专题10 计数原理-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训试卷

专题十计数原理 考点一计数原理、排列与组合 一、选择题 1.(2023·全国甲卷（理），9)现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两 天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 整 () A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 紧 2.(2023·全国乙卷（理），7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课 外读物中恰有1种相同的选法共有 ( A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 3.(2023·新课标Ⅱ卷，3)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样 方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别 有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 ( 布 A.C8。·C5种 B.C0·C29种 C.C0·C2种 D.C40·C8种 4.(2022·新高考Ⅱ卷，5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙 和丁相邻，则不同的排列方式共有 () A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 5.(2021·全国乙卷，6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项 目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方 如 案共有 () 阳 A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 二、填空题 6.(2025·上海卷，9)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾 均是家长，则不同的排列种数有 种 黑 7.(2024·新课标Ⅱ卷，14)在如图的4×4方格表中选择4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格 被选中，则共有 种选法：在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 105 8.(2024·上海卷，10)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积 皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为 9.(2023·新课标I卷，13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种 (用数字作答). 考点二二项式定理 一、选择题 1.(2024·北京卷，4)在(x一√)的二项展开式中，x3的系数为 ( A.6 B.-6 C.12 D.-12 2.(2022·北京卷，8)若(2x-1)4=a1x+a3x3+a2x2十a1x十a,则a十a2十a, A.40 B.41 C.-40 D.-41 二、填空题 3.(2025·上海卷，4)在二项式(2x一1)5的展开式中，x3的系数为 4.(2025·天津卷，11)在(x一1)的展开式中，x3项的系数为 5.(2025·北京卷，12)已知(1-2x)=a。-2a1x十4a2x2-8a3x3+16a4x,则a。 a1十a2十ag十a4 6.02024·全国甲卷，13)（号+x 的展开式中，各项系数中的最大值为 7.(2024·天津卷，1)在[2+写) 的展开式中，常数项为 8.(2024·上海卷，6)在(x十1)”的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为 9.(2023·天津卷，1)在(2x- 的展开式中，x2的系数为 10.(202·新高考I卷，13)1-￥}(x+)的展开式中xy的系数为 (用数字作答). 11.(2022·浙江卷，12)已知多项式(x十2)(x-1)=a。十a1x十a2x2十ax3十a4x十a5x5,则a2= ,a1十a2十ag十a4十a5= 12.(2021·北京卷，1)-2) 的展开式中常数项为 13.(2021·浙江卷，13)已知多项式(x-1)°+(x十1)=x十a1x3+a2x2+ax十a4,则 a1= ；a2十a3十a4= 14.(2021·上海卷，6)已知二项式(x十a)5展开式中，x2项的系数为80，求a= 106所以y=一5时，面积最大值S△%B=20V5. 答案：(1)p=2;(2)SAmB=20V5 3.解：(I)|MF=D=2,故抛物线的方程为y2=4x. (Ⅱ)F(1,0),M(-1,0),设A(x1y),B(x2y2）, 显然直线AB斜率不为0，故可设AB:x=my十1， 因为R,N不重合，故l不过点F(1,0),故可设l:y=2x +,(n≠-2)， 联立直线AB与抛物线方程可得厂广=4红 (=my+1y-imy -4=0, 故由韦达定理可知以十为=4m 为=一4，故+好=(0+ -2y12=16m2+8, 直线AM的方程力y产有一十， 联立直线AM和l可得 P(t1)=兰，m-2y （y-2x1-2'为-2x1-2 同理可得Q+1)-兰，(n-2)当1 y2-2x2-2'为-2x2-2) 故|yp·ya= (m-2)2y2 (y-2x1-2)(y2-2x2-2) 4(n-2)2y2 1(2y1-y7-4)(2y2-2-4) 16(n-2)2 41y%-(2y3y+8)(y1十y2)十y听+4(y7+)+16 (n-2)2 4m2十3' n十2 联立直线AB和1解得yR=-2m 因为RN=PN:QNI,故项=（品） w器， 器-贵=1+马+a≥ 3 解得n∈(-∞，-2]U(-2,14-8√3] U[14+8√3，+o∞)， 故-号∈(-∞，-7-45]U[-7+45,1) U(1,十∞)， 直线1在x轴上截距的取值范围为（一∞，一7一4V3U [-7+43,1)U(1,+∞) 专题十计数原理 考点一 l.B不妨记五名志愿者为ab,c,d,e, 假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取 2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A=12种 方法， 同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种 方法， 2 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5 ×12=60种.故选B. 2.C首先确定相同的读物，共有C种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读 物里，选出两种进行排列，共有A种， 根据分步乘法公式，则共有C·A=120(种).故远C. 3.D根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽取40人，高 中部抽取20人.不同的抽取方法有C·C0。,故选D. 4.B先利用掴绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的 位置，则有AAC=24种，故选B. 5.C平均分组问题.先分组有CCCC=10种，弄排序 A 10A=240种. 6.解析：本题考查了排列组合的应用. 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共有A ·A=288种. 答案：288 7.解析：第一空：A=4！=24: 第二空：15+21+33+43=112. 答案：24112 8.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中 最多有一个奇数，剩余全是偶数 先研究集合中无重复数字的三位偶数： (1)若个位为0，这样的偶数有A一72种； (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C·C=256种； 所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种. 答案：329 9.解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C=16; 当从这8门课中选修3门课时，共有C·C十C·C= 48:综上可知，共有64种不同的选课方案. 答案：64 考点二 1.A(x一√F)的展开式的通项T+1=Cx*(一)= (-1八Cx,令4-冬-3，解得k-2,所以在（红 √)的展开式中，x3的系数为(-1)C=6. 2.B当x=1时，1=a4十a1十a2十a1十a①：当x=-1 时，81=a4一a1十a2-a1十a②：①+②得原式=41. 3.解析：本題考查了二项式定理中项的系数的求法。 :(2x一1)°展开式的通项T+1=C(2x)5.(-1)'= (-1)rC2-··x35- 令5-r=3, 得r=2 x3的系数为：C2(一1)2=80 答案：80 4.解析：本题考查了二项式定理.求特定项系数，T+1= Cx-(-1)=(-1)C6x-,令6-r=3,.r=3. .展开式中含x3的系数为(-1)3C8=-20. 答案：-20 5,解析：利用赋值法可求a。,利用换元法结合赋值法可求 a十ag十a十a4的值. 令x=0,则a。=1, 又(1-2x)=a。-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x, 故(1-2x)'=a。十a1(-2x)+a(-2x)2+a1(-2x)3十 au(-2x), 令t=-2x,则(1十t0=a。十at+at+a2+at, 令t=1,则a+a1十a2十a,+a4=2,故a1+a2+a+a4 =15 答案：115 6.解析：（分+”的展开式的通项为T1= 心（仔）·女，设第长十1项的系教最大， c(传)≥c(传)· (传)≥c(传) 解得9<≤3品，因为k∈乙，所以k=8 所以展开式中第9项的系数最大，为C(得)广-5. 答案：5 7解析：因为（侵+） 的展开式的通项为T+1=C (径)）（传）=C”=01,6 令6(r-3)=0,可得r=3, 所以常数项为3°C=20. 答案：20 8.解析：由题意可知，令x=1得，展开式中各项系数的和 是(1+1)=32，所以n=5,该二项式的展开式的通项公 式是T+1=C5·x·1',令5-r=2,得r=3,则x2项 的系数为C=10. 答案：10 9.解析：展开式的通项公式 =c2x(） =(-1)产×2-*XCg×x8-“, 令18一4k=2,可得k=4, 则x2项的系数为(-1)1×2-4×C%=4×15=60. 答案：60 10.解析：原式等于（十）-兰(x十八，由二项式定理，其展 开式中x2y的系数为Cg-C=C-C=-28 答案：一28 11.解析：由题a2=1×C(-1)3+2×C·(-1)2=8. 令x=1,则a。十a1十a,十a3十a十a=0 又a。=2,所以a1十a:十a1十a4十a6=-2. 答案：8-2 12,解析：（父-）展开式的通项为工41 cx() 9 =(-1)rCx-如 令12-4r=0,∴.r=3,所以常数项为T.=(-1)C4= -4. 答案：一4 13.解析：根据二项式通项公式：a1x=C9x(一1)°+Cx X1=5x3,故a1=5: 同理，a2x2=Cx2(-1)'十C4x2×1=-3x2+6x2= 3x2→a2=3, a4x=C8x'(-1)2+Cx2X13=3x+4x=7x→a4=7, a,=Cx°(-1)'+Cx°X1'=0, 所以a2十a3十a4=10. 答案：510 14.解析：Cx2a3=80x2→a=2. 答案：2 专题十一数系的扩充与复数的引入 实战集训1 1.C由(1+5i)i=-5+i,即知虚部为1，选C. 2.A 3.B先求出复数z,再根据复数模的公式即可求出.由i· +2=2i可得，：==二2+2=2+2i,所以1：= i √2+2=2√2，故选：B. 4.C由题知z=（1十D(z-1),=1i=1-1故选择：C. 5.C|z=+1=2. 6.A因为x=5+i,所以x=5一i,故i(x十x)=10i 7.D因为z=√2i,所以之·z=2,故选D. 8.C产=-1-i,则x=i(-1-D=-i-=1-i 9.A国为-计-所以-号所以- 一i.故选A 10.A由题知(1+3i)(3-i)=3-i+9i-32=6+8i,所以 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限。 故选A 11.C(a+iD(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2, (2a=2, 所以 11-a2=0, 解得a=1.故选C 12.解析：本题考查了复数的模、以及复数的运算 13+i=0=√10 i 1 答案：√10 13.解析：本题考查了复数的运算，复数的模的最值 设x=a十bi(a,b∈R) -(同 .(a+bi)2=(a-bi)2, 解得a=0或b=0, 07