专题5 平面向量-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训试卷

专题五平面向量 考点一平面向量的概念与运算 一、选择题 1.(2025·全国一卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在 航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量 整 之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力 等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与 船速对应的向量如图2（线段长度代表速度大小，单位：m/s),则该时刻的真风为 () 紧 等级 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 视风风速 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 3 5 劲风 8.0~10.7 病 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 2.(2024·新课标I卷，3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2023·新课标I卷，3)已知向量a=(1,1),b=(1,一1)，若(a+b)⊥(a十b),则 如 A.λ十=1 B.A十4=-1 C.4=1 D.4=-1 御 4.(2023·全国甲卷（文），3)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则c0s(a十b,a一b》= A司 B罗 D26 5 5.(2023·全国乙卷（文），6)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED= A.5 B.3 C.25 D.5 6.(2022·新高考I卷，3)在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA,记CA=m,CD=n,则CB A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 7.(2022·新高考Ⅱ卷，4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a十b,若(a,c)=(b,c〉，则t= A.-6 B.-5 C.5 D.6 8.(2022·全国乙卷，3)已知向量a,b满足|a=1,b=√3，a一2b=3,则a·b A.-2 B.-1 C.1 D.2 45 二、填空题 9.(2025·全国二卷，12)已知平面向量a=(x,1),b=(x一1,2x),若a⊥(a-b),则a= 10.(2025·天津卷，14)△ABC中，D为AB边中点，CE=CD,AB=,AC=b,则AE= (用a,b表示)：若|AE=5,AE⊥CB,则AE·CD= 11.（2024·上海卷，5)已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为 12.(2023·新课标Ⅱ卷，13)已知向量a,b满足|a-b|=√3，a十b=|2a一b|,则|b|= 13.(2023·上海卷，2)已知向量a=(一2,3)，b=(1,2),求a·b= 14.(2022·全国甲卷，13)设向量a,b的夹角的余弦值为号，且a-1,b1=3,则(2a十b)·b 15.(2021·北京卷，13)a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a十b)·c= :a·b= 16.(2021·全国乙卷，14)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a一b)⊥b,则入= 17.(2021·全国甲卷，14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a十b.若a⊥c,则k= 18.(2021·上海卷，4)如图，正方形ABCD的边长为3，求AB·AC= 考点二平面向量的应用 一、选择题 1.(2025·北京卷，10)已知平面直角坐标系x0y中，OA-|OB1=√2,1AB|=2,若C(3,4),则 I2CA+AB|的取值范围是 ( A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 2.(2024·上海卷，15)定义一个集合2，其元素是空间内的点，任取P1,P2,P3∈2，存在不全为0 的实数入1，入2，入3，使得入1OP,+入2OP2+入3OP?=0.(其中0为坐标原点)已知(1,0,0)∈2，则 (0,0,1)￠2的充分条件是 A.(0,0,0)∈2 B.(-1,0,0)∈2 C.(0,1,0)∈2 D.(0,0,-1)∈2 3.(2023·全国甲卷（理），4)向量|a=|bl=1,|c=√2，且a+b+c=0,则cos(a一c,b-c〉=( A一号 R-号 c 46 4.(2023·全国乙卷（理），12)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A,直线PB与⊙O 交于B,C两点，D为BC的中点，若PO=√2，则PA·PD的最大值为 () 4.1+2 B.1+22 2 2 C.1+√2 D.2+√2 5.(2022·北京卷，10)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°，P为△ABC所在平面内的动点， 且PC=1,则PA·PB的取值范围是 () A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 6.(多选)(2021·新高考I卷，10)已知O为坐标原点，点P1(cosa,sina),P2(cosB,一sin),P3(cos(a 十，sin(a十))，A(1,0),则 A.IOP,I=lOP2I B.AP,I=AP:I C.OA·OP3=OP1·OPg D.OA·OP1=OPg·OPg 二、填空题 1,x>0 7.(2025·上海卷，12)已知函数f(x)={0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位向量.若f(a -1,x<0 ·b)十f(b·c)十f(c·a)=0,则a十b十c的取值范围是 8.(2024·天津卷，14在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE=DE,B正 =入BA十4BC,则入十= ;F为线段BE上的动点，G为AF中点，则AF·DG的最小 值为 9.(2023·天津卷，14)在△ABC中，∠A=,BC=1,点D为线段AB的中点，点E为线段CD 的中点，若设AB=a,AC=b,则AE可用a,b表示为 若B户=}BC,则A正，A的最大 值为 10.(2022·浙江卷，17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…Ag的边A1A2上，则PA,2+ PA22十…十PAg的取值范围是 11.(2021·新高考Ⅱ卷，15)已知向量a+b+c=0,a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= 12.(2021·浙江卷，17)已知平面向量a,b,c(c≠0)满足|a|=1,b=2,a·b=0,(a一b)·c=0, 记平面向量d在a,b方向上的投影分别为x,y,d一a在c方向上的投影为z,则x2十y2十z 的最小值是 47=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B] =-cos(B+C)+cos[x+(B-C)] =-2cos Bcos C, 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C, 即(sinB+cosC)cosB=0, 由已知条件：1+c0s2B≠0，则B≠受，可得c0sB≠0. 所以如B=一c0sC=号，B=晋 (2)由(1)知sinB=-cosC>0,则5<C<x,0<B < sinB=sin(C-）=-cosC, sinA=sin(B+C)=m(2c-受）=-cos2C, 由正孩定理+6=sinA十sim2B_co32C+cosC sinC sin'C =1-2sin'C)2+(1-sin2C sinC 2+4sin'C-5sin'C 2 sin'C sinC+4sin'C-5 2 22√c·4sin'C-5=4E-5, 当且收当C-号时等号减立，所以生少的美小准 为42-5. 3.M (I)sin2C-sinC,2sinCcosC=sinC,cosC= 2 又0<0<受…∠0=8 ()abinC6 imC=合，da=45,由余孩定理得2=。十8- 2a6cosC-48+36-2X45×6x9-12 c=25,所以△ABC的周长为6√5+6. 4,解折：(1)：边长为a的正三角形的面积为。， ∴8-8+8-9a-8+2)-9即ae os B-1. 4 由mB-号得osB=2ac=B平。 cos B 4 (2)由正弦定理得 6a ac 'sin B sin A'sin C sin Asinc 3 4=9 4 3 3 故6=号如B=合 省案：号 2号 5.解：(1)由正弦定理 sin Bsin C sin C-2sin Bcos B =sin 2B, 故C=2B(含)，或C+2B=,故B=A=吾 (2)由(1)知，c=√36，故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√3x,故周长为(4+ 2√3)x=4+25,解得x=1, 即BC=AC=2,AB=2√3，设BC中点为D,则在△ABD 中，由余弦定理，c0sB= AB+BD-AD 2XABXBD 1+1识AD=号解得AD= 4√3 选③，设BC=AC=2x,则AB=2V3x,故SaMc= 3×(2z)×(2x)×s120=2-35, 4， 解得x=9,中BC=AC=5,AB=3,设BC中点为D, 则在△ABD中， 由余弦定理，cOSB=AB十BDAD 2XABXBD 9+3 2 5,解得AD=四 33 2 2 专题五平面向量 考点一 1.A由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为2√2≈ 2.828,等级上属于轻风，选A. 2.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2- 4x=0,解得x=2.故选择：D. 3.D(a+b)·(a+b)=a2+(a十)(a·b)+b =2(1十)=0，所以入4=一1.故选D. 4.B图为a=(3,1),b=(2,2), 所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 则|a+b|=√5+3=/34，|a-l=√1+I=√2， (a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2, 所以cos(a+b,a-b)=a+b):(a-b= 2 1a+ba-b√/34x√2 厘，故选B. 17 5.B以{AB,AD)为基底向量，可知|AB=|AD=2, AB·AD=0 则C=EB+BC-合AB+A,ED-EA+Ai=- AB+AD, 所以EC.ED-(合AB+AD)·(-2AB+AD) -}A店+A茹=-1+4=3.故选B 6,B如图，因为CB=CA+AB, BD=2DA,所以AD=AC+CD =n-m,AB=3 AD,CB=CA+ 3AD=m十3(n-m)=3n-2m,故选B. 60 7.C由已知有c=(3十t,4),cos(a,c〉=cos〈b,c》,故 9)5-解得1=5，选C 8.C由题设，a-2b|-3,得|a2-4a·b+4|b2-9,代 入a=1,|b1=√3，有4a·b=4,故a·b=1,选择C. 9.解析：因为a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x),又a ⊥(a-b) 所以a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,解得x=1 所以|a=√+1平=√2 答案W2 10.解析：A正=AD+号DC-AD +号Ac-A)=子Ai+号 花-君+号花-言+号 A b.CB=AB-AC=a-b, CD-AD-AC-ZAB-AC-. 从而AE-名(a+4b)=若[6(a-b)-5(a-2b]=C店 故正.C市=是正.C-A=-是AE =-15. 答案：日a+号b-15 11.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 答案：15 12.解析：由a十b=2a-b,得a2=2a·b: 由a-bl=5,得a2-2a·b+b=3,即b=3, 1b1=3. 答案3 13.解析：a·b=-2×1+3×2=4. 答案：4 14,解折：(2a十b)·b=2a·b+8=2X1X3×号+32=11 答案：11 15.解析：因为a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),故(a十b) ·c=(4,0)·(0,1)=0, a·b=4-1=3. 答案：03 16.解析：由题设知a-b=(1一3入，3一4)， 由(a-b)⊥b得(a-b)·b=(1-3入，3-4)·(3,4) =3(1-3)+4(3-4) =15-251=0,解得入=号 答案：号 17.解析：c=a+b=(3,1)+(1,0)=(+3,1),由a⊥c 得a·6=0,所以3(+3)+1=0，解得=-号. 答案：-9 18.解析：由数量积AB·AC=AB=9. 答案：9 16 考点二 1.D先根据AB=OB一OA,求出OA,OB,进而可以用向 量OA,OB表示出2CA十AB,即可解出， 因为|OA1=|OB|=√2，AB=2, 由AB=OB-OA平方，可得OA·OB=0,所以(OA,OB) 2 CA+AB-2(OA-OC)+0B-OA-0A+OB-20C, 10C1=√3+4=5， 所以，2CA+AB2=OA+OB+4O花-4(OA+OB) .Oc =2+2+4×25-4(0A+0B)·0C=104-4(OA+ 0B)·OC, 又0A+OB).01≤1OA+OB110C1=5×√2+2= 10,即-10≤(0A+0B)·OC≤10， 所以2CA+AB1∈[64,144]，即|2CA+AB|∈[8， 12],故选：D. 2.C图为A1,A2A3不全为0，A1OP,+x2OP+OP, 0,所以三个向量无法枸成三雏空间坐标系的一组基. 又因为(1,0,0)∈，所以对于A,三者不可以构成一组基，故 不能推出(0,0,1)任2，故A错误： 对于B,若(1,0,0)，（一1,0,0）均属于2，且(1,0,0)， (-1,0,0)共线，所以(0,0,1)可以属于2，此时三者共 面，故B错误； 对于C,显然，三者可以构成一组基，与条件不符合，故可 以推出(0,0,1)任2，故C正确； 对于D,三者无法构成一组基，故不能推出(0,0,1)任2， 故D错误，故答案选C 3.D由a十b十c=0得a十b=-c,所以(a+b)2=(-c)2, 即a2+2a·b+b=c2,又|a=|b=1,c=√2， 所以a·b=0,所以a⊥b. 如图所示：a一c=CA,b一c=CB, 由余弦定理得ICA|=|CB|=√5， 所以cOs∠ACB= 5+5-2 25×W5 a c 即cosa-c,b-e0=亭故选D 4.A如图所示，|OA|=1, D |OP|=√2，则由题意可知： C ∠AP0-, a 0 由勾股定理可得PA= √OP2-0A=1 当点A,D位于直线PO异侧 时，设∠OPC=a,0≤a≤开， 则：PA.PD=PA·PD1cos(a+） -1x2 ss(e+)】 51 =cos'a-sin acos a g2a-m2如 2 “当2a-景=-子时，P丙： PD有最大值1. 当点A,D位于直线PO同侧 时，设∠0PC=a,0<a≤至， 则：PA.PD=PA·PD cose-子) -1 o(a-)】 -ias(停a+竖n =cos2a十sin acos a 1出gs2a+za 2 -+号n(a+)】 0≤，则量≤2a+晋≤号 六当2a+至=受时，PA,PD有最大植 2 越上可得，P.Pi的展大位为生 故选A. 5,D建立如图所示坐标系，由题 易知，设C(0,0),A(3,0), B0,4) B(0,4),PC=1,.设P(cos0, sin 0),0E[0,2n) PA.PB=(3-cos 0,-sin ·(-cos0,4-sin0)= P(x.y) -3cos 6-4sin 0+cos0+ sin0=1-5sin(0+p)(其中sin g=号osg=号)e[-4,6], .3 所以选D. 6.AC对于A:lOP1|=√cosa+sina=1, OP2|=√cos叶sinB=1,A对： 因为|AP,|=√(cosa-1)+sina=√2-2cosa, |AP。|=√(cosB-1)2+sinB=√2-2cosB,所以 B错； 图为OA·OP,=(1,0)·(cos(a+B),sin(a+) =cos(a+B), OP.OP:=cos acos B-sin asin B=cos (a+), OA·OP,=OP·OP,所以C对； 而OA.0P,=(1,0)·(cosa,sina）=cosa, OP:.OP,=(cos B.-sin ).(cos(a+B),sin(+B)= cos Bcos(a+)-sin Bsin(a+)=cos(23+a),所以D错， 故答案为AC. 7.解析：本题考查了平面向量的数量积，模的最值 由题意可知，f(a,b),f(b,c),f(a,c)三者全为0或一个 为1，一个为一1，一个为0. 当全为0时，可知a,b,c,两两垂直，不合题意，所以必 为后者，不妨设f(a·b)=0,f(b·c)=-1, f(a,c)=1 可知b·c<0,a·c>0,a·b=0 设a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sin), ∴ac=cos0>0,bc=m00,0e(至0） ∴.|a+b+c1=√(1+cos)2+(1+sin) 气/3+2m(+) 可知9+冬∈（子，）2in(+)（-2,2) ∴.la+b+cl∈(1w5) 答案：(1W5) 8.解桥：周为CE-DE,即C成-}i,则酝-C+C主 =号耐+成， 可得=子=1，所以A+=子 由题意可知：BC1=|BA1=1,BA.BC=0, 因为F为线段BE上的动点，设B萨=kB成=子kBA+ kBC,k∈[0,1]， 剥A市=A+B萨=A+B成=（宁-1）BA+kBC, 又因为G为AF中点，则DG-DA+AG=-BC+号A丽 =是（得-1）A+(合-1)， 可得AF.DG [(分-1)）BA+心]： [2(合-1)函+（合-）Bc] =(号-1)广+（合-）号(-号）-0 又因为k∈[0,1]，可知：当k=1时，AF·DG取到最小 位一最 答案：青 9解析：如图，因为E为CD的中 点，则ED十EC=0, (AE+ED=AD 可得 AE+EC=AC 两式相加，可得到2AE=AD +AC, 即2A正-a+b,则正-4+号 162 因为B酝=号BC,则2FB+FC=0,可 (AF+FC-AC 得 AF+FB-AB 得到AF+FC+2(AF+FB)=AC+2AB, 中3正-2a+b,脚-号a+号 于是A正.A求=（仔+2）（骨a+号） =2(2a+5a·b+2b). 记AB=x,AC=y,则A正.AF=立(2a+5a·b+26) =b2r2+5xy0os60°+2y) =(2x2+受+2y） 在△ABC中，根据余弦定理： BC=x+y-2xycos 60=+y-xy=1, 于是正.正-(y+受+2）（受+2 由x2+y2-xy=1和基本不等式，x2+y2-xy=1≥2xy -xy=xy, 故xy≤1，当且仅当x=y=1取得等号， 则x=y=1时，A正·A亦有最大值是 答案：宁4+0只 10.解析：如图，以圆心 为原点，A,A,所在 A 直线为x轴，AsA1 所在直线为y轴建 立平面直角坐标系， 则A(0,1), A() A(1,0),A (停)A( A(号-号》A(-10A(9号) 设P(x),于是PA2+PA+…+PA。2-8(x2+y) +8, 因为cos2,5≤10P1≤1，所以1+9s45≤2+y≤1，故 2 PA+PA+…+PA的取值范图是12+22,16们. 答案：[12+2√2,16] 11.解析：，(a+b+c)2=0=a2+b+c2+2(a·b十b·c+ c…a)=9+2ab计bc+e·a)原式=-号 答案：-号 12.解析：令a=(1,0),b=(0,2),c=(m,n),因为(a-b)·c= 0,故m一2n=0,故c=(2m,n), 因为d在a,b方向，（即x轴和y轴正方向）上的投影分 别为x,y,故可设d=(x,y), 因为d-a在c方向上的投影为之=d-a）·c- c 2z+y-2,故2x+y-52=2, 5 1 故2+y+-2++≥ 5 (2x十y-5z)2=2 4+1+5 5 2 -5 当且仅当 5即{y= 5 时取等号， 2x十y-√5x=2 5 答案：号 专题六数 列 考点一 实战集训1 1.B因为S=3a2=6,所以a2=2,因为S6=5a3=-5, 所以a=一1，所以{an}的公差d=a2一a:=-3,所以a1 =5,所以S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 2.C本题考查了等差数列的通项公式，求和公差，S。= -n2+8m.a,=S,-S.-1=-n2+8n-[-(n-1)2+8(n -1)]=-2n+9. n=1时，S1=7=a1 ∴.an=-2m+9,n∈N :等差数列{an}中d=-2<0. {an}为适减数列，可知a1>a2>aa>au>0>a5>a6… >an>a… la1|+|a2|+…+laz|=(a1+…+aa)-(as+ag+… +an)=S,-(S.-S,)=2S.-S.=2×16-7,15×12 2 =32+48=80. 3.C由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可 求解. 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， 因为as,a4,a6成等比数列，且a1=一2， 所以a=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d), 解得d=2或d=0(含去)， 所以a1o=a,十9d=一2+9×2=16.故选：C. 4,B因为S=S1。,所以a6十a,十ag十ag十a1o=0,即5ag =0,a=0,又因为a5=1,所以公差d=-3a1=a4 1 -7=子 5.D由S=a,n+nm2Dd得S,=9a,+36d=1a,十 2 4d-号a,十a-2a,-2a,+4d0-号，故选D 6.C因为{an}为等差数列，设其首项为a1,公差为d,则 8=a+a2,受=a+”号d=号+a-号 S-=, n十1n2’ 数（侣}为等差数列，则甲是乙的克分条件， 3