专题4 三角函数与解三角形-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训试卷

专题四三角菡数与解三角形 考点一三角函数 [真题题组·实战集训] 一、选择题 1.(2025·全国-卷，4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=21an x一 的图象的一个对称中心，则a 整 的最小值为 ( A晋 B骨 c D 紧 2.(2025·天津卷，8fc)=sm(ar+po>0,-x<gK,在[-受]上单调递增，且x=音 为八)图象的一条对称轴，（行0是f八x)图象的一个对称中心，当x[0,受]时，fx)的最小 值为 ( A.、3 2 B-3 C.-1 D.0 3.(2025·北京卷，8)设函数f(x)=sin(wx)十cos(wx)(w>0),若f(x十π)-f(x)恒成立，且 布 f(x)在[0，不]上存在零点，则w的最小值为 A.8 B.6 C.4 D.3 4.(2024·新课标卷，7)当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2si 3x一君的交点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 5.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，9)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sim2x- 4 ,下列说法正确 的有 ( ) 数 A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 阳 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 6.(2024·北京卷，6)设函数f(x)=sina(w>0),已知f(x1)=一1，f(x2)=1,且x1一x2的最小值为 受则w ( A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2024·上海卷，14)下列函数中，最小正周期是2π的是 ( 盖 A.y=sin x+cos x B.y=sin xcos x C.y=sin'z+cos'x D.y=sin'x-cos'x 8.(2024·天津卷，7)已知函数f(x)=sin3wx十 3 的最小正周期为x则x)在[一是·看]的 最小值为 A-号 C.0 n 9.(2023·全国甲卷（理），10)已知f(x)为函数y=co 2x+晋)向左平移答个单位所得函数，则y =x)与yx一的交点个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 29 10.(2023·全国乙卷（理），6)已知函数f(x)=sim(ax十p)在区间合，单调递增，直线z=晋 和x-行为函数y=x)的图象的两条相邻对称轴，则/（一） () A.-3 2 c.2 D.3 二、填空题 11.(2025·上海卷，5)函数y=cosx在[-2，]上的值域为 12.(2024·全国甲卷（文），13)函数f(x)一sinx一√3cosx在[0，π]上的最大值是 13.(2024·北京卷，12)在平面直角坐标系xOy中，角a与角3均以Ox为始边，它们的终边关于 原点对称，若a∈[吾，]，则cosB的最大值为 14.(2023·新课标I卷，15)已知函数f(x)=cosx-1(w>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，则w 的取值范围是 15.(2023·新课标Ⅱ卷，16)已知函数f(x)=sin(r十p),如图，A,B是直线y =号与曲线y=f)的两个交点，若AB到=晋，则f(x)= 16.(2023·上海卷，11)公园欲修建一段斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜 坡与水平面的夹角为0，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每 走一米消耗的体能为(1.025一cos),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少， 则0= 17.(2022·全国乙卷，15)记函数f(x)=cos(wx十p)(w>0,0<9<π)的最小正周期为T.若 f()=x=晋为)的零点，则w的最小值为 三、解答题 18.(202·全国二卷，15)已知函数f代x)）=c0s(2x+p(0≤<x),f0)= (1)求9 (2)设函数g(x)=(x)+fx一君)，求g(x)的值域和单调区间。 30 [真题题组·实战集训2] 一、选择题 1.(2023·上海卷，15)设f(x)=sinx,对于a>0,设f(x)在[a,2a]的最小值为S。,f(x)在[2a, 3a]的最小值为T。,则下列说法中不可能的是 ( A.S.>0,T.>0 B.S.<0,T.<0 C.S.>0,T.<0 D.S.<0,T.>0 2.(2023·天津卷，5)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4，则 f(x)的解析式可能为 ( A.f)=sin B.f(z)=cos C.f(a)-sin D.f(z)=cos 3.(2022·新高考1卷，6)记函数f)=snor十)+6(w>0)的最小正周期为T,若<T< ,且y=x)的图象关于点（经，2中心对称，则） ( A.1 B. c D.3 4.(2022·浙江卷.6)为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin3x+图象上所有 的点 ( A向左平移等个单位长度 B向右平移零个单位长度 C向左平移器个单位长度 D.向右平移需个单位长度 5.(2022·北京卷，5)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 () A.f(x)在- 6 上单调递诚 B.f(x)在 一牙)上单调递增 Cf(x)在0，上单调递减 D.f(x)在 ,上单调递增 412 6.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷，9已知函数)=im(2x+p(0<<m的图象关于点(0)中 心对称，则 A.fx)在区间0，) 单调递诚 Bf)在区间(-是 有两个极值点 C.直线x-7石是曲线y=f(x)的对称轴 D.直线y= 一x是曲线y=f(x)的切线 7.(2022·全国甲卷，8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收 录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C 是AB的中点，D在AB上，CD⊥AB,“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计 算公式：=AB+R当0A=2,∠A0B=60时 () A.11-33 B11-43 C.9-33 D.9-43 2 8.(2022·全国甲卷，11)已知f)=-sin+号 在区间(0，π)上恰有三个极值点，两个零点，则 w的取值范围是 ( A[)】 B5,19 c D. 1319 3'6 66 31 9.(2021·北京卷，7)已知函数f(x)=cosx一cos2x,试判断函数f(x)的奇偶性及最大值 A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C奇函数，最大值为号 D.偶函数，最大值为号 10.(2021·全国乙卷，7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不 变，再把所得曲线向右平移5个单位长度，得到函数y=simx一的图象，则f(x)=（ A.sim(臣-78 Bsim爱+8 C.sin( D.sin+ 1.（2021·新高考1卷，4)下列区间中，函数f(x)=7sin(x一晋)单调递增的区间是 A.(0, B(x c.. D.(，2m 二、填空题 12.(2021,北京卷，14)若点P(cos0,sin)与点Qcos0+in0+晋)关于y轴对称，写出 一个符合题意的0 13.(2021·全国甲卷，16)已知函数f(x)=2cos(wx十p)的部分图象如图所 示，则满足条件x)--)f(x)-f)小>0的最小正整数x为 三、解答题 14.(2021·浙江卷，18)（本题满分14分）设函数f(x)=sinx十cosx(x∈R). (I)求函数-+ 的最小正周期； (Ⅲ)求函数y=f(x)fx-牙在[0，]上的最大值， 32 考点二 三角恒等变换 一、选择题 1.(2025·全国二卷，8)已知0<a<π，cos a- A号 a号 c D.72 10 2.(2024·新课标I卷，4)已知cos(a十)=m,tan atan8=2,则cos(a一)= A.-3m B一背 c D.3m 3.(2024·全国甲卷（理），8)已知 cos a cos a-sin a 3,则ae+月 整 A.23+1 B.2√3-1 c号 D.1-3 4.(2023·新课标1卷，8)已知sin(a-)=号，e0 s asin=名，则c0s(2a+2p0= 紧 A c- D.-g 5.(2023·新课标Ⅱ卷，7)已知a为锐角，cosa 1+5,则sin号 4 A3g5 B.-1+5 D.-1+5 8 c35 4 6.(2022·新高考Ⅱ卷，6若sin(a+)十cos(a+D=22co气a+sinA,则 布 A.tan(a-B)=1 B.tan(a+8)=1 C.tan(a-B)=-1 D.tan(a+8)=-1 7.(2021·全国甲卷，9)若a∈0，受 tan 2a= cosa,则tana= 2-sin a A① 15 c D.15 3 8.(2021·新高考I卷，6)若tan0=-2,则sin1+sin20 sin 0+cos 0 如 A-号 R-号 c号 n号 9.(2021·浙江卷，8)已知a,B,Y是互不相同的锐角，则在sin acosB,sin Bcosy,sin Ycos a三个值 阳 中，大于的个数的最大值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 10.(2025·北京卷，13)已知a,3∈[0,2π]，且sin(a+)=sin(a-),cos(a十)≠cos(a-),写 出满足条件的一组（α，）= 11.(2024·新课标Ⅱ卷，l3)已知a为第一象限角，B为第三象限角，tana十tanB=4,tan atan B= 的 √2+1，则sin(a十)= 12.(2023·上海卷，4)已知tana=3,则tan2a= 13.(2023·全国乙卷（文），14)若0e（0,受引tan0=2则sin0-cos0= 14.(2022·北京卷，13)若函数f(x)=Asin-3cosx的-个零点为5，则A= 15.(202·浙江卷，13)若3sina-sinP10,a十B-2则sna ,c0s23= 33 考点三 解三角形 [直题题组·实战集训1] 一、选择题 1.(2025·全国二卷，5)在△ABC中，BC=2,AC=1+√3，AB=√6，则A= A.45 B.60 C.120° D.135 2.(多选)(2025·全国-卷，11)已知△ABC的面积为子，若cos2A十c0s2B十2sinC=2, cos Acos Bsin C--,则 () A.sin C=sin'A+sin2B B.AB=√2 C.sin A+-sin D.AC+BC=3 3.(2024·全国甲卷（理），1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知B=60,B=号ac,则 sin A+sin C= () A.239 13 B39 13 c D.313 13 4.(2023·全国乙卷（文），4)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A= c,且C=吾，则B= ( A.1 C.o D. 5.(2021·全国乙卷，9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数 学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC 上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表 it-c 高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛 的高AB= ( 八囊音斋要+表病 表高×表距 B.表日距的 一表高 表高×表距 C.表目距的差 表距 表高×表距 D.表目距的差 表距 6.(2021·全国甲卷，8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最 新高程为8848.86（单位：m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图 是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且A,B,C在同一水平面 上的投影A',B,C满足∠A'CB'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的 仰角为15°，BB与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两 点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC约为(3≈1.732) () A.346 B.373 C.446 D.473 7.(2021·上海卷，15)已知f(x)=3si+2,对任意的1∈[0，引都存在∈[0，】]使得 f(x1)一2f(x2十0)十2成立，则下列选项中0可能的值为 A晋 B号 c. 34 二、填空题 8.(2025·上海卷，11)小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完 全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆 子，与斜面的接触点分别为A、B,它们在阳光的照射下呈现出影子， 杆 阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米： 另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米，则斜面的底角0 .(结果用角度制表示，精确到0.01°.) 9.(2024·上海卷，11)海上有灯塔O,A,B,货船T,如图，已知A在O正东方向，B在 O的正北方向，O到A、B距离相等，∠BTO=16.5°，∠ATO=37°，则∠BOT= .(精确到0.1) 10.(2023·上海卷，8)△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a=4,b=5,c=6,则sin 0 A= 11.(2023·全国甲卷（理），16)已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2,BC=√6，∠BAC的角平分线交 BC于点D,则AD= 12.(2022·全国甲卷，16)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当 瓷取得最小值时，BD= 三、解答题 13.(2025·天津卷，16)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A,c 2b=1,a=7. (I)求A的值； (Ⅱ)求c的值； (Ⅲ)求sin(A+2B)的值. 35 14.(2025·北京卷，16)在△ABC中，cosA=-3,asin C=-42 (1)求c: (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边 上的高 条件①：a=6: 条件②：bsin C=102 3 条件③：△ABC的面积为102. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答得分 15.(2024·新课标I卷，15)(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinC= 2cos B,a2+b2-c2=2ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3十√3，求c. 36 [真题题组·实战集训2] 一、填空题 1.(2022·浙江卷，11)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这 种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是 S一调a一十号门，其中a,6e是三角形的三边，S是三角形的面积设某三角形的 三边a=√2，b=,√5，c-2,则该三角形的面积S= 2.(2021·全国乙卷，15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3，B=60°，a2+c 整 =3ac,则b= 3.(2021·浙江卷，14)在△ABC中，∠B=60°，AB=2,M是BC的中点，AM =2√3，则AC= ；cos∠MAC= 紧 二、解答题 4.(2024·天津卷，16)（本小题满分14分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知 c0sB=66=5,2-子 9 (1)求a的值： (2)求sinA的值； (3)求cos(B-2A)的值. 布 如 御 5.(2024·新课标Ⅱ卷，15)(13分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√3 cos A=2. (1)求A: (2)若a=2,√2 bsin C=csin2B,求△ABC的周长. 37 6.(2024·北京卷，16)(13分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为纯角，a=7, s油2B=9osB (1)求∠A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC 的面积 条件D:6=7:条件②：cosB=1：是条件③：csin A=号3. 注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分. 7.(2023·新课标I卷，17)(10分) 已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB. (1)求sinA; (2)设AB=5,求AB边上的高. 38由于e>ex→e+x>ex+x=(e+1)x, 又函数y=xe京在(0，l)上单调递减， 'rei>e-rei-1<-e-1.:.e +x-xrei-1<e +1-e-1=0, .0<x<1时，F(x)>0→F(x)在(0,1)上单调递增， 而F(1)=f(1)-f(1)=0, Fx)<0→fx<f()得运， 故若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1. 4.解：(1)a=1→f(x)=xe-e=(x-1)e→f(x)=xe 当x∈（一oo,0)时，f(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(0，十∞)时，(x)>0,f(x)单调造增. (2)令g(x)=f(x)+1=xe-e+1(x≥0) →g(x)≤g(0)=0对Hx≥0恒成立 又g'(x)=e+a.xe“-e→g'(0)=0 令h(x)=g'(x)→h'(x)=ae"十a(e+axer)-e =a(2e“十axe")-e 则h'(0)=2a-1 ①若(0)=2a-1>0,即a>之时，由 lim (()lim x+0 x一0 x 所以3>0，使得当x∈(0，)时，有8四>0→ g(x)>0→g(x)单调递增→g(x)>g(0)=0,矛盾 ②若'(0)=2a-1≤0，即a≤2时， g'(x)=e十axe-e=e+ni+)-e'≤e+ia+7n- e≤e+一e=0→g(x)在[0，十o∞)，上单调递减，g (x)≤g(0)=0,符合题意. 辩上所递，头数a的取值范围是a< (③)求学易得1-上>2n(>1D ◆+日+ 1>21n√1+ ( 左>()() n =ln(n+1) 1十…十 √+1”√22+2 1一>ln(m+1),证毕。 √n十n 专题四三角函数与解三角形 考点一 实战集训1 1.B依题知a-音=经即a=经+音，共中∈五，又a >0,所以当k=0时，a取得最小值苓，放选B. 2.A袋题可知受十g=2x十受，罗十g=,共中n ∈Z. 两式相减，得w=4(n-2k)-2=41-2,1∈Z. 又因为号-吾≥是-（)=受所以<，故“ =2. 从而9=2x十号，结合一<9<π得9=子。 显格x)=m(（2x+晋)在[0，受]上的最小值为 f(受)如誓=-县 3.C由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最 小正周期与零点即可求解 函数f)=sin(aun)+cos(am)=2sin(ar+于)(w>0), 设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x十π)可得kT= π，(k∈N”), 所以T=2=套(k∈N),即u=2k,∈N) 又函数f(x)在[0，]上存在家点，且当x∈ []时r+[+] 所以+>，即>3： 综上，ω的最小值为4，故选：C 4.C由题意可得：y=2sin(3x-若）可知景小正周期T= 行所以y-2in(3x-看+）-2ms3,画出y=smx 和y=2cos3x在[0,2π]上的函数图象，观察即可得到6 个交点 y=2sin3x-8） y=sinx 0 2π 2πx 2 故选择C 5.BCA错，代x=0便知：B显然对，两者值城相同：C显 然对，两者最小正周期都为π；D错，前者对称轴为x= 受十，后者是x=暂十机 6,B由题意可知：x1为f(x)的最小值，x2为f(x)的最大 值点， 则国一。=号-受中T=x 且>0，所以w=等=2 7,A对于A,sinx+cosx= (受+号小Em(+)则T-2,满 足条件，故A正确； 1 对于B,sinx0sx=2sin2红，则T=经=，不满足条 1 2 件，故B错误： 对于C,sinx十cos2x=1,为常值函数，则不存在最小正 周期，不满足条件，故C错误； 对于D,sin2x-cos2x=一c0s2x,则T=2牙=不，不满足 2 条件，故D错误，故答案选A &.Afx)=sin3(ax+晋）=sin3ar+)=-sin3ar， 由T-貂-x得。=导 2 即f(x)=-血2，当x∈[-是·]时，2x [] 画出f(x)=-sin2x图象， 如图， 由图可知，f(x)=-sin2z在 [一是晋]上递减， 3 所以，当x=若时，f(x) 2 9.C国为y=co(2:+吾)向左平移若个单位所得画数 为y=o[(+)+] os(2x+受）=-m2x,所以/)=-s如2x, 而y=之x-合显然过(0，-受)与1.0)两点， 作出)当y一受x号的部分大致图象知下， f()4 考虑2x=一 2 2 -处f)与y-号的大小关系 当x=-要时(）一m(）-1. 8 当=时(）--1y=×要- 当x-要时1()=-血要-1y-名×项-是 所以曲图可知f)当y=是红-之的交点个数为3.故 1 选C. 1 10.D因为f(x)=m(ar+g)在区间（答，号）单调 递增， 所以号--音=且>0，剥T=一-2， 当x=时，f(x)取得最小值，则2·+9=2m 吾，k∈乙，则g=2x-要，k∈乙， 不坊取=0，则fx)=sin(2红-若） 尉()=m(-）=号故选D 11.解析：本题考查了余弦函数的值域。 :y=cos工r[受，要]由余孩函数的图象可知z =-时，ym=0, 当x=0时，y=1.故y=c0sx在[-交，]上的值 域为[0,1]. 答案：[0,1] 12.解析：由题意知f代x)=inx-5cosx=2sin(x一子） 当x[0时x-晋∈[-登] m(-晋)【-号.1小于是fe[-5,21,故 f(x)在[0，x]上的最大值为2. 答案：2 13.解折：ae[晋，号]acos音≤cosa≤cos吾， 即<cos<号，又-a=x+2k,kZ。 cosB=cos(a十π+2kr)=cos(a十r)=-cosa, 1一9<o长-子oB的最大值为-安 答案：-日 14.解析：令f(x)=cosx-1=0,得cos wx=1,又x∈[0， 2π]，则ux∈[0,2wm],所以4r≤2awr<6元，即2≤u<3. 故w的取值范围是[2,3). 答案：[2,3) 15,解析：设A(,）B(受）小则a十9=吾 十g=，又-=，所以=4，由曲线y=f 过（号0）所以4×誓十-2，即9=一，所以 f)=m(红-号f)=si血(4x-) 答案：-9 16.解析：所消耗的总体能y= 4(1.025-cos0) sin 0 =4.1-4cos0 sin 0 y-4sim29-(4.1-4cos》co80_4-4.1cos0-0→ sin sin c0s0=40→0=arc0s7 .40 41 答案：arccos 40 17解折：D=0)=osg-9且0<K 故p-名， Z)→w=3十9k(k∈Z), 又w>0,故w的最小值为3. 答案：3 18.解：(1)因为0)=60sg=合且0≤<， 所以甲一子 (2)由1)得fx)=cos(2x+号） 所以g)=cos(2x+晋)十 o[(-)+] =cos(2x+晋）十cos2a =号os2z-9n2z =5cos2z+晋） 因为x∈R,所以g(x)的值域为[一√3W3], 令-x+2kx≤2x+吾<2kx,k∈Z 得-是x+kx≤r≤-是+，e乙， 令2kn≤2x+名≤r+2kx,k∈Z, 得一是+x<x≤品r+,k∈乙， 5 所以g(x)单调增区间为 【一品+，一造+]e乙 单调递减区间为[一十，是x十kx]小k∈乙 5 实战集训2 1.Da=1时，A可能；a=1.5时，C可能；a=2时，B可 能；D选项，若S。<0,则2a>T,若T.>0,则[2a,3a]的 区间长度a<π，同时sin2a>0且sin3a>0,.2a∈(0， π)且3a∈(0，π)，与前面的2a>r矛盾，故D不可能. 2.B由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中T=2红=4，B选项中T-2红=4， 2 C选项中T=2红=8，D选项中T=2红=8，排除选 π 4 项CD. 对于A选项，当x=2时，画数值sin(乞×2）=0，故(2， 0)是函数的一个对称中心，排除选项A, 对于B选项，当x=2时，画数值co(受×2）=-1， 故x=2是函数的一条对称轴.故选B. 3.A@=经∈(2,3]，y=f(z)的画数图象关于点 (受，2）中心对称，则有6=2，且f(）=2,所以 si（+）+2=2，则受+=2，k∈z 解得w8。,由oE(2.3]得k=2w=多， 6 故f(受)=m(受·受+资)十2=-1+2=1 4.D函数图象平移满足左加右减，y=2sin(3z+号） 2sn[(+希)门，因此需要将函数图象向右平移希个 单位长度，可以得到y=2si3x的图象.故本题选D. 5.Cf(x)=cos2x-sin'x=cos2x,选项A中：2x∈(-π， 受)，此时八)单调递增，选项B中：2xE(-受，吾)， 此时f)先递增后递减，选项C中：2z∈(0，受)，此时 f)单调适减，选项D中：2z∈（受，召），此时f)先递 减后递增.所以选C 6.AD由题意得：/（行）=sin(悟+)=0 所以号+p=x即：=一号+,k∈Z 又0<<，所以=2时，9=3 .2π 故f)=m(2x+等) 选项A:xe(0,爱)时2x+号∈（停，） 由y=sinu图象知y=f(x)是单调递减的； 选项B:(最晋)时2+号∈（受）由y sinu图象知y-)只有1个极值点，由2z+行-受 可解得极值点： 选项Cx=后时2z+-3x,y=）=0,直线x=晋 3 不是对称轴： 选项D:由y=20os(2x+）-1得： 解得2x+受-受+2m浅2x+5-誓+2x,k∈Z 33 从而得：x=m或x=子十，k∈乙 所以属数)=f在点气0，号)处的切线斜率为=y儿 =-1 =2c053 一 切线方程为y一=-（红一0）即y=受 53 7.B由条件得，△OAB为等边三角形，有OC=√5，CD= 2-5,所以=2+2=2-=2+7-45_11-45 2 2 2 8.C设wx十音=，则1∈（行，十吾）有两个零点可 得2x<m十号<3m,即号<o<号，又国为有三个机位 点，(sin)=cost,所以受<w十晋<受，所以号<o≤ 吕综上得号<o<号即造选C 9.D函数f(x)定义域为R,且f(一x)=f(x),偶函数； f(z)=cos x-(2cos'z-1)=-2cos'x+cos x+1 =-2(osx)+骨故最大值为选D 向左平移等个单位 10.B y-sin() y sin(x+泛】 被鱼格支为原来的2修y=s如（告十） 1山.A当x∈（-+2，受+2xk∈Z时，画数 单调递增，即x（仁号+2x,+2x）k∈Z,故答 案选A. 12解析：点P、Q郑在单位国上，0可取受-号 (满足0=登+x,k∈Z） 答案：段 13解析：由=竖-吾=要，得T=x,=2,将 (50）代入y-2s(2x+,得co(答+g）=0, g=-吾，所以f)=2o(2x-吾）月 ()-f(-)()-f(得)>。等价于 (f(x)-1)f(x)>0,等价于f(x)<0或fx)>1,由 f<0得x(得+m,管+a)ke乙。 此时x的最小正整数为2， 由>1得z(是+，至+kmkE乙，此时x的 最小正整数为3，故答案为2 y 3 13 12 答案：2 1 14.解：①r)=sinx+cosx=2血(（x+4)片 y-[+登)门-【m(（+)门- 2r(+）=1-o(2x+受)-1-血2红，所以T= 高受=x Dyff(-)-Em(e+）小m =2a(+)如a=2a2(停如+9 2sin+2sin xcosx 2 血(2x)+9, ◆2红子=[，登]所以【景] 所以血【-号利小故1+] 所以画教y=x)(-)在[0，受]上的最大值 为1+号 考点二 1D由0<a<x可知0<号<受，因为os号-，所以 号-2g5片以=2in号号=2×5×25 5 5 5 4 os=os号m号-（）-(25)=一号所 以sn(a-子）=如ms-o sin 2.A由tan atan B=2,得sin asin-2 cos acos B,cos(a十) cos acos月-sin asin B=一cos acos=m,故cos acos=一m, 所以cos(a-)=cos acos叶sin asin月=3 cos acos B--3m. 故选择：A 3B国为o0n。5,所以m。=1-。 m+）"融2-1 4.B周为sm(a-0=sin os月-ec0 sesin=号， cosi-名，则sm6ocos月-合 故ina+m=血acos计=是+日-号 即cos(2a+20=1-2sim(e+m=1-2×(号)广=号 故选B. 5.D由半角公式可知sm号=1二0，解得s如号 2 5-1.故选D. 4 6.C由已知得：sin acos+cos asin9+cos acos9-sin asin B =2(cos a-sin a)sin B, 即：sin acos B-cos asinB-+cos acos B+sin asin B=0,即： sin(a-)+cos(a-)=0,所以tan(a-B)=-l,故选C Ama-热会-把器-2品。化解得na 子从而得m8一，故选A 1 8.C sin (1+sin2 0) sin 0++cos 0 sin (sin 0+-2sin coscssin sin cos sin 0+cos 0 e叶do0aA-#ae-2 代入得器骨-帚号C三 9.C0<sin acossinos月，当且仅当sina=cos月 2 时取“=”， 同理sin Bcos y,sin Ycos a有类似性质， 三式相加得0<sin acos叶-sin o十sn7osa≤号 所以，不可能三个式子都大于之，另一方面，取a=30, 2=60y=45,则sin cos-9×9-61 ,sin Ycos a -号×9->日 所以，可以有两个式子大于宁，故大于号的个数最大值 是2. 故选择C 10.解析：由sin(a十)=sin(a一)，即 sin acos B+cos asin B=sin acos B-cos asin B, 得cos asin=0,故cosa=0或sinB=0: 同理，由cos(a十)≠cos(a-), 可得sin asin B≠0，故sina≠0且sinB≠0 则必有cosa=0且sin≠0 故取。=受，=吾可满足题设委求， 答案：（受，吾）答案不唯一) 1l.解析：sin(a十B)=sin acos B+cos asin B =cos acos B(tan a++tan B) 一4 =4cos acos B= √1+tana√/1十tanB -4 4 (tan a+tan B)2+(tan atan B-1)2 √+ 2v2 3 答案：-22 3 15 。g- 2tan a 6 12.解析：tan2a= 省案： 13.解析：因为0e(0,受）则sm0>0,c0s0>0, 又因为tan0= sin 1 os0z,则cos0=2sin0, cos'0-+sin20=4sin0+sin20=5sin0=1, 解得sin0=5或sin9=一5（舍去）， 5 5 所以sin9-cos0=sin0-2sin0=-sin0=-5 答案：-5 14解折：（骨）Asm晋-5cs号-号A-9-0, 解得A=1.f)=snx-5cosx=2sin(-吾） 故f(径)-2sm(臣-5)=2sim(←)--E, 答案：1一√2 15.解析：由题3sina-sin=而，a十B=受， 所以3sina-cosa=√/10，又：sin2a十cos2a=1, 解得i血a=3所以0s2g=c0s(-2a) 10 -c0s2a=2sima-1=÷ 答案：3⑩4 10 考点三 实战集训1 1.A c0sA=AB+AC-BC=6+4+23-4= 2AB·AC 2√6(1+√3) 调-竖cA<w,A 2.ABCh 2=cos 2A+cos 2B+2sin C=1-2sinA+1- 2sin2B++2sin C, 可得sin2A十sinB=sinC,故选项A正确. 由c0sAc0 Bsin C=}可知A,B皆为锐角： 若A十BK受，则sinA十sin2B<sin Acos B-十sin Bcos A =sinC,不合题意， 若A+BD受，则smA十snB>in Acos B-十sin Bcos A =sinC,也不合题意， 所以A+B=受，C=登 由cos Acos B=子可知s血AsnB=子由面软可知 ab=2' 所以2 sin Asin B-2,故AB=巨，选项B正确. ab 55 血A+血B=什2A面万=誓选项C正克 AC+BC=AB2=2,选项D错误.故本题正确选项 为ABC. 3.C因为B=号6=是ac,所以simB=号sin Asin,C sin Asin C=音×是-日由余弦定理可得：8=2+d c,即a+d2=ac,sinA十sinC -ac=9 =是inAin C=提所以（血A+nc=A+ smC+2mAnC-是+号-子mA+如C-9 2 4.C由题意结合正弦定理可得sin Acos B-sin Bcos A sin C, sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)=sin Acos B+ sin Bcos A, 整理可得sin Bcos A=0,由于B∈(0，π)， 故sinB>0, 据此可得c0sA=0,A=受， 则B--A-C-一受-号-语故选C 5A腊-器品-器器-品中B EH AB+品十GC解释AE-器器AH-AE+EH,故 CG AB=DE,AH_DE·(AE+ED-_DE·EG EH EH CG-E+DE. 6.B过C作BB'的垂线交BB'于 A 点M,过B作AA'的垂线交AA' 于点N,设BC'=CM=m,A'B =BN=n,在三角形△A'BC 中，m”7行=sn”4行，在三角形 M m 100 △CBM中，sin7行=sn5,联 立求得n= 200≈273，得A,C两点到水平面A'B'C'的 √5-1 高度差AA'-CC约为273十100=373，故选B. 7.B设f(x1)范图是A,2f(x1十)十2范围是B,由题意 ACB, f(x1)∈[2,5]，且2f+)+2=6sin(x+)+6,当0= 时+c[停0] 6sin(a,+0+6∈[6 sin+6,6sin怎+6] 6sin8+61.14:6sin暂+69.53 由此可知当0=，对任意的x∈[0，受]都存在∈ [0,],使得fx)=2fx+0+2成立. 1 1 8.解析：知因，在A处，anz-0.4=2.5,在B处满足an ∠CED=2.5,(其中ED∥水平面，CE是射过B处杆子 最高点的光线，光线交斜面于E),设BD=y,则ED =1+y 2.5 0.45 E 0.4 由勾度定理y+(2生)=0.45，解得0.098， 于是0=arcsin0.098≈12,58. 0.45 答案：12.58 9.解析：如图，不妨设OA=OB=a,BT=b, AT=c,则AB=√2a B 所以在△ABT中，（√2a)2=b+c2-2bc c0s53.5°① 在△OBT中，sni6.5 0 6 sin∠BOT ② 在△0AT中，sin37sin(90-∠B0T a ③ 联立①②③得∠BOT≈7.8°. 答案：7.8 10.解析0osA=公+2d=25+36-16=3 2bc 2×5×6 咖A--A- 答案 11.解析：如图所示：记AB=c,AC =b,BC=a, 22+b2-2X2×b×c0s60°=6， 因为b>0,解得：b=1+√3， 由SA=S△ABD十S△D可得， 音×2X6Xsm60-号×2 XADXsin30+ XADX6Xsin 30', 解得：AD=品=251+③=2 3+√5 答案：2 12.解析：令BD=t,以D为坐标原点，DC为x轴建立直角 坐标系，则C(2t,0),A(1w3),B(-t,0). s-+-41 +1+,3二1一23. 当且仅当t十1=√3，即BD=3-1时取等号. 答案w3-1 56 13.解：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得sin Asin B= √5 sin Bcos A, sin A=/3cos A,tan A=/3,A= (2②)由一26=1得6号，由余孩定理。=6+2 2cosA得7=+(2)）-2c(号）os晋 即32+1=28，解之得c=3,b=1. (3)由余孩定理得cosB=+-B-3+3-1 2ac 2√7×3 -识B-(-aA+= sin Acos 2B+cos Asin 2B=sin A [2cos2 B-1]+ 2 o Acs Bsin B-号×(2(”-+2×合× 21x5/743 14 14 7 14.解：1)因为cosA-一号，A∈(0，x)所以8inA- V1-cosA=22】 31 由正孩定理有asin C=csin A=2yc=42,解得c 3 =6: (2)如图所示，若△ABC存在，设其BC边上的高 为AD, D B 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A,因为c0sA=一3 <0,这表明此时三角形ABC有两个纯角，而这是不可 能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也 不存在； 若选②，sin C=102,由正孩定理有bsin C=csin B 3 6sinB=10巨，解得sinB=5y2, 3 9 此时msB√厂哥=AD=mB=6x 9 =102 3 而cos∠DAB=sinB,sin∠DAB=cosB,cosA=-子， sin A-2/ 31 所以cos∠CAD=cos(∠CAB-∠BAD),sin∠CAD= √1一c0s∠CAD可以唯一确定， 所以此时CA,CD也可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高AD -102 31 1 若选③，△ABC的面积是10E,则S△Ac=之besin A =6x6×22=10E, 3 解得b=5,由余弦定理可得a=√B+c2-2 xccos A= √25+36-256(-)=9可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得cosB,cosC也可以唯一确定， 即B,C可以唯一确定， 这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满 是：S=74·AD-号AD-10E,中AD-20g2 9 15.解：（①）由余孩定理可得：0sC=。+6-C=巨」 2ab 2 因为C∈(0，R),所以C=是，所以oB=snC=号， 2 即cosB=子 因为B∈(0，，所以B=子 (2)由1可得A=x一B-C=是，设△ABC外接围的 半径为R, a b 由正孩定理可得：sin A sin B sin C=2R,所以6= √3R,c=√2R,sinA=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C 4 所以5ac一-sin A=合R·iR,5中豆= 3十√5，解得R=2, 所以c=2√2. 实战集训2 1.解析：三角形的三边a=√2，b=√3，c=2代入公式得 s-(] 答案：2图 4 2.解析：由Sac=之acsinB,得月=acsin60, 即v5=ac,得ac=4,所以。2+e=3ac=12, 剩由余孩定理，得8=d+2-2acos60=12-2X4X号 =8,所以b=2√2. 答案：22 3.解析：(1)AM=AB十BM-2BM·BA·cosB,即12 =4+BM-2BM,2:号 所以BM-2BM-8=0→BM=4,所以BC=8 所以AC=AB+BC2-2AB·BC·cOsB=4+64 228:7=68-16=52, 故AC=2√13. 7 (2)由余孩定理得cos∠MAC=AC+AM-MC- 2AM·AC 52+12-16 48239 2×2√13×2138√3913 答案：213名3四 13 4.解析：(1)设a=24,c=3t,t>0,则根据余弦定理得b= a2+c2-2ac cos B, 即25=4+9F-2×2X3×器解得1=2（负值合去）： 则a=4,c=6. (2)因为B为三角形内角，所以sinB=√1一cosB= (品-语 根据正纹定理得品石品B中六A b 5 16 解得如A=要 (3)因为cosB= 最>0，且B∈0，，所以B∈(0，受） 由(2)知sinB-57, 16 因为，A长B,所以sA气（图=是 则sin2A=2 sin Acos5A=2×7×3=3,7 8,C0s2A= 2oA-1=2x()广-1=g, cos(B-2A)=Beos2A+sin Bsin2A=号×g十 57×37_52 16 8 641 5解，2（合nA+号osA-2 sim(A+）=1, :A为三角形ABC的内角， A+=受A=吾 (2)√2 bsin C=csin2B, .'.2sin Bsin C=sin Csin 2B=2sin Csin Bcos B, 2c0s B,'cos B 2, ∴B=,C-登 b sin A-sin B-sin C' 2=6 296+2心6=22，c=6+2 4 .△ABC的周长为2+√6+32. 15 6.解.1由题意得2如BaB=号msB,因为A为能角， 2 a 则cosB≠0，则2sinB=号6，则sinB=V3mA 7 sinA,解得sinA= 7 2 因为A为钝角，则A= 31 (②选择①6-7，又a-7,则如B-得-得×7-9，因 为A=行，则B为能角，则B=子， 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 选择②cosB= 是，因为B为三角形内角，则血B- 1-() =35 14 到代入20如B-6得2×-，部6-3 血C=n(A+B)=sn(+B)=sm7cosB+cos等 sin B -号×是+()×30-， 则sau=nC=x7X3x5-15,5 14 4 选择@血A-号，则有cX号-吾5释(=5， -53 14 因为C为三角彩内角，用osC气-(-贵 则sinB=sin(A+C)=sn(管+C）=sin子cosC+ oc-×贵+(）×-， 则5r=号amB=号×7X5×39-15日 1 41 7.解：(1)因为A十B=3C,所以A+B=3(π一A一B),所以 A+B=经，所以C=子， 另外，由题意得：2sin(A-C)=sin(A十C), Ep2sin Acos C-2cos Asin C =sin Acos C+cos Asin C, 所以sinA=3cosA,变形得sin°A=9(1-sinA). 故sinA=3o 101 (2)由sinA=3cosA, 得osA=合sinA=】 10 所以smB=sm(A+C)=3x号+四x号- 10 2 10 2 25,由一品解得AC=2而。 所以Sax-号×5X2V0x30-15, 10 设AB边上的高为h,则号AB·h=15,解得h=6.故AB 边上的高为6. 实战集训3 1.解：1周为Sc-2S6e-2X号×号×1Xsin60°- 。-5解样a-4 在△ADC中由余弦定理得b2=1+22一2×1X2× c0s号=3， 在△ABD中，d=12+2-2X1X2Xc0s2=7, 3 在△ABC中，c0sB=+a-b=7+16-3=5 2ca 27×42√71 sinB=√-cos'B= 2疗，周此anB=mBg cos B 5 (2)在△ABC中，由中线长公式可得(2AD)2十BC 2(AB2+AC),即22+a2=2(6+c2)=16,所以a=12, 又--esinA=5,因而esinA-25,又由余孩 定理得a2=6+2-2 2bccos A,即12=8-2 bccos A,所以 cco8A=-2,故tanA=一3→cosA=-7,所以6c=由 又b+c2+2bc=8+8=16=(b+c)2,b+c2-2bc=8-8 =0=(6-c)2,故可得b=c=2. 2.解：(1)因为a2=b+c2-2 bccos A, 所以+c一a=2 becos A=2c=2,解得bc=1. cos A cos A (2)由正孩定理可得ac0sB-bc0sA_b acos B+bcos A c sin Acos B-sin Bcos A sin B sin(A-B) sin Acos B+sin Bcos A sin C sin(A+B) sin B sin(A-B)-sin B-1. sin(A+B) sin(A+B) 变形可得sin(A一B)一sin(A十B)=sinB, 即-2 cos Asin B=sinB, 1 而0<sinB≤1，所以cosA=-2,又0<A<x, 所以nA-受故△ABC的面教为Sa=xsnA 1 =×1×号- 2-4 3.解析：(1)由余弦定理可得：BC=AB十AC一2AB· ACcos A=4+1-2X2X1×cos120°=7， BC=/7,cos B=AB'+BC-AC =7+4-1 2AB·BC 2×2×W7 兴识s血B--oB厂第-图 57 (2)由三角形面积公式可得 S△D S△ANCD 、之义ABX ADX sin90 =4, z×ACXADXsin30 15 1 ×2×1×sim120° 答案：1)阿 14 幅：由运孩定理可得，品”品B即 b sinB解得sinB=Y3 2 13 (2)由余弦定理可得，a2=+c2-2 bccos A, 即39=4+2-2x2x×(） 解得c=5或c=-7(舍去).所以c=5. w39 5 (3)由正弦定理可得，sAnC,即sin20sinC' 解得sinC=5压，而A=120, 26 所以B,C本为能角，周此c0sC厂夏=3厘， 26 wB品-20厘. sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C =yx33_23×53=-73 13 26 13 26 261 5.解析：(1)已知sin Csint(A-B)=sin Bsin(C-A)可化简 sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin Ccos A- sin Bcos Csin A, 由正弦定理可得accos B一bccos A=bccos A一abcos C,即 accos B=2 bccos A一abcos C,由余孩定理可得 ae+=2+d-a6+C,即得 2ac 2bc 2ab 2a2=6+c2, (2)由1)可知&+2=2a2-50,cosA=}+c-a 2bc 0-票-2k=1,8++2k=6+e=1, 2bc ,.b十c=9,a十b十c=14,.△ABC的周长为14. 实战集训4 1.解折：(I)由于c0sC=号，且C是三角形的内角， 则C-手 由正孩定理知4smA一5s如C,则如A=5。 5 （Ⅱ）由余孩定理，得osC=。+-c 2ab +121-9.211-号 5=3 22a =2a 5 即a°+6a-55=0,解得a=5. 所以△ABC的面教S=号asnC-名×5X11X号 =22. 2.解析：(1)由已知条件得：sin2B+sin Asin2B=cosA十 cos Acos 2B, 所以sin2B=cosA+co3Acos2B-sin Asin2B=cosA +cos(A+2B) 59 =cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B] =-cos(B+C)+cos[x+(B-C)] =-2cos Bcos C, 所以2 sin Bcos B=-2 cos Bcos C, 即(sinB+cosC)cosB=0, 由已知条件：1+c0s2B≠0，则B≠受，可得c0sB≠0. 所以如B=一c0sC=号，B=晋 (2)由(1)知sinB=-cosC>0,则5<C<x,0<B < sinB=sin(C-）=-cosC, sinA=sin(B+C)=m(2c-受）=-cos2C, 由正孩定理+6=sinA十sim2B_co32C+cosC sinC sin'C =1-2sin'C)2+(1-sin2C sinC 2+4sin'C-5sin'C 2 sin'C sinC+4sin'C-5 2 22√c·4sin'C-5=4E-5, 当且收当C-号时等号减立，所以生少的美小准 为42-5. 3.M (I)sin2C-sinC,2sinCcosC=sinC,cosC= 2 又0<0<受…∠0=8 ()abinC6 imC=合，da=45,由余孩定理得2=。十8- 2a6cosC-48+36-2X45×6x9-12 c=25,所以△ABC的周长为6√5+6. 4,解折：(1)：边长为a的正三角形的面积为。， ∴8-8+8-9a-8+2)-9即ae os B-1. 4 由mB-号得osB=2ac=B平。 cos B 4 (2)由正弦定理得 6a ac 'sin B sin A'sin C sin Asinc 3 4=9 4 3 3 故6=号如B=合 省案：号 2号 5.解：(1)由正弦定理 sin Bsin C sin C-2sin Bcos B =sin 2B, 故C=2B(含)，或C+2B=,故B=A=吾 (2)由(1)知，c=√36，故不能选①. 选②，设BC=AC=2x,则AB=2√3x,故周长为(4+ 2√3)x=4+25,解得x=1, 即BC=AC=2,AB=2√3，设BC中点为D,则在△ABD 中，由余弦定理，c0sB= AB+BD-AD 2XABXBD 1+1识AD=号解得AD= 4√3 选③，设BC=AC=2x,则AB=2V3x,故SaMc= 3×(2z)×(2x)×s120=2-35, 4， 解得x=9,中BC=AC=5,AB=3,设BC中点为D, 则在△ABD中， 由余弦定理，cOSB=AB十BDAD 2XABXBD 9+3 2 5,解得AD=四 33 2 2 专题五平面向量 考点一 1.A由题图知真风对应向量为（一2,2），模长为2√2≈ 2.828,等级上属于轻风，选A. 2.D因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2- 4x=0,解得x=2.故选择：D. 3.D(a+b)·(a+b)=a2+(a十)(a·b)+b =2(1十)=0，所以入4=一1.故选D. 4.B图为a=(3,1),b=(2,2), 所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1), 则|a+b|=√5+3=/34，|a-l=√1+I=√2， (a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2, 所以cos(a+b,a-b)=a+b):(a-b= 2 1a+ba-b√/34x√2 厘，故选B. 17 5.B以{AB,AD)为基底向量，可知|AB=|AD=2, AB·AD=0 则C=EB+BC-合AB+A,ED-EA+Ai=- AB+AD, 所以EC.ED-(合AB+AD)·(-2AB+AD) -}A店+A茹=-1+4=3.故选B 6,B如图，因为CB=CA+AB, BD=2DA,所以AD=AC+CD =n-m,AB=3 AD,CB=CA+ 3AD=m十3(n-m)=3n-2m,故选B. 60