专题9 解析几何-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训试卷

设平面BMN的法向量n=(x,y,z), 由BN.n=0,BM.n=0,得工十=0：令x=2. 1y+2x=0, 得n=(2,-2,1). 设直线AB与平面BMN所成角为B, 州血-a一瓷-品-导a 直线AB与平面BMN所成角的正孩值为号 选条件②： 取AB中点H,连接HM,HN, 因为M,N,H分别为A1B,AC,AB的中点， 所以BB∥MH,CB∥NH,而CB⊥BB1,故NH⊥MH 又因为AB=BC=2,所以NH=BH=1. 在△MHB和△MHN中，BM=MN,NH=BH,公共边 MH,那么△MHB≌△MHN, 图此∠MHN=∠MHB= M 90°，即MH⊥AB, 故BB⊥AB. 在三棱柱ABC-ABC 中，BA,BC,BB1两两 垂直， 故分别以BC,BA,BB1为 B x轴，y轴，之轴，如图建立 空间直角坐标系， 因为AB=BC=BB1=2, 则B(0,0,0),N(1,1,0), M(0,1,2),A(0,2,0), 所以BN=(1,1,0),BM=(0,1,2), AB=(0,-2,0), 设平面BMN的法向量n=(x,y,2), 由BN,n=0,BMm=0,得-0：令x=2, 1y+2x=0, 得n=(2,-2,1). 设直线AB与平面BMN所成角为9， 、则sin0=1cosn,AB)1=1.0=32=号，所以 直线AB与手面BMN所成角的正孩值为号， 专题九解析几何 考点一 1.B与直线y=√3.x十2距离为1的直线为l:y=√3x+4 和l2:y=V3x,图心M(0,一2)到b的距离为d= 一2-41=3，到4的距离为d,=二2引=1.依 √12+(W3) √1+(W5)2 题可知圆与1,2的交点总个数为2，据草图可知圆应与 2相交，与41相离，故1<r<3,逃B. 2.C因为a,b,c成等差数列，所以a一2h十c=0,直线ax十by +c=0恒过P(1,一2)，当PCLAB时，AB取得最小值，此 时|PC=1,AB=2√5-PC平=4. 1 3.D圆x2+y2-2x十6y=0的标准方程为(x-1)2+(y +3)2=10,圆心坐标为(1，一3)，因此国心到直线x一y +2=0的距离d= 11+3+2引=32. √1+(-1)T 4,B由题可知，圆的方程可化为(x一2)+ y=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图， 设切，点为M,N,AB=2√2，BM=√5，故 AM-3,sin∠MBA=A=5. AB2√2 cos 2V2,sina=sinx-o）=sin∠NBM= ∠MBA=V5 in2∠MBA=2XB×5=压.故选B. 2√22√2 4 5D由=6，则号-拉-1+ a? a35, 解得久=2， a 渐近线y=一2x与圆无法相切， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, 则圆心(2,3)到渐近线的距离d=2X2-3-5 2+151 所以弦长|AB1=2√P-d=2,√1-5 选D. 6,ABD圆C的圖心到L的距离d= r √a+B 对于A,当点A在圆上时，a2十b=2,d=r,l与圆C相 切，对于B,A在圆内，则a2+b<2,d>r,故直线l与圆 C相离，对于D,点A在l上，则a2十b=r2,则d=r,l与 圆C相切，对于C不成立，故A,B,D正确. 7,C如图，当國心到直线的距离最 大时，弦长最小，又m为直线在y 轴上的裁距，当直线平行于x轴 时，所裁弦长最短，m=士 √22-1=士3. 8.ACD直线AB的方程为膏十受 =1,即x十2y-4=0. 设P(5+4cos0,5+4sin0),则，点P到直线AB的距离 为：d=15+4cos9+2(5+4sin)-4l √1+2 =11+45sin(0+2 5 因为d=11+45<10, 5 d=1-45<2,所以A选项正确，B选项错误 √5 因为圆心为Q(5,5),半径r=4,则|QB|= √/(5-0)+(5-2)2=√34. 所以当直线PB与圆相切时∠PBA取得最值，此时 1PB|=√QB2-r7=V34-16=3√2. 所以C、D选项正确，故答案为ACD 37 9.解析：由x-my十1=0恒过定点(-1,0)， 又C1,0),5ae=合×2X1n=g, 所以1一号，代入围的方程得-号 或x=- 号所以B(得，号)或B(传-号)或B (-吉号)浅B(-号，-号)代入直线方程解得m 士2或m=土号（任写一个即可） 答案：士2或士2（任写一个即可） 10.解析：由题知圆(x十2)十y2=3和曲线y2=2px关于 x轴对称，不妨设切线方程为y=kx,>0, 所以121 =原，解得太=3由3x,解得 √1+ Iy=2pr =22 x3 y=0 =232 3 3 解得p=6.当k=一3时，同理可得. 答案：6 11.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其 中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点 为圆心，圈心到任一点的距离为半径. (1)若圆过A、B、C三点，则圆心在直线x=2,设图心坐 标为(2，a),则4+a2=9+(a-1)2→a=3,r=√4+a =√13， 所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13 (2)若圈过A、B、D三点，同(1)设圈心坐标为(2，a),则 4+a2=4+(a-2)→a=1,r=√/4+a2=√5，所以圆的 方程为(x-2)2+(y-1)2=5 (3)若圆过A、C,D三点，则线段AC的中垂线方程为y =x十1，线段AD的中垂线方程为y=一2x十5，联立得 -3 3 y=3 所以司的方程为（一音）'+（子）-西 (4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为 y=1,线段BC中垂线方程为y=5x一7，联立得 --号 所以周的方套为（一号）广+y一D-碧 答案：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)°=5 或(-台)广+-)=要或(-号)广+y-1 -169 25 1 12.解析：由圆心为(0,2)，半径为1的圆与直线x=my相 切可得2m √1+m =1,解得m=5 3 等案9 13.解析：由图可得，两圆外切，且均与直线4：x=一1相 切.另过两圆圆心的直线1的方程为y=亭，可得1与 ☑交点为P(-1,一音)由切线定理得，两圆另一公切 4 线l过点P,设4：y十3=(x十1)，由点到直线距离 公式可得 √R+1 -1,解得表-员即4y一员x 7 ，另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线山与 25 .5 1垂直，解得w=一4x+ 4 5678 答案x一1，或)=员4-费或y=-十号（答对 725 其中之一即可) 14.解析：因为s=“2,所以AB关于直线y=a的对称 直线为(3-a)x-2y+2a=0,所以13(a-3)+4+2a √4+(3-a) ≤1，垫理可得12a2-2a+6<0,解得号<a≤ 答案：[日， 考点二 实战集训1 1,A设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则x -x,y=2y,代入國的方程为x2+4y2=16,化为标准方 程为后+号-1g>0。 2.A由题意易得，6=三，6=9，得互 a 21 是解得a=2,故选N y=x+m 3.C将直线y=x十m与椭圆联立x 3+y2=1 消去y可 得4x2+6mx十3m2-3=0,则△=36m2-4X4(3m2- 3)>0,解得-2<m<2, 8 由题者可知S0地=2S4,设精国号+少=1的左、 右焦点分别为F1,F,到直线y=x十m的距离分别为 d,d,所以有号·AB到·d=2x号·AB·d,即d =24,将d=2+ml d,=2+m代入上式，解得m=-裁-32（合去》. √2 3 故选C. 4.B设∠RPE,=20,0<0受，所以5am,5 6tan∠EPE=6ana, 2 由cos∠R,PR,=cos20=cos0-sin30-1-tam20_ cos2 0++sin'0 1+tan0 号解得：m9=之， 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, 所以Sm5-号×RR,X1,=号×25× r=6X号，解得：=3， 即=9×(-音)=是，周此0P1=+可 √+=故选B 2 5.B因为PF1·PF2=0,所以∠FPF2=90°，由椭园方程 可知，c2=5-1=4→c=2, 所以PF,2+PF:=|FF12=42=16, 又IPFI+|PF2|=2a=25, 平方得|PFI2+|PF:P+2PF,IIPF21=16+2IPF, |PF2|=20,所以PF|·PF2|=2.故选B. 6.A精圆C的右顶点为B,由 于点P,Q均在C上，且关于 y轴对称，所以直线BP,AQ 也关于y轴对称，即k加· n=一w·5o-子-d 7.C由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|= 2a=6,由基本不等式可得|MF:|·|MF2|≤ (生M)广=（侵）广-s,当且当1M1= 2 MF|时等号成立，答案选C 8.C依题意，B(0,b),设椭圆上一点P(xoy),则|y≤ 亭+答-1，可得云-a-景6，对1PBP-十 -6P=实+6-20，+8=一云6-2，卡d+8≤ ,周为当%=-6时，PBP=,所以-号<一-6，得 2≤0，所以离心华=台<号故选C 1 9.解析：取AB的中点为E,因为|MA=|NB,所以ME =NE1,设A(出)，B(x,),可得4十兰×当- x1十x2◆x1一x2 =-子，即kae·kw=-子，设直线ABy=z十m,K 0,m>0,令x=0,y=m,令y=0,x=-,所以E (是受）所以×--=-合k=-受，又 m |MN|=2V3,即|MN|=√m2+(W2m)2=25,即m +2m-12,m-2,所以直线AB:y-号x十2，即x+ √2y-2√2-0. 答案：x十√2y-2√2=0 10,解析：满国离心率为号，不坊 设C希+=，且 △AFF2为正三角形，则直 线DE术表=受由等腰三 角形性质可得，|AE=|EF|, |AD|=|DF2,由椭圆性质得△ADE的周长等价于 |DE十DF:|十|EF:|=4a.另设直线DE方程为y= 9十o,与满周方程联立得13r+8x一322=0， 由弦长公式|DE|=√k+1·|x一x2|=√+1· +)-4得1DE1=√合+1· √+g-0-6,牌-号a==1 13 答案：13 11.解析：可设P(4cos0,2sin), 依题知|0P|=c→OP12=c2→16cos0+4sin0=16- 4=12, →4cos20+sin20=3→4(1-sin20)+sin20=3→sin0= 9片以S,=2S4-2X名×RRX |yp=8,故答案为：8. 答案：8 3 4 12.解析：如图所示：F1A= 2c, FF:=2,FB= 2c,AB=c a)k=tan∠PF,F,=BF .AB 5 5· ()△F1AB∽△FPF:,所 24 a-c 2c →e= 5 答案： ⑤ 5 13解：)由题意得Aa,0),F(-c,0),P(a,号(a十c), 后×a+oa+e)= 6 根据已知条件列方程组 ,解之 - 得a=2,c=1, 所以6=a2-c2=4-1=3 所以横国方程为号十芳-1 (2)授B(红，)，可知直线PB的方程为有号x十学) =1, 又：切线过P(2,1), 受+学-1%=-受+3 3 3 :点B红)满足号+普-1， 4 （+ 1， 3 x号-3.x。+2=0, 解得x=1或x=2(舍)， %=是 1,受)） F(-1,0),P(2,1),A(2,0), 可如：BP√a-2+(侵-1)-号。 IB1a+D+(侵-o-, .1AP1=1,|PF1=√(2+1)+(1-0)-√/10 :eo∠BFP-IFBEPTFPRE心-品而， 2BF·FPI o∠AFP=LAFTAEPTEPAR心-品而 2AF·FPI ∴cos∠BFP=cos∠AFP∴∠BFP=∠AFP PF平分∠AFB 14.解：1)由已知得b=3,将点P(3,2)及6=3代入C, 得十23-1，则a-12,所以-。--3 所以C的离心率e=S=B=1 a232 (2)由已知得Sm=是PA1·d-M=号X √9+(（3-是）×dM=9,则dn-4=125, 5 1 3 32 kA=-3 名如=-十3，设过点B且与 1 PA平行的直线为'：y=一2x+m, 因为4m-125所以3=是-125，则m=-3 1 5 √1+4 1 或9（含去），所以1：y=-2x-3 联立1y=--3和C方程+苦=1，得五=0， =-3,所以B0,-3)或B-3,-受) 当B坐标为(0，-3》时，4y=是x一3： 当B坐标为(3，一)时，：y- 实战集训2 1.解：1)由题意知2a=4,a=2,由e=二=号得c=2, a 2 6=0-6=2,故号+芳1 (2)①1斜率不存在时舍去 ②设l方程为y=kx一2，A(工1y1),B(xy), y=kx-2 联立{x 得(1十2k2)x2-8kx十4=0 由4=6W-151+20)>0得>号点K-号 2 8k 4 所以x+x=1十202=1+20 所以|AB|=√1+k1x1一x2|= 2√8(k+1)(4k+2-4)_4√(k+1)(2k-1D 4k+2 2k+1 O到AB的距离 d=- 2 1 所以Sam=X名 ·4+D2R-D /1+k 2k2+1 42k-1 2k2+1 厄，解得=号 AB-4停+x号-可 =5 2x2+1 2.解：1)依题有Va+6-0且E_22 3 解得a=3,b=1,故C的方程为写+y=1 (2)(1)易知A(0,-1),设AR=tAP(t>0),则t= 3 3 APm2+(n+1, OR=OA+AR=(0,-1)+(m,n+1)=(m,t(n+1)- 1) 0 3m 3(n+1) =(n+a+D'm+a+-1 故点R的坐标为 3m 3(n十1) (m+m+)'ma+-1 (i)由kR=3kr可知 3(n+1)-m2-(n+1)2_3n 3m m 整理可得m2十(n十4)2=18，所以点P在图心为N(0,一 4),半径r=3√2的圆上运动. 设@，则号+=1，共中-1K<1,kPm≤ PN|+|NQ|=32+√6+(%+)=32 +√9(1-3)+(.+4) =3√2+√一8y6+8y十25 =3E+√-8(-7+2732+35， 取等条件为%=合，且P在线段QN延长线上，故PQ 的最大值为3√2+3√5 3解：猴精圆定义知2a=4,而高心单6=台=号，所以 a 。-2c=反.8=心-=2，描圆E的方程为号+苦 =1. xx+2y0y-4=0 (2)联立 ,消去x得， 4-2yy11 +2y2=4, x。 整理得，(2x+4y)y2-16yy十16-4z=0①， 又号+普-1，将风2+4城-816-4-8话， 故①式可化简为8y2-16yy十8y=0,即(y-y%)2=0, 所以y=y%, 所以直线工x十2yy一4=0与椭圆相切，M为切点. 设A(工1y),B(x2y),易知，当x1=x:时，由对称性可 -8m 设<红<爱-微-会会台 装主任十2y4-0,解得五-，=2. (y=2 联立十2%y40,解得西，=4中必，为=一2， {y=-2 所以=五=。 4二4纱一x04-4一马 Sx一x2 4十4yx6-4y%-4 2y6-4y= 2-y0 -2y%-4y%2+% 器需 (4-4+4图 (2-2%)+4-2 √(4+4%)+4ZN(2+2)2+4-2% 19 5-+4=名二0，又 V6+4%+42+为1 3=W®= -18a 4,解：本题考查了椭國的离心率，直线与椭圆的位置关系， 以及向量与椭國的综合应用 （1D由题意，c=2,故a=5开4=3∴e=合=号 2 (2)由题意，A(4,0)不妨设P(xpyp), .MP=(pyp-m),PA=(4-zp,-yp); 2MP-PA- 2yp-2m=-yp p=3 3 :P在精国上：台， 16 5 =1,m=10 (负根舍). (3)由题意，AM斜率为- 210A1=20M,a =2m, 不持设AM中点Q(m,受)设C),D 则1方程为y=2(x-m)+受-2红-号m 3 3 y-=2x-2m ∴.(16m2+5)x2-24m2x+9m-20m2=0,4>0, 24m2 x1+=16m+5' 9m-20m2 x1x2= 16m2+5 c=(-m)=(2a-n MD=(2-号m 5 ∠CMD为钝角， ∴，M而=五西+(2-m)(2-2m-5西 5ma+)+空f<0, 5·9m-20m2 一5m·16m+5 24m2 +5m 16m+5 4 25m-245 16m2+5 <0， m<7 2 即a=2m<√17，a>√5，∴a∈(W5,√/17). 实战集训3 1.解：I)设F(c,0),由题设有c=1且=3 a2 故4-1=3 a ,解得a=2,故6=5， 皮颜国方根为号+号=1 (2)直线AB的斜率必定存 在，设AB:y=k(x-4), A(1y),B(x2y2), 由/3x+4y2=12 1y=(红-4)，可得(3 +4k2)x2-32k2x+64k2- 12=0, 故△=1024k-4(3+4k)(64k2-12)>0, 故-合<k< 又x1十x2 3+463西=64k2-12 322 3+42 而N(受0故直线BNy=,”三（-受)片 x一2 3 故%=2 -3y2 5 x4一2 =2x2-5' 3y2 所以y一y阳=1十2x-5 =4×(2x-5)+3y 2x?-5 =6(工-4)×(2x-5)+3(x-40 2x-5 =k2红x-5(西十x2)+8 2x2-5 2×64-12-5×32k =k- 3十4k2 3+46+8 2x2-5 128k2-24-160k2+24+32k =k 3+4k =0, 2x2-5 故为=yQ,即AQ⊥y轴. 2.解：(1)由题意b=c= =2,从而a=√B+2=2, √2 所以精周方程为号+号-1，高心率有 2: (2)显然直线AB斜率存在，否 则B,D重合，直线BD斜率不 存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB与椭 圆无交点，矛盾， 从而设AB:y=kx十t,(t √2)，A(x1y1),B(xy), ,化简并整理得(1十2k2)x2+4k1x十 (y=kx+t 22-4=0, 由题意△=16k2-8(2k2+1)(t2-2)=8(4k2+2-t) >0,即k,t应满足4k2十2一2>0，所以x1十x2= -4kt 222-4 1+2求x120+i, 若直线BD斜率为O,由椭圆的对称性可设D(一x2yz), 所以AD:y=当兰(x一x)十y,在直线AD方程中令 x1十x2 x=0, 得%=西当十工出 x十x2 =西(kx2十t)+x(k.1十) x1十x2 2马+红十2_42+=2=， 工1十x2 一4k 所以=2， 此时k应满足您十2(=秘-2>0，即名应满足k< k≠0 号我> 21 培上所建山=2满灵题意，此时K-号我> 2 3.解：(1)因为描国的离心率为e=号，故a=2c,b=5c,其 中c为半焦距， 所以A(-2,0,B0,-5e).c(0,- E,故SAAe 2×2c×9=35, 2 解得c=5,所以a=23,6=3,故精国方程为后+号 =1. 2)若过点(0-2受)的动直 线的斜率存在，则可设直线方 程为=虹-号 设P(xy),Q(x2y2),T(0, t), /3x2+4y2=36 由 y=红-是 ,可得(3+4k)x2-12kx-27=0, 故A=144+108(3+42)=324+576k2>0且x1十x 12k 3十42西2= 27 3+42, 而TP=(x1,y-t),TQ=(x,2-t),故TP·TQ= xx1十(y-t）(y-t)=x1x +(-受-(--) =+)西-(2+）水+)+（受+）-0 +)×（3)-(2+）×3路十 (侵+ -27-27-18-12+32+）'+3+20发 3+4k 92 [3+202-124-451+3(2+）-27 3+4 因为TP·TQ≤0， ,(3+2)2-121-45≤0 {3(受+)-27≤0 解得-3≤<号 若过点(0，一受)的动直线的斜率不存在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,一3)，Q(0,3), 此时需-3≤1≤3，两者结合可得-3≤1≤是， 综上，存在T00且-3<<号，使得TP,TQ<0, b=2 4.解析：(1)由题意可得 a2=6+c2 a 3 a=3 解得b=2, (c=5 所以满固方框为号+号-1 (2)由题意可知：直线PQ的斜率 存在，设PQ:y=k(x十2)十3， M P(1y),Q(x2）, ,y=k(x+2)+3 联立方程 苦+号1 ,消去 y得：(4k2+9)x2+8k(2k+3)x +16(2+3)=0, 则△=64k(2k十3)2-64(42+ 9)(k2+3k)=-1728k>0,解得k <0, 可得x1十工？= 8k(2k+3) 4k+91 5x2=16k+3k) 4k2+9 国为A-2,0,别直线APy年+2， 伞=0，解释y祭2中M2) 同理可得N(0,2) (2+2 2y+2 则5+2T巧+_k+2)+3,k5+2)+3 2 五十2 +2 k红+(2k+3)](+2)+[k2+(2+3)]+2) (x+2)(2十2) =2kx13十(4k+3)(x1十x2)+4(2k+3) x1,+2(x1十x2)十4 32k(R+3)_8k(4k+3)(2k+3》+42k+3) 42十9 4k2十9 16R+32_16(2k+3)+4 1083, 36 4k+94k+9 所以线段MN的中点是定点(0,3). 实战集训4 1.解：(1)如图，由题意 得0+c=3 (a-c=1 解得a=2,c=1,所以b= √2-1下=5， 所以椭周的方程为子十常 1,离心率为e=￡=1 a 2 (②)由题意得，直线A,P斜率存在，由精国的方程为三 +号-1可得42.0. 设直线A2P的方程为y=(x一2)， 联立方程组年+31 ,消去y整理得 y=k(x-2) (3+4k)x2-16k2x+16k°-12=0， 由韦达定理得x4,·即 16k2-12 3+4k1 所以xp 8k2-6 3十4k1 所以P /8k2-612k 3+4k'3+4及 ,Q(0,-2k). 所以5a4a叫=号×4X1al, s4r=合×1X1r S44-2×4x1 所以SaA,4,=S6Am+S644P=2Sa4m+Sa4A,P, -12k 所以21y%=3yp,即2-2=3一3+0 解得长=士号，所以直我A,P的方复为 ±9-2. 2解折：1设E的方机为号+ =1(a>0,b>0),将A(0,- 2》,B(含-)两点代入得 1 (a>0,b>0),解得。-3,8-4，故E的方程为写+苦 =1. (2)由A0,-20,B(受-1 可得直钱ABy=号一2 ①若过P(1,一2)的直线的斜率不存在，直线为x=1.代 入号+号1可释M(,2)N-将y 193 2代入ABy=号-2，可得T6+3,2,由M7 -i,得H26+52 易求得此时直线HN:y= (2-2）-2所以直线过点0，-2》 ②若过点P(1,一2)的直线的斜率存在，设kx一y一(k+ 2)=0,Mx1y1),N(xy). kx-y-(k十2)=0 联立 ,得(3k+4)x2-6k(2+k)x+ 3k(k+4)=0. 1十x= 6k(2+k) 3k2+4 故有 3k(4+k) x1x= 3k+4 -8(2十k) 为十为= 3k+4 得 小5=4(4+-22)：且西2+z2%一3+4￥) 3k+4 y=的 联立 -号-公可得T(受+8小H(3,+6 2 x1y),可求得此时HN:y一业=3千6-西- y1■y2 一(x x2),将(0，一2)代入整理得2(x1十x2)-6(十y2)十 x1y2+x2y-3y1y2-12=0, 将(*)式代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k +24k2-36k2-48=0,显然成立. 综上，可得直线HN过定点(0，一2). [b=1 ,a=2 3.解析：(I)依题意可知：2c=2√3，解得b=1,故椭 a'=6+c 圆E的方程为：号十y=1: （Ⅱ)由题可设直线方程为：y-1=k(x十2)，B(x1y1), C(z2), y-1=b(x+2) 联立直线和精圆E方程： 4十y=1 ,可得(1十 42)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,由△>0可得 (16k+8k)2-4×(1+4k2)(16k2+16k)>0, 解得k<0, 根据韦达定理可得：x十2= -(16k2+8k) 1+4k2 x1x2 =16k+16k 1+4k2T1 直线AB的斜率为k=当一 ,AB的直线方程为： x1 y=4z十1，令y=0,可得点M的横坐标x 1 =1一y 网理可得点N的横坐标xw=产则有MN|= 19 -k(x1+2)-k(x4十2) (川 合+2+ x12+2(x1十x2)十4 1 2√(x1十x2)-4x =2, kx1x1十2（工1十x2)+4 代入韦达定理式子可得 2 -(16k+8k) -4×16k+165 y 1+4k2 1+4k2 16+16k+2 =2, k -16k一8k 1+4k2 1+4k2 +4 化简可得： 2√/64(2k+k)-4X16(k+k)(1+4) 1 1+4k =2, 16k+16k+-32k-16k+4+16k 1+4长2 1+4 1+4k 冬√4级+4+发-4快-级-女-=2，可得 即 号=合两边牛方则有行解释发=-4故 k的值为一4. 4.解析：(I)设Q(2√5cos0,sin0)是椭圆上任意一 点，P(0,1), 所以|PQ2=12cos20+(1-sin0)2=13-11sim0-2sin0= 普-（血叶品）广<普兰，故P到精周点的距高的装 大值为2严， (Ⅱ)设直线AB方程为：y=kx十 是，设A( y),B(x2y2） i2+y2 联立 1消去y,整理得：（+立）+红 =0 所以无十x2=一 3 k2+是 4(+】 又PA方程可设为y=当- x+1, y=1 +1 联立 4x1 1 ,解得x= +2y1-2 y=-2+3 4x1 (2k+1)x1-1' 4x2 4x1 网理可得n=,十2%-2-(2k+1)x,' 所以cD气√1+子le-n- 9引a+,可+可 4x2 =25[2k+D2+Da-可 T-Ix 252+1D五1-(2k+1)x+)+ 3 代入x十x?= +品 4(+)】 化简得：1CD1=35 .V1+16k 2 3k+1I D当K-号时， √1+16k √/1+16k 4 3k+1 3k+1 3 即1CD1>25: (2)当k>- 号时，记f()= √1+16k 3k+1 严了- 3k+12V16+7,当-}< 16k-3 <品时，f)<0,当>品时，f>0, 故f)在（号最）上单调递减，在（品+∞）上单 调递增， 所以)≥（品）号 *1GD≥g 综上所遂，当=是时，CD取最小值日 5 实战集训5 1.解：(1)因为椭圆E过点A(0,一2)，故b=2, 以四个顶点国成的四边形面积为45，故号×2aX2b= 2ab=45, b=2 a=√5 联立{2ab=45,解得b=2,故椭圃E的标准方程为 La=b+c2 (c=1 (2)由题，直线1的斜率存在，且直线1的方程为y=kx一 3, 设B(工1y),C(xy). 联立v=x-3 ,消y整理得(5k2+4)x2-30kx+ 14x2+5y2=2 25=0, △=(-30k)2-4×(5k2+4)×25=400(k2-1)>0,故k >1或k<-1, x1十x2= -30k30k 25 5k+45+42·五5+4 19 24 y十为=(x+)-6=一5+4：为·为=(k红-3) ·（6x-3)=kx西4-3k(z1+x4)+9=36-20k 5k2+4, 直钱AB的方程为y十2=当十2，令y=-3, 直线AC的方程为y十2=当+2，令y=-3, 则2故N(千2 +2-3: IPM+IPN-a+ x1·(y2十2)+x3·(y+2) (y+2)·(+2) x1·(kx2-1)十x2·(kx1-1) y1·3y2+2(y1十y2)+4 2kx1x2-(x1十x2) y·%+2(y+y2)十4 25 30k 2kX5k+4厂5+4 36-20k48+4 5k2+4 |5k|≤15，即k≤3，解得-3≤k≤3. 综上，k的取值范国为[-3，一1)U(1,3]. 2.解：考查椭圆方程和韦达定理，第二问为求弦长的基础 问题，属于偏难的题目. D右焦点为F.0.c=E,e-写ia-,又 a2=b+c2,b=1 横圆C的方程为写+y-1. (2)必要性证明：M,N,F三点共线，∴设直线MN的 方程为y=k(x一√②). :直线MN与曲线x2+y2=b(x>0)相切，∴.原点到直 线MN的距离为1.即d=一2=1，k=1. k+1 y=k(x-√②) 联立方程》 +1得到（号+） 2√2kx+2k2-1-0. 设M(x1y1),N(x2y), 西+五-2A-32 1+3k2 2 6k2-33 4·-1+3设24 ∴.|MN|=√1+k|x-x|=反 √5，问题得证 充分性证明：已知MW|=√3，∴.设直线MN的方程为y =kx十m. :直线MN与曲线x2+y2=6(x>0)相切，.km<0, ∴原点到直线MN的距离为1. 即d=n =1,.m2=k2+1. √2+I y=kx十m =0. x1十x= 6km 1+3k 设M(x1y),N(22),则 x1·x2= 3m2-3 1+3k2 24k+24k MN1=√+及|x一=√9+6+1 =5.即 k-2k2+1=0,∴k2=1. :km<0,∴直线MN的方程为：y=x一√2或y=一x十 √2.将F(2,0)代入MN方程都成立 直线MN恒过点F. 因此，M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=√3. 3.解：(1)依题意：BF,|=|PF,|=a=2,.OP=|PF 十c=√2+1.此时m=-1-√2. (2)设直线L方程y=(x-m),A(1y)FA·F,A (✉+1)红-10+听=-1+=青 3 又点到直线距高d回 √1十 m=46 3 联立①② 1 即1方程为y-号气+) k=3 (3)设直线1方程y=(x一m),A(x为)，B(xy) 则F1A=(x1十1，y),F:B=(x-1,2) FA∥F,B→(x1+1)·=(x2-1)·y 消元：(x1十1)·k(x2-m)=(x2-1)·k(x1-m) 化简：x1十x2十m(x-x1)-2m=0 联立：少=(x-m →(1+2k)x2-4mk2x+4km2-2 x2+2y2=2 =0 4mk2 1+x-1+20' 则 2km2-2 1+2k g Amk2 代入上式：+26十m（x-西）-2m=0→西-x 2 =1+2 又--✉+-4-（片2F）广 代入化简：4k2m-2km2+1=0→k2= 1 2m2-4m 1 对于任意m<一2，都有唯一的k气√2m一4m,即直线 有且仅有一条 考点三 实战集训1 1.D由题知b=√7a,则c=√7+1a=2√2a,所以离心率e =￡=2√2，故选D. a 2.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求 出高心率，由2-付=4得，号-寸-1，所以公=4,6= 1,c2=a2+6=5, 即a=2,c=5,所以e=5=5, a ,故选：B 3.A如图所示，设PF2=m,M 3c-a 则|PF1I=m+2a,|PMl =m. 3c+a 由PF,+IPF.I=3IFF, 3c-a 可得m十(m十2a)=6c,所以 m=3c-a,过P作PM⊥ H MF,交点为M F:c-a 从而|PFI=3c十a,lF:H=|PM-lF1F:|=c-a. 由MFl1=|PH得(3c+a)2-(3c-a)2=(3c-a)2-(c -a)2, 所以12ac=8c2-4ac,整理即得c=2a,故离心率e= 0 =2 4.A本题考查了双曲线的几 y 何性质。如图，因为双曲线的 渐近线方程为y=x,k一 -1 AB与渐近线平行，当C点 在无穷远处时无限逼近渐 10 近线， ∴AB边上的高无限逼近渐近线， .AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最小值. 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时△ABC的面 积最大 6专题九解析儿何 考点一直线与圆 一、选择题 1.(2025·全国一卷，7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=3x+2的距离为1的点有 且仅有两个，则x的取值范围是 () 整 A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) 2.(2024·全国甲卷（理），12)已知b是a,c的等差中项，直线ax十by十c=0与圆x2十y2十4y一1 紧 =0交于A,B两点，则|AB|的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.25 3.(2024·北京卷，3)圆x”十y2一2x十6y=0的圆心到x-y十2=0的距离为 A.2 B.2 C.3 D.32 4.(2023·新课标I卷，6)过点(0，一2)与圆x2+y2一4x一1=0相切的两条直线的夹角为a,则 sin a= ( 布 A.1 C.10 4 n 5.(2023·全国甲卷（理），8)已知双曲线C,乙-￥=1(a>0,6>0)的离心率为，5，C的一条渐近 线与圆(x一2)2+(y一3)2=1交于A,B两点，则|AB引 () 如 A号 R c n转 阳 6.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷，11)已知直线l:ax十by-r=0与圆C:x2十y2=r2,点A(a,b),则 下列说法正确的是 () A.若点A在圆C上，则直线I与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线I与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线L上，则直线l与圆C相切 黑 7.(2021·北京卷，9)已知圆C:x2十y2=4,直线l:y=kx十m,当k变化时，直线l截得圆C弦长 的最小值为2，则m= () A.±2 B.士√2 C.±3 D.±√5 8.(多选)(2021·新高考I卷，11)已知点P在圆(x一5)2+(y一5)2=16上，点A(4,0),B(0,2), 则 A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB引=32 D.当∠PBA最大时，|PB引=3√2 81 二、填空题 9.(2023·新课标Ⅱ卷，15)已知直线x一my十1=0与⊙C:(x一1)2十y2=4交于A,B两点，写出 满足“△ABC面积为”的m的一个值 10.(2023·天津卷，12)过原点O的一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p> 0)于点P,若OP=8,则p的值为 11.(2022·全国乙卷，14)过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为. 2.(2022·全国甲卷，1)若双曲线y了=1(m>0)的渐近线与圆+y4y十3=0相切，则 m= 13.(2022·新高考I卷，14)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的 方程 14.(2022·新高考Ⅱ卷，15)设点A(一2,3)，B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+ 3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是 考点二椭圆 [真题题组·实战集训] 一、选择题 1.(2024·新课标Ⅱ卷，5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段 PP',P为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为 () A后+号-10g>0) B后+苦=1g>0) c若+着=1g>0) D6+若-1g>0) 2.（2023·新课标1卷，5设椭圆C号+y=1a>1》.G:菁+y=1的离心率分别为与若 e2=√3e1,则a= () A25 B.2 C.3 D.6 3.(2023·新课标Ⅱ卷，5)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F,F,直线y=x十m与C 交于A,B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m= A号 3 C.② 3 D.号 82 4(2023·全国甲卷（理），12)已知椭圆写+苦-1，R、R为两个焦点，0为原点，P为精圆上 6 点，cos∠EPE,-,则IP01= A号 B.30 2 c号 D.35 2 5.(2023·全国甲卷（文)，7)设E,R,为椭圆C号+y=1的两个焦点，点P在C上，若PF: PF2=0,则|PFI·|PF2|= A.1 B.2 C.4 D.5 2022·全国甲卷，10)椭圆C无+￥1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于 轴对称，若直线AP,AQ的斜率之积为子，则C的离心率为 号 c D号 ,(2021·新高考I卷，5)已知EE,是椭圆C:号+X1的两个焦点，点M在C上，则MF 4 ·|MF2I的最大值为 ( A.13 B.12 C.9 D.6 8.(2021·全国乙卷，11)设B是椭圆C:三+ =1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都 满足|PB≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( A[停 c .(o. 二、填空题 9.(202·新高考Ⅱ卷，16)已知直线1与椭圆后+号-1在第一象限交于A,B两点，1与x轴y 轴分别交于M,N两点，且|MA|=|NB|,IMN|=2√3，则l的方程为 10.2022·新高考I卷，10已知瑞圆C:号+芳=1o>6>0.C的上顶点为A,两个售点为F, F,离心率为？，过F且垂直于AF的直线与C交于D,E两点，DE=6,则△ADE的周长 是 1山，(2021·全国甲卷，15)已知R,R为椭圆C:后+苦-1的两个熊点，P,Q为C上关于坐标原 点对称的两点，且|PQ=|FF2,则四边形PFQF2的面积为 83 12.(2021·浙江卷，16)已知椭圆后+芳-1(a>6>0),焦点F(-6,0,R,（e,01c>0,若过E 的直线和圆。一2+y=2相切，与椭圆的第一象限交于点P,且PR,⊥：轴，则该直线的斜率 是 ,椭圆的离心率是 三、解答题 13.(2025·天津卷，18)已知椭圆二+ 62 =1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为x=a上 一点，且直线PF的斜率为？，△PFA的面积为，离心率为2 (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证：PF平分∠AFB. 14.(2024·新课标I卷，16)15分)已知A0,3)和P3,2)为椭圆C:号+若=1o>6>0)上 两点 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线1交C于另一点B,且△ABP的面积为9，求1的方程. 84 [真题题组·实战集训2] 1.(2025·全国三卷，16)已知椭圆C:石+之4 -1a>6>0)的离心率为号，长轴长为4， (1)求C的方程； (2)过点(0，一2)的直线I与C交于A、B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√2，求|AB|. 整 批 布 2.(2025·全国一卷，18)已知椭圆C号+芳=1a>6>0)的离心率为2，下顶点为A,右顶点 3 为B,|AB=√10. (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·IAR引=3 (i)设P(m,n),求R的坐标（用m,n表示）； 数 (i)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的 阳 最大值。 85 31.(2025·北京卷，19)已知椭圆E:号+若=1(a>6>0),离心率为号，椭圆上的点到两个焦点的 2 距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为原点，M(x0,y%)(x≠0)为椭圆上一点，直线xox十2yoy一4=0与y=2和y=-2 别交于A,B两点.△OMA与△OMB的面积分别为S,S·猜想与沿的数量关系并求证 4.(2025·上海卷，20)已知椭圆r:三+兰=1(a>5,M(0,m)(m>0),A是r的右顶点. 5 (1)若T的焦点是(2,0)，求T的离心率e; (2)若a=4,且T上存在一点P,满足PA=2MP,求m: (3)若AM中垂线I的斜率为2，l与T交于C、D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围. 86 [真题题组·实战集训3] 解答题 ,全国甲卷理)，20)(12分)设椭圆 =1(a>b>0)的右焦点为F,点M （1,2)在c上，且MpLz轴 (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q. 证明：AQLy轴， 2(2024·北京卷，19)15分)已知椭圆方程C号+ +家=1(a>b>0),焦点和短轴端点构成边长 为2的正方形，过(0，t)(t>2)的直线l与椭圆交于A,B,C(0,1),连接AC交椭圆于D. (1)求椭圆E的方程和离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t. 87 3.(2024:天津卷，18)（本小题15分）已知椭圆导+若=1(a>6>0)的离心率e-令，左顶点为 A,下顶点为B,C是线段0B的中点，其中SAAc-3 2 (1)求椭圆的方程。 (2)过点0，一)的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T使得T币，TQ<0. 若存在，求出点T纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由 4.(2023·全国乙卷（理）.20)12分)已知椭圆C号+若=1(。>6>0)的高心率为9，点A(-2, 0)在C上 (1)求C的方程 (2)过点（一2,3）的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明：线 段MN的中点为定点. 88 [真题题组·实战集训4] 解答题 L(2023·天津卷，18)15分)已知椭圆士三1(a>6>0)的左、右顶点分别为A,A,右焦点为 F,已知|AF=3,|A2F|=1. (1)求椭圆的方程和离心率e; (2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q,若三角形APQ的面 积是三角形A,FP面积的二倍，求直线A,P的方程 2.(2022·全国乙卷，20)(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0, -2,(2-1两点 (1)求E的方程； (2)设过点P(1,一2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点 T,点H满足MT=TH.证明：直线HN过定点. 89 3.(2022·北京卷，19)（本小题15分） 已知椭圆E艺+-1a>b>0)的一个顶点为A0,1D,焦距为25。 b (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)过点P(一2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x 轴交于点M,N.当|MN|=2时，求k的值. 4.(2022·浙江卷，21)（本题满分15分） 如图，已知椭圆2十y=1,设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点，且点Q (0,号)在线段AB上，直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D 两点 (I)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (Ⅱ)求|CD的最小值. 90