精品解析：宁夏回族自治区 银川市第十五中学2024-2025学年九年级下学期中考一模考试数学试卷

2025年九年级中考第一次模拟测试卷数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 5. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，与x轴的一个交点位于，之间．有下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 某本教科书的字数大约有167000个，数据167000用科学记数法表示为_____． 10. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据： 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(精确到0.01) 11. 如图，点是上一点，，则的度数为______． 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是_____． 13. 将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是______． 14. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 15. 观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：______； …… 第202个等式：______． 16. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是__________．（参考数据：，，）（结果保留根号） 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，是正三角形． （1）用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积． 20. 某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生． （1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？ （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最低，最低为多少元？ 21. 如图，在四边形中，，，过的中点作的垂线，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 22. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 23. 如图，是的外接圆，为直径，点D为上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，交的延长线于点F．已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 24. 如图1左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即）．受桔槔的启发，小轩组装了如图1右图所示的装置，其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______N； （2）为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的重量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是______； ②根据下表，填空： … 10 20 30 40 50 … … 8 2 … ______，______； ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象； （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在函数的图象上存在点使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，，分别是、上两点，连接，，若，求证：． （2）如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值． （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长． 26. 如图，抛物线过点、点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级中考第一次模拟测试卷数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的概念，理解其概念是解题的关键． 根据倒数的定义计算即可． 【详解】解：根据倒数的定义：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数； ∴的倒数是． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，完全平方公式，负整数次幂，二次根式的化简等知识点，熟练掌握二次根式的化简是解决此题的关键．根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，二次根式的性质，完全平方公式进行运算即可得解． 【详解】解：，此选项正确，符合题意； ，此选项错误，不符合题意； ，此选项错误，不符合题意； ，此选项错误，不符合题意；   故选：A ． 3. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 4. 某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，， 故选：B ． 5. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故选：D． 6. 如图所示，二次函数的图象的对称轴是直线，且经过点，与x轴的一个交点位于，之间．有下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，确定a、b、c的符号可判断A选项，再根据当时，可确定B选项；由函数图象可知抛物线与x轴有两个交点即可判断C选项；根据对称轴的位置可判断D选项． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与y轴交于点， ∴，，，即， ∴，故A选项结合错误，不合题意； 由函数图象可知：当时，即，故B选项结合错误，不合题意； 由函数图象可知：抛物线与x轴有两个交点，即，故C选项结合错误，不合题意； 由抛物线的对称轴为，即， ∴，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 7. 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知现在每天生产(x+50)台机器，而现在生产800台所需时间和原计划生产600台机器所用时间相等，从而列出方程即可． 【详解】解：依题意，原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产(x+50)台机器， 由现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同得： . 故选A. 【点睛】本题考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划每天多生产50台机器”这一条件，继而列出方程是解本题的关键. 8. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， y=AP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， y=AD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， y=PD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 某本教科书的字数大约有167000个，数据167000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据： 移植的棵数n 1000 1500 2500 4000 8000 15000 20000 30000 成活的棵数m 865 1356 2220 3500 7056 13170 17580 26430 成活的频率 0.865 0.904 0.888 0.875 0.882 0.878 0.879 0.881 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(精确到0.01) 【答案】0.88 【解析】 【详解】因为（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8≈0.88,所以这种幼树移植成活率的概率约为0.88,故答案为:0.88. 11. 如图，点是上一点，，则的度数为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．熟知一元二次方程根与系数的关系为：，，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故答案为：1． 13. 将抛物线向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，新的抛物线的解析式为：； 故答案为：． 14. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为： 15. 观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：______； …… 第202个等式：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了规律探索，正确完全平方公式，找到规律是解题的关键．按照规律表示出第n个等式，即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 16. 在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图是装订机的底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄可绕着转轴B旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，此时连接杆的长度是__________．（参考数据：，，）（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点D作于点F．解求出，，再求出，最后利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 在中，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算得到化简的结果，最后把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 19. 如图，是正三角形． （1）用直尺和圆规作它的外接圆（保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连结，．若，求扇形的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2）扇形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理和扇形的面积，熟练掌握线段垂直平分线的性质和扇形的面积公式是解题的关键． （1）作线段和的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，为半径画圆即可； （2）根据圆周角定理得到，再利用扇形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图所示，即为所求作的的外接圆． 【小问2详解】 解：， 扇形的面积为． 20. 某校计划租用甲、乙两种客车送180名师生去研学基地开展综合实践活动．已知租用一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元．甲型客车每辆可坐15名师生，乙型客车每辆可坐25名师生． （1）租用甲、乙两种客车每辆各多少元？ （2）若学校计划租用8辆客车，怎样租车可使总费用最低，最低为多少元？ 【答案】（1）甲种客车每辆元，乙种客车每辆元 （2）租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用最低为2200元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． （1）可设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，根据等量关系：一辆甲型客车和一辆乙型客车共需500元，租用2辆甲型客车和3辆乙型客车共需1300元，列出方程组求解即可； （2）设租车费用为元，租用甲种客车辆，根据题意列出不等式组，求出的取值范围，进而列出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种客车每辆元，乙种客车每辆元，依题意知， ，解得 ， 答：甲种客车每辆元，乙种客车每辆元； 【小问2详解】 解：设租车费用为元，租用甲种客车 辆，则乙种客车 辆， ， 解得：， 又， ， ， ， 随的增大而减小， 取整数， 最大为2， 时，费用最低为（元）， （辆）． 答：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用最低为2200元． 21. 如图，在四边形中，，，过的中点作的垂线，交的延长线于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，难易程度适中． （1）根据和既平行又相等，所以四边形为平行四边形，而，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，即可得出结论 （2）连接，证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明： ，（已知）， 四边形为平行四边形． 又∵， 四边形为菱形； 【小问2详解】 证明：：如图：连接 四边形为菱形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 22. 某市为强化学生体质健康管理，进一步增强学生的身体素质，某校决定在篮球、足球、排球、乒乓球、游泳选择一门户外运动课程．为了解学生需求，该校随机抽取部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生有_______名，并补全条形统计图； （2）若全校共有1000名学生，则全校选择游泳的学生约有多少人？ （3）在选择足球的4名学生中，有2名男生2名女生，从这4名同学中随机抽取2名学生，用列表法或树状图求恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）40，图见解析 （2）全校选择游泳的学生约有500人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，，用样本估计总体，求概率，从统计图中有效的获取信息，掌握概率公式，是解题的关键． （1）用足球的人数除以其所占百分比，即可求出调查的学生总人数，求出乒乓球的人数，即可补全条形统计图； （2）用全校人数乘以选择游泳人数所占百分比，即可解答； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：40， （名）， 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：（人）， 答：全校选择游泳的学生约有500人． 【小问3详解】 解：画出树状图如图所示： 一共有12种情况，恰好抽到一名男生一名女生的有8种情况， ∴恰好抽到一名男生一名女生的概率． 23. 如图，是的外接圆，为直径，点D为上一点，连接，过点C作交的延长线于点E，交的延长线于点F．已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由圆周角定理得到，即可得到，进而证明，再由即可证明，则为的切线； （2）先解得到，，求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形面积等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 如图1左图所示是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即）．受桔槔的启发，小轩组装了如图1右图所示的装置，其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． （1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______N； （2）为了让装置有更多的使用空间，小轩准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的重量为，的长度为．则： ①关于的函数解析式是______； ②根据下表，填空： … 10 20 30 40 50 … … 8 2 … ______，______； ③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象； （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在函数的图象上存在点使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）200； （2）①；②4，；③见解析； （3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由①得，， 故答案为：4，； ③函数图象如下所示： 【小问3详解】 解：点的坐标为，的坐标为，为反比例函数上一点， 设，连接，，， ∴ ， ∵， ∴， 整理得：， 解得，， 经检验，，是原方程的根， ∴时，，时，． ∴点的坐标为或 25. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，，分别是、上两点，连接，，若，求证：． （2）如图2，在矩形中，过点作交于点，若，求的值． （3）如图3，在四边形中，，为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，根据四边形是正方形，得出，，证明，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）设与交于点，根据四边形是矩形，得出，，可证明，即可证明，得出，利用等角三角函数值即可得答案； （3）过点作交的延长线于点，先证四边形为矩形，得出，，即可证明，得出即可得答案． 【小问1详解】 证明：设与的交点为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，设与交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图3，过点作于， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 26. 如图，抛物线过点、点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式． （2）点是第四象限抛物线上的一个动点． ①当的面积最大时，求点的坐标？并求出面积的最大值； ②过点作轴，交于点，再过点作轴，交抛物线于点，连接，问：是否存在点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，最大值为；②存在，或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，掌握二次函数的性质，等腰直角三角形是解题的关键． （1）由抛物线过点，，可直接得出抛物线的表达式为，展开即可得出结论． （2）①过点作轴，交线段于点，则，根据二次函数的性质可得结论； ②由题意可知，若是等腰直角三角形，则，分别表示及，可求出的值，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线过点，点， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ， 直线的表达式为， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设， ①如图，过点作轴的垂线，交线段于点，则， 当时，即，的值取最大，最大值为 ②存在， 由题意可知， 若是等腰直角三角形，则， 点是第四象限抛物线上的一个动点， 设，， ， 轴， ， ， ， 解得 舍去或或或 舍去， 当是等腰直角三角形时，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $