专题02 立体几何中的垂直问题（压轴题专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 以垂直关系判定与性质定理为核心，通过“解题通法+题型模版+压轴挑战”构建系统性训练体系，强化空间观念与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|强调定理条件完整性与空间结构验证两条底线原则|以线线、线面、面面垂直定理为基础，构建垂直关系转化逻辑| |题型一至五|各含2例+3变式|线面垂直证相交线垂直，面面垂直证线面垂直，轨迹问题锁定平面边界，探索性问题假设验证|从基础证明到动态轨迹、存在性探究，形成从具象到抽象的能力进阶| |压轴挑战|15题|综合运用垂直判定与性质解决复杂几何体问题|整合多定理交叉应用，提升空间几何综合推理与模型构建能力|

专题02 立体几何中的垂直问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面垂直的性质定理及判定定理 题型二、面面垂直的判定定理 题型三、面面垂直的性质定理 题型四、有关垂直的轨迹问题 题型五、有关垂直的探索性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间垂直类立体几何问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理、垂直相关动点轨迹、垂直存在性探究五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是证明垂直类结论时，必须完整匹配对应定理的全部限定条件，缺一不可；二是分析空间垂直关系不能仅依靠平面图形直观判断，需结合几何体空间结构验证垂直是否真实成立. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面垂直的性质定理及判定定理 题型模版 1.特征：题干给出棱柱、棱锥、长方体等空间几何体，要求证明直线与平面垂直，或是已知线面垂直，推导直线、平面内线段的垂直、长度等量关系。 2.方法：证明线面垂直时，在平面内寻找两条相交直线，分别证明已知直线与这两条相交直线垂直，常借助勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线垂直推导线线垂直；运用线面垂直性质时，直接得出直线垂直于平面内任意一条直线，推导其他垂直关系，书写证明时补齐定理全部条件。 【例1】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【答案】证明见解析 【详解】取的中点F，连接，如图所示， 由底面是直角梯形，，，， 结合勾股定理计算可得：， ，，，∴四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 【例2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：取中点E，连接， M为的中点， ，， ，，， ，， 四边形BCME是平行四边形，即， 平面，平面， 平面． (2)证明：平面，平面， ， ，，，， ， ，即， ，平面，平面， 平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-1】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为线段上的动点. (1)若E，F分别为线段，的中点，证明：平面. (2)若，证明：平面. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为E，M分别为，的中点， 所以在中，且. 又四边形为矩形，为边的中点，所以且， 则且，所以四边形为平行四边形， 从而. 又平面，平面，所以平面. (2)因为平面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 又平面，平面，，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，， 满足，变形得 ， 又 (公共角)，， ，即， 又平面，平面，，所以平面. 【分析】 【详解】（1）略. （2）略. 【变式1-2】如图，在四棱柱中，平面，底面为菱形，为的中点，求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)设与交于点，接， 因为底面是菱形， 为中点， 又因为是的中点， ， 面，平面 平面． (2)底面是菱形， ， 底面，底面， ，且，平面． 平面． 平面， ． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面，，求证：． 【答案】(1)连接交于点O，连接， 因为底面是矩形，所以O为中点， 又M是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)因为平面，平面，所以， 因为是矩形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且M是的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型二、面面垂直的判定定理 题型模版 1.特征：给出空间几何体，需要证明两个平面互相垂直，几何体中存在一条垂直于其中一个平面的直线。 2.方法：在其中一个平面内找到一条直线，证明该直线垂直于另一个平面，即可证得面面垂直；重点寻找几何体自带的垂直棱，如长方体侧棱、棱锥的高，不可仅依靠平面内局部垂直直接推导面面垂直。 【例3】是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有______对． 【答案】5 【详解】由平面，且平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 又由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 同理可证：平面，且平面，所以平面平面， 由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 综上可得，互相垂直的平面有5对. 【例4】在正方体中：    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)因为在正方体中，且, 所以，四边形为平行四边形 所以，， 又平面平面，平面平面， 所以，平面 (2)连接, 因为平面， 平面, 所以， 因为在正方形中，，， 所以，平面，平面， 所以，，同理可得平面 所以，,, 所以，平面 又平面 所以，平面平面 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式2-1】如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，，，． (1)在图中作出平面与平面的交线为l（保留作图痕迹）； (2)若，求证：平面平面． 【答案】(1) (2) 证明：在等腰梯形中，， 过点B作交于点G，则，   在直角三角形中，，，得． 在中，由余弦定理， 得，   因为，所以，   又因，，，平面 因此平面， 而平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1） 延长交于一点，连接，则平面平面， 理由如下：因为底面是等腰梯形，，， 又是边长为2的等边三角形 所以，，，, 故与必交于一点,所以平面平面. （2）略 【变式2-2】如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面平面. 【答案】(1) (2)因为所以 由直三棱柱的性质，得 因为直线 在平面 内，所以 又 与 相交于点 ，且直线 、 都在平面 内，所以 因为直线 在平面 内，所以 下面证明 ． 因为 ，且 ，所以在直角三角形 中， 同理， 又所以在三角形 中， 因此 由于 与 相交于点 ，且直线 、 都在平面 内，所以 又直线 在平面 内，因此 【分析】 【详解】（1）因为直三棱柱的对应棱互相平行，所以 因此，直线 与 所成的角等于 ． 因为 为棱 的中点，且 ，所以 又因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，所以 因此 在直角三角形 中， 在直角三角形 中， 又 因为所以 故在直角三角形 中， 因此，直线 与 所成角的余弦值为 ． （2）略 【变式2-3】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，点、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)连接.因为点、分别为、的中点，所以. 因为平面，所以平面. (2)因为，是中点，所以. 因为侧面是菱形，故. 又，因此是等边三角形. 因为是中点，所以. 因为，且平面，所以平面. 又平面，因此平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型三、面面垂直的性质定理 题型模版 1.特征：已知两个平面互相垂直，给出交线，需要证明线面垂直、线线垂直，或是求解线段长度、角度。 2.方法：在一个平面内作交线的垂线，根据面面垂直性质得到这条垂线垂直于另一平面；再结合线面垂直性质推导线线垂直，搭配勾股定理、三角函数计算线段与角度，注意垂线必须在平面内且垂直于交线。 【例5】如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面 B． C．平面 D． 【答案】B 【详解】由是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，因此，B正确； 由不垂直于知不垂直于平面，A错误； 因与不一定垂直，故得不出平面,故C错误； 又因，但与不一定垂直，故得不出平面，从而推不出,即D错误. 【例6】如图所示，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为G，G在上，且，，，E是的中点，四面体的体积为． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若F点是棱上的一点，且，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）由已知得，， 在平面内，过C作交于H，连结， 则（或其补角）就是异面直线与所成的角． 如图所示， 在中，，，， 由余弦定理得：， ∴异面直线与所成角的余弦值为． （2）在平面内，过D作，M为垂足，连结． 因为，，且都在平面内， 所以平面，平面，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，结合， 所以平面， 因为平面， 所以， 由题意为等腰直角三角形，而底面是平行四边形， 所以，则，， . 【变式3-1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC. (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明：由平面平面PAD，得平面PAD， 又平面PBC，且平面PBC与平面PAD相交于直线，所以 (2)证明：在平面PAB内作于， 平面平面PBC，平面平面平面PAB， 平面平面PBC，则， 又平面平面ABCD，则， 又且都在平面PAB内，故平面PAB， 又平面PAB，则 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】如图，四棱锥的底面为正方形，为正三角形，平面平面，为的中点，是线段上的动点. (1)证明：； (2)若经过，，的平面与平面的交线恰好经过线段的中点，求的值. 【答案】(1)因为为中点，是正三角形，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，又因为平面，所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设线段中点为，连接并延长，与的延长线交于点， 连接与线段交于点，该点即为符合题意的点； 因为为的中点，，所以， 所以为的中点， 在中，过作交于， 所以，即，所以， 又，所以，又为中点，所以， 所以，所以. 【变式3-3】在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 【答案】(1)如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 故平面. (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以， 所以平面， 所以. 又因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型四、有关垂直的轨迹问题 题型模版 1.特征：几何体棱、面上存在动点，满足动点与定点连线始终垂直某直线、某平面，求动点的运动轨迹。 2.方法：依据线线垂直、线面垂直判定锁定动点所在固定平面；结合几何体棱、面的边界限制，判断轨迹为线段、圆弧，标注轨迹取值范围，排除几何体外部无效区域。 【例7】已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图：    因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． 【例8】在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 【答案】线段 【详解】取的中点M，连接并延长交的延长线于N， 由，可得，所以，所以A为的中点． 连接，由正方体可得， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面． 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 又因为点Q为底面（含边界）上的动点，满足平面平面， 所以，即点Q的轨迹是线段. 【变式4-1】已知是棱长为的正方体，为该正方体表面上的一个动点．若，则动点的轨迹长度为__________． 【答案】 【详解】正方体​中， 平面，平面，所以. 又因为是正方形，所以，且平面， 所以平面，平面，所以. 同理可得，且，，平面， 所以平面. 因为，所以平面，且为该正方体表面上的一个动点， 所以为的三边上的一个动点，因此动点的轨迹长度为， 因为是棱长为的正方体， 所以，所以 因此动点的轨迹长度为.​ 【变式4-2】正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 【答案】/ 【详解】设S在底面的投影为O，由正四棱锥的特征知O为的交点， 取的中点，设，由中位线的性质可知， 在正方形中，为的中点， 所以，则底面， 而底面，所以， 又平面， 所以平面，而，则动点P在的三条边上（不包含点）， 根据正四棱锥的底面边长为2，高为2， 则，，，， 所以，， 所以P的轨迹的周长为. 故答案为：. 【变式4-3】已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________. 【答案】. 【详解】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为， 在等边中，为的中点， 在正三棱柱中，平面， 平面，， ，，平面，平面， 连接，取的中点，连接，，平面， 点到平面的距离为， 在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上， 又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动， 点在侧而的运动轨迹为，其长度为， 同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为， 点在上底面的运动轨迹为，其长度为， 点在下底面的运动轨迹为，其长度为， 综上，的轨迹长度为. 故答案为：. 题型五、有关垂直的探索性问题 题型模版 1.特征：几何体棱上设有未知动点，提问是否存在特定位置的点，使得线面垂直、面面垂直，若存在求出动点分棱的比例。 2.方法：先假设垂直关系成立，反向推导需要满足的线线垂直条件；利用勾股定理、相似三角形建立等式求出动点位置，最后正向书写完整证明过程，验证该位置确实满足垂直要求。 【例9】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：； (3)在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面平面，平面，所以. (2)设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面，由平面可得， 又因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. (3)存在点，使得平面，此时. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）设的中点为，连接， 因为为等边三角形，则， 又因为平面，且平面，所以， 且，则， 且，平面，可得平面， 若平面，则，可知平面， 设，连接， 因为，，则点为的中点，可得，符合题意， 所以存在点，使得平面，此时. 【例10】如图，在长方体中，，，为线段的中点． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)连接，交于， 因为是线段的中点，所以，所以 因为与均为直角三角形， 所以，即， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，，连接， 因为平面，平面，所以， 由（1）知，因为平面，平面， 故即为二面角的平面角， 因为，所以， 因为，，， 所以，即，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以，，所以，， 所以， 即二面角的余弦值为． （3）由（1）知，，因为平面，平面，所以， 故在中作斜边上的高，交线段于点，即有， 又因为，，平面，所以平面， 此时的点即为所求， 因为，故，即，故， 所以线段上存在点，此时 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当点与点重合时，，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为底面为正方形，所以. 又平面平面， 所以平面. （2）在直线上存在点，使得，证明如下： 因为底面为正方形，所以， 因为平面，所以， 又平面，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 所以当点与点重合时，. 【变式5-2】已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 【变式5-3】如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知棱长为的正方体中，是的中点，动点在正方体的表面上运动，且总满足，则点的轨迹的长度为________． 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形， 在侧面内，过点作，交于点. 过点作，交 于点 ，过点 作，交于点. 因为 平面 ，且 在平面内，所以. 又 ，且 与 相交，所以 平面 . 因此，平面 即过点 且垂直于的平面， 点 的轨迹为矩形的边界. 在正方形中，为的中点，所以 因为 ，且，，所以 因此，得到 所以在直角三角形 中， 又，得到的轨迹长度为 2．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 【答案】 【详解】如图，取棱的中点G，连接． 因为F，G分别是棱的中点，所以． 因为 平面，所以平面． 因为平面，所以． 由正方形的性质易证． 因为平面，平面，， 所以平面，则平面． 因为M是侧面内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段． 因为，所以． 因为E，G分别是棱的中点，所以， 即动点M的轨迹长度是． 3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. 证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】延长，交于点，连接， 因为平面，且平面， 所以且，即，， 因为为等边三角形，所以， 又因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，且平面， 所以平面，即平面. 4．如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)取的中点，连接， 由于为的中点，故且， 又，,故且，即四边形为平行四边形， 故， 平面，平面， 故平面； (2)由于故，即, 又矩形与梯形所在的平面互相垂直，且两平面的交线为,平面， 故平面，平面，故， 平面，故平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，且 (1)证明： ; (2)证明：平面平面． 【答案】(1)连接， 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得，所以． (2)设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且 平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． 【答案】(1)因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以． 因为平面，平面，所以平面． (2)因为是的直径，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，所以平面． 由（1）得，所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 7．（专题04立体几何初步02（期末真题汇编，天津专用）高一数学下学期人教A版）如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明：连接， 因为，，为线段的中点， 所以四边形是平行四边形，是平行四边形， 设，连接，则是的中点， 又为线段的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 所以， 又，，平面， 所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，在正三棱柱中，点是的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接. 正三棱柱中，侧面为矩形，所以为中点. 又点是的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2)正三棱柱中，为正三角形，且平面. 因为点是的中点，所以. 因为平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：因为是矩形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面交于，平面交于， 所以平面平面， 所以，所以， 又因为是的中点， 所以是的中点， 又因为， 所以； (2)证明：因为是矩形， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 由（1）可知，且平面， ， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 即平面平面； (3) 【分析】 【详解】（1）略； （2）略； （3）取中点，连接，过作于，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 由（1）可知， 又， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以 所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，即为， 又因为，， 所以， 在中，由面积公式可得， 所以， 在中，， 在中，， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 10．如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，，求证：． 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为，所以为的中位线，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 在三棱柱中，四边形为平行四边行，又，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 又平面，所以∥平面； (2)证明：因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面， 所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． 【答案】(1)由四棱台的结构可知， 因为为的中点，， 则， 又四边形是平行四边形，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (2)作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 由棱台的性质可知，侧棱相交于一点，即共面， 因为棱台的底面底面， 底面平面，底面平面， 所以，所以， 又，所以， 又平面， 所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 12．如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）在平面内取与点不重合的点，在此平面内作于， 由平面平面，平面平面，得平面， 而平面，则，同理，而平面， 所以平面. （2）由平面平面，平面平面，平面平面， 得直线两两垂直，由，得， ，令点到平面的距离为，由， 得，则， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 又点E在侧面（含边界）上运动，因此点的轨迹是球被平面所截小圆在及内部， 此小圆半径，而正的内切圆半径为， 所以点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为. 13．如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为在①中, 折叠后，在②中仍成立， 因为，平面,, 所以平面, 又因为平面,所以, 因为平面,, 所以平面； (2)存在，当为中点时，平面平面，证明如下： 由（1）可知平面， 又平面,所以, 因为，，，， 所以， 所以, 所以为等腰直角三角形， 又因为为中点，所以, 因为平面，, 所以平面， 又因为平面．可得平面平面. 因为为中点，所以. 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 14．如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 在正方形中，， 因为平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，则， 则，又， 在中，. 即与平面所成角的正弦值为. （3）存在实数，使得平面，理由如下： 取中点，连接， 由（2）可知，因为，， 所以， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 故存在实数，使平面． 15．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：取的中点，连接，如图所示.则，.    因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，. 因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以平面. (2) (3)存在，点为靠近的三等分点. 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为平面，，所以平面，， 所以. 在中，， 在中，， 在中，， 如图所示，在中，取的中点，连接，    则，， 可得，. 由（1）可知，，则在中，， 设点到平面的距离为，则， 解得. 设直线与平面所成的角为，则. （3）棱上存在点，使得直线平面. 过作，垂足为，如图所示.    由（2）可知，且为的中点，所以. 因为平面，平面，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，所以平面. 在中，. 因为，所以， 解得，即点为靠近的三等分点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 立体几何中的垂直问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面垂直的性质定理及判定定理 题型二、面面垂直的判定定理 题型三、面面垂直的性质定理 题型四、有关垂直的轨迹问题 题型五、有关垂直的探索性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间垂直类立体几何问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理、垂直相关动点轨迹、垂直存在性探究五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是证明垂直类结论时，必须完整匹配对应定理的全部限定条件，缺一不可；二是分析空间垂直关系不能仅依靠平面图形直观判断，需结合几何体空间结构验证垂直是否真实成立. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面垂直的性质定理及判定定理 题型模版 1.特征：题干给出棱柱、棱锥、长方体等空间几何体，要求证明直线与平面垂直，或是已知线面垂直，推导直线、平面内线段的垂直、长度等量关系。 2.方法：证明线面垂直时，在平面内寻找两条相交直线，分别证明已知直线与这两条相交直线垂直，常借助勾股定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线垂直推导线线垂直；运用线面垂直性质时，直接得出直线垂直于平面内任意一条直线，推导其他垂直关系，书写证明时补齐定理全部条件。 【例1】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. 求证：平面 【例2】如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【变式1-1】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，为线段上的动点. (1)若E，F分别为线段，的中点，证明：平面. (2)若，证明：平面. 【变式1-2】如图，在四棱柱中，平面，底面为菱形，为的中点，求证： (1)平面； (2)． 【变式1-3】如图，在四棱锥中，底面是矩形，M是的中点． (1)求证：平面； (2)若平面，，求证：． 题型二、面面垂直的判定定理 题型模版 1.特征：给出空间几何体，需要证明两个平面互相垂直，几何体中存在一条垂直于其中一个平面的直线。 2.方法：在其中一个平面内找到一条直线，证明该直线垂直于另一个平面，即可证得面面垂直；重点寻找几何体自带的垂直棱，如长方体侧棱、棱锥的高，不可仅依靠平面内局部垂直直接推导面面垂直。 【例3】是正方形，P为平面外一点，且平面，则平面、平面、平面、平面、平面这五个平面中，互相垂直的平面有______对． 【例4】在正方体中：    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【变式2-1】如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面是等腰梯形，，，． (1)在图中作出平面与平面的交线为l（保留作图痕迹）； (2)若，求证：平面平面． 【变式2-2】如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)证明：平面平面. 【变式2-3】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且，，点、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 题型三、面面垂直的性质定理 题型模版 1.特征：已知两个平面互相垂直，给出交线，需要证明线面垂直、线线垂直，或是求解线段长度、角度。 2.方法：在一个平面内作交线的垂线，根据面面垂直性质得到这条垂线垂直于另一平面；再结合线面垂直性质推导线线垂直，搭配勾股定理、三角函数计算线段与角度，注意垂线必须在平面内且垂直于交线。 【例5】如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面 B． C．平面 D． 【例6】如图所示，四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为G，G在上，且，，，E是的中点，四面体的体积为． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)若F点是棱上的一点，且，求的值． 【变式3-1】如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，平面平面PBC. (1)若平面PBC与平面PAD相交于直线，求证：； (2)求证：. 【变式3-2】如图，四棱锥的底面为正方形，为正三角形，平面平面，为的中点，是线段上的动点. (1)证明：； (2)若经过，，的平面与平面的交线恰好经过线段的中点，求的值. 【变式3-3】在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，，M，N分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，求证平面平面． 题型四、有关垂直的轨迹问题 题型模版 1.特征：几何体棱、面上存在动点，满足动点与定点连线始终垂直某直线、某平面，求动点的运动轨迹。 2.方法：依据线线垂直、线面垂直判定锁定动点所在固定平面；结合几何体棱、面的边界限制，判断轨迹为线段、圆弧，标注轨迹取值范围，排除几何体外部无效区域。 【例7】已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【例8】在正方体中，点Q为底面四边形（含边界）上的动点，满足平面平面，则点的轨迹为______. 【变式4-1】已知是棱长为的正方体，为该正方体表面上的一个动点．若，则动点的轨迹长度为__________． 【变式4-2】正四棱锥的底面边长为2，高为2，是边的中点，动点在表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为_____． 【变式4-3】已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________. 题型五、有关垂直的探索性问题 题型模版 1.特征：几何体棱上设有未知动点，提问是否存在特定位置的点，使得线面垂直、面面垂直，若存在求出动点分棱的比例。 2.方法：先假设垂直关系成立，反向推导需要满足的线线垂直条件；利用勾股定理、相似三角形建立等式求出动点位置，最后正向书写完整证明过程，验证该位置确实满足垂直要求。 【例9】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，. (1)设平面平面，求证：； (2)求证：； (3)在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【例10】如图，在长方体中，，，为线段的中点． (1)证明：． (2)求二面角的余弦值． (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)在直线上是否存在点，使得？说明理由. 【变式5-2】已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【变式5-3】如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知棱长为的正方体中，是的中点，动点在正方体的表面上运动，且总满足，则点的轨迹的长度为________． 2．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是边长为4的正方形，，， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面内的一个动点，若平面，则动点 的轨迹长度是______． 3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，且，，，，. 证明：平面. 4．如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 5．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱的中点，且 (1)证明： ; (2)证明：平面平面． 6．如图，是的直径，是圆周上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面． 8．如图，在正三棱柱中，点是的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 9．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 10．如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，，求证：． 11．如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求证：平面． 12．如图，平面平面，平面平面． (1)求证：平面； (2)点E在侧面（含边界）上运动，若平面平面，，求E的轨迹长度． 13．如图①，在中，，，，，垂足为，将沿折起到的位置，使，如图②． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 14．如图所示，在四棱锥，底面是正方形，与交于点，平面，. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)是线段上一点，且满足，是否存在实数使平面？若存在求出的值，若不存在，请说明理由 15．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，，为棱的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $