＝15°， ∴5x＝5×15°＝75°＜90°，∴a、b、c为△ABC三边，不是直角三角形，故本选项正确； D、∵a2+c2＝b2，∴a、b、c为△ABC三边，是直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，若已知三角形的三边判定其形状时要根据勾股定理判断；若已知三角形各角之间的关系，应根据三角形内角和定理求出最大角的度数或求出两较小角的和再进行判断． 6. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和．连接，相交于点，与相交于点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG=CG．设OG=PG=CG=x，则EG=2x，FG=x，由勾股定理得出BC2=（4+2）x2，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形EFGH为正方形， ∴∠EGH=45°，∠FGH=90°， ∵OG=GP， ∴∠GOP=∠OPG=67.5°， ∴∠PBG=22.5°， 又∵∠DBC=45°， ∴∠GBC=22.5°， ∴∠PBG=∠GBC， ∵∠BGP=∠BGC=90°，BG=BG， ∴△BPG≌△BCG（ASA）， ∴PG=CG． 设OG=PG=CG=x， ∵O为EG，BD的交点， ∴EG=2x，FG=x， ∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ∴BF=CG=x， ∴BG=x+x， ∴BC2=BG2+CG2=x2(+1)2+x2=(4+2)x2， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 8. 在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，学会运用分类讨论的思想与巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．分两种情况考虑，①当时，②当时，然后过F作于G，根据勾股定理进行求解． 【详解】解：①如图所示，当时，过F作于G，则， 在中，， 又∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴中，； ②如图所示，当时，过F作于G，则， 在中，， 又∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴中，中，， 故答案为：或． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 【答案】. 【解析】 【分析】由折叠的性质可得AM=A'M=1，可得点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，由勾股定理可求MC的长，即可求A′C的最小值． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2， ∵M是AD边的中点， ∴AM＝MD＝1 ∵将△AMN沿MN所在直线折叠， ∴AM＝A'M＝1 ∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上， ∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值， 的最小值 故答案为 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题关键在于利用折叠的性质得到AM=A'M=1. 10. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【详解】∵▱ ABCD的周长为36， ∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE=CD． ∴OE=BC． ∴△DOE的周长="OD+OE+DE=" OD +（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15． 故答案是：15． 11. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，由题意可得，，，进而可得． 【详解】解：∵大正方形的面积是25， ∴， ∵小正方形的面积是1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 三、解答题（12—14每题6分，15—17每题7分，18—19每题8分，20—21每题10分，22题12分，共87分） 12. 已知：，，求的值． 【答案】7+4 【解析】 【详解】试题分析：根据x、y的值可以求得x-y的值和xy的值，从而可以解答本题． 试题解析：∵x＝1－，y＝1＋， ∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2， xy＝(1－)(1＋)＝－1， ∴x2＋y2－xy－2x＋2y ＝(x－y)2－2(x－y)＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1) ＝7＋4. 13. 已知，，求代数式的值． 【答案】－4 【解析】 【分析】先将代数式因式分解，再代入求值． 【详解】 故代数式的值为． 【点睛】本题考查因式分解、二次根式的混合运算，解决本题的关键是熟练进行二次根式的计算． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，涉及因式分解、分式的混合运算、二次根式混合运算等知识，先由分式混合运算法则化简分式，再将代入化简后的结果，利用分母有理化求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案； （2）直接利用勾股定理结合网格得出符合题意的答案． 【小问1详解】 解：如图1所示：正方形即为所求； 【小问2详解】 如图2所示：三角形即为所求． 16. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】（1）平方米 （2）线段的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 17. 如图，在中，点分别在上，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，若，且，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2）20 【解析】 【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO=EO，再由AO=CO，即可得出结论； （2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE=3，OA=4，然后求得AE=5，从而求得答案． 【详解】解：（1）证明：连接AE，CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠OAF=∠OCE， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA） ∴FO=EO， 又∵AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=EC； （2）． ∴OA=OC=4，OE=OF=3， ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形， ∴AE=EC=CF=FA， ； 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 18. 古代护城河上有座吊桥，图是它的结构原理图，图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． （1）若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 【答案】（1）从到定滑轮，再到点拉着的绳长为； （2）桥面的宽为． 【解析】 【分析】（）由题意知，，根据勾股定理求出，，求出即可得从到定滑轮，再到点拉着的绳长； （）根据勾股定理列出方程即可求桥面的宽； 本题考查勾股定理的应用和矩形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， 由题意可知：四边形是矩形， ∴， 由题意知：， ∴， ∴， ∴， ∴从到定滑轮，再到点拉着的绳长为； 【小问2详解】 解：由（）知，， ∴， ∵比长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴桥面的宽为． 19. 怀仁市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地的长为的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． （1）求长方形的周长； （2）除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 【答案】（1） （2）2000元 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确列出运算式子是解题关键． （1）利用长方形的周长公式列出运算式子，再计算二次根式的加法与乘法即可得； （2）利用大长方形的面积减去小长方形的面积可得绿地面积，然后乘以40即可得． 【小问1详解】 解：长方形的周长为 ， 答：长方形的周长为． 【小问2详解】 解： ， （元）， 答：定期维护的总费用为2000元． 20. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． （3）【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 【答案】（1）见解析； （2）； （3）①②． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是： （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【小问1详解】 证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； 【小问2详解】 解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； 【小问3详解】 解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. 21. 如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点． （1）①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边CD的中点时，求线段长． （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）直接写与面积和的最大值． 【答案】（1） （2）．理由见解析 （3）当点与点重合时，最大为，面积和最大值为 【解析】 【分析】（1）①延长，交于点，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，设，则，，推得，根据勾股定理即可求得； ②设，由①可知，根据勾股定理求得，连结，设，根据即可求解； （2）延长到点，使，连结，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，推得 （3）根据三角形的面积公式可得当最大时面积最大，即可求解． 【小问1详解】 ①如图，延长，交于点． 在正方形中， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由，解得． ∴． ②设， ∵，由①可知， 在中，由， 解得：． ∴． 如图，连结， 设，由可得： ， 解得：， ∴． 【小问2详解】 ． 理由如下： 如图，延长到点，使，连结． 在正方形中， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 ， ∵不变， ∴当最大时面积最大， ∴当点与点重合时，最大为，面积和最大值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，三角形的面积公式等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线向点C运动，点P在上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动．在点P运动过程中，连接PD，将沿翻折得到．设点P的运动时间为t秒． （1）BC的长为______． （2）用含t的代数式表示线段的长． （3）当四边形为中心对称图形时，求t的值． （4）连结，当与相等时，直换写出t的值． 【答案】（1）； （2）当时，；当时，； （3）t的值为2或； （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分两种情形∶点P在线段上，点P在线段上两种情形，分别求解即可； （3）分两种情形∶如图1中，当点P在线段上时，四边形是正方形，是中心对称图形，满足条件，此时．如图2中，当点P在线段上时，当四边形是菱形，过点A作于点H ．此时．解直角三角形求出，可得结论； （4）分两种情形∶当点P在线段上时与点P在边BC上时进行求解即可． 【小问1详解】 解∶在中，， ∴， 故答案为∶； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：∵将沿翻折得到， ∴， ∵四边形是正方形，是中心对称图形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 当点P在线段上时， ∵， ∴四边形是正方形， 如图1中，此时点P与点B重合，此时． 当点P在边（不包括点B）上时，如图2中， 过点A作于点H， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述，满足条件的值为2或； 【小问4详解】 如图3中，当点P在线段上时， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 此时． 当点P在线段上时，延长交于点T，过点D作交于点E ． ∵垂直平分线段， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ． ∴， ∴ ∴， 综上所述，满足条件的t的值为1或． 【点睛】本题考查了中心对称图形，翻折变换，勾股定理等知识，平行线分线段成比例，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 前郭县达里巴乡中学·八年级期中检测卷 数学试卷 1．本试卷为数学科目，考试形式为闭卷，全卷满分120分，考试时间120分钟，请合理安排答题时间． 2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在答题卡和试卷相应位置． 3．选择题答案须用2B铅笔规范填涂在答题卡上，非选择题请用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内，写在试卷上无效． 4．闭卷考试不允许查阅教材及相关资料，请独立思考、诚信作答，禁止交流讨论、传递资料等作弊行为． 5．答题时请注意字迹工整、卷面整洁，合理组织语言，条理清晰地表达观点． 6．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回，不得带出考场． 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 0.6，0.8，1 B. 1，3，10 C. 5，10，12 D. 3，4，5 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 4. 如图，在矩形中，对角线相关于点为边上的任意一点（不与点重合），过点作，垂足分别为，若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 5. a、b、c为三边，不是直角三角形的是（ ） A. a2＝c2﹣b2 B. a＝，b＝1，c＝ C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. a＝8k，b＝17k，c＝15k 6. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和．连接，相交于点，与相交于点．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 8. 在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则______． 9. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是__． 10. 如图，ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_____． 11. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则______． 三、解答题（12—14每题6分，15—17每题7分，18—19每题8分，20—21每题10分，22题12分，共87分） 12. 已知：，，求的值． 13. 已知，，求代数式的值． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长为，，． 16. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 17. 如图，在中，点分别在上，与交于点，且． （1）求证：； （2）连接，若，且，求四边形的周长． 18. 古代护城河上有座吊桥，图是它的结构原理图，图是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴点在竖直平面内转动，在点正上方固定一个定滑轮，绳子通过定滑轮与杆的另一端相连，且．某人站在点处，拉绳子的手的位置与地面的距离为． （1）若，，求从到定滑轮，再到点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若的长为，比长，求桥面的宽． 19. 怀仁市为做好城市园林绿化工作，进一步改善城市生态环境，美化城市居住环境，提升人民群众获得感、幸福感、对市内绿地进行改建．如图，该市某公园有一块长方形绿地的长为的长为，绿地内有一块长方形花坛（图中阴影部分），长为，宽为． （1）求长方形的周长； （2）除花坛外的绿地（图中空白部分）另作他用，需要40元的定期维护费，求定期维护的总费用． 20. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷． 【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论． 这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． （3）【数学思想】在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有___________．（填序号） ①方程思想②数形结合思想③分类讨论思想 21. 如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点． （1）①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边CD的中点时，求线段长． （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． （3）直接写与面积和的最大值． 22. 如图，在中，，，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿折线向点C运动，点P在上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动．在点P运动过程中，连接PD，将沿翻折得到．设点P的运动时间为t秒． （1）BC的长为______． （2）用含t的代数式表示线段的长． （3）当四边形为中心对称图形时，求t的值． （4）连结，当与相等时，直换写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $