专题2 函数概念与基本初等函数-【创新教程】2021-2025五年高考真题数学分类特训试卷

专题二函数概念与基本初等函数 考点一函数的概念、图象和性质 [真题题组·实战集训] 一、选择题 整 1.(2025·天津卷，3)已知函数y=f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为 紧 A.f(x)=1-z B.f(x)=x-1 c)- 2.(2025·全国一卷，5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5- 2x,则月 ( A-号 B.-1 c 布 x2-2ax-a,x<0 3.(2024·新课标I卷，6)已知函数f(x)= 在R上单调递增，则a的取值范 e+ln(x+1),x≥0 围是 () A.(-∞，0] B.-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 4.(2024·新课标I卷，8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x一1)+f(x-2),且当x<3 时，f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 数 A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 御 5.(2024·新课标Ⅱ卷，8)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0.则a2+b2的最小值为 ( A日 B是 c号 D.1 6.(2024·全国甲卷（理），7)函数y=-x2+(e一e)sinx在区间[-2.8,2.8]的图象大致为 4 7.(2024·天津卷，4)下列函数是偶函数的是 A.f(r)=e'-z2 x2+1 B.f(x)=cosx十x x2+1 C./(x)-e'-z x+1 D.f()=sin z+4x 8.(2024·北京卷，10)已知M={(x,y)|y=x十t(x2-x),1≤x≤2,0≤≤1}是平面直角坐标系 中的点集，设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 () A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=√10，S<1 D.d=10,S>1 9.(2023·新课标Ⅱ卷，4)若fx)=(x十a)1n二为偶函数，则a= ( 2.x+1 A.-1 B.0 c D.1 10.(2023·全国乙卷（理），4)已知f(x)=te是偶函数，则a= e“-I A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.(2023·天津卷，4)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为 A.f(x)=5(e'-e) x2+2 B.f(c)=5sinz x+1 C.f(x)=5(e+e) 5cos x x2+2 D.f(x)= x2+1 12.(多选)(2023·新课标I卷，11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)十x2f(y),则 () A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 1B.(2022·全国甲卷.5)函数)y=(3-3)c0sx在区间[一受，]的图象大致为 41 二、填空题 14.(2025·北京卷，15)已知函数f(x)的定义域为R,则下列说法正确的有 ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)十f(2x)=一x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)十f(2x)=一x恒成立； ③使得f(x)十f(一x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个： ④使得f(x)一f(一x)=cosx恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个. 6 15.(2024·上海卷，2)已知函数f)=丘x>0 则f(3)= 1,x≤0 16.(2024·上海卷，4)已知f(x)=x3十a,且f(x)是奇函数，则a= 17.(2023·全国甲卷（理），13)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+ 为偶函数，则a 18.(2022·北京卷，11)函数f(x)=+/1-x的定义域是 -ax+1,x<a, 19.(2022·北京卷，15)设函数f(x)= 若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 (x-2)2,x≥a. :a的最大值为 [育题题组·实战集训2] 一、选择题 1 1.(2022·北京卷，4)已知函数f(,)=1十，则对任意实数x,有 A.f(-x)十f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f-)-f)=} 2.(2022·新高考Ⅱ卷，8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)+f(x-y)=f(x)f(y), f)=1,则5r)= () A.-3 B.-2 C.0 D.1 3.(2022·全国乙卷，12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x) fx一4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4,则登∫(k)= () A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 4.(2021·新高考卷，8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则( Af(-)=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 5.(2021·全国乙卷，4)设函数f)-十则下列函数中为奇函数的是 () A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.fx+1)-1 D.f(x+1)+1 6.(2021·全国甲卷，12)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x十2)为偶函数，当x∈ ,2]时.)=ar+6,若f0)+f3)=6,则f)月 A-号 B-是 c D. 7.(2021·上海卷，13)以下哪个函数既是奇函数，又是减函数 ( A.y=-3x B.y=x C.y=logax D.y=3 > 二、填空题 -x2+2,x≤1 o2·新江参16记知商数a女+安1>1则]》一诺当：ea, b]时，1≤f(x)≤3，则b一a的最大值为 9.(2021·新高考I卷，13)已知函数f(x)=x3(a·22一2r)是偶函数，则a= 10.(2021·浙江卷，12)已知a∈R,函数f(x)= x2-4, x之2若f(f(6)= Ix-3|+a,x≤2. 3,则a= 三、解答题 11.(2024·上海卷，18) 已知函数f(x)=log.x(a>0,a≠1) (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式f(2x一2)<f(x)的解集； (2)若存在x使得f(x十1)，f(ax),f(x十2)依次成等差数列，求实数a的取值范围. 的 8 考点二指数函数、对数函数和幂函数 一、选择题 1.(2025·北京卷，4)为得到函数y=92的图象，只需把函数y=32的图象上的所有点( A.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C.纵坐标变成原来的号倍，横坐标不变 D.纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 整 2.(2025·上海卷，14)设a>0,s∈R,下列各项中，能推出a>a的一项是 () A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0 C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s<0 3.(2025·全国一卷，8)已知2+1og2x=3+1og3y=5十1og2,则x,y,x的大小关系不可能是 紧 A.>y>z B.>>y C.y>a>z D.y>> 4(202·北京卷，7)生物丰宿度指数d-是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示 河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前 后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N,变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到 3.15,则 ( 布 A.3N2=2N B.2N2=3N C.N=N D.N2=N 5.(2024·北京卷，9)已知(xy),(x2y2)是函数y=2图象上不同的两点，则下列正确的是 () A.1og当业<马十 2 2 a6g”2> 2 製 C.log; D.log, 阳 6.(2024·天津卷，5)若a=4.20.3,b=4.23,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 7.(2023·新课标I卷，4)设函数f(x)=2r-在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( A.(-∞，-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,十∞) 8.(2023·全国甲卷（文），11)已知函数f(x)=e-).记a= 2 =}则 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 9.(2023·天津卷，3)若a=1.01,5,b=1.016,c=0.6.5,则a,b,c的大小关系为 ( A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 10.(2022·浙江卷，7)已知2°=5，logs3=b,则4-6- ) A.25 B.5 9 1.(2021·新高考Ⅱ卷，7)已知a=log2,6=log3,c=2,则下列判断正确的是 A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<<c 12.(2021·全国甲卷，4)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常 用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满 足L=5十1gV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约 为(V10≈1.259) ( A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 二、填空题 1B.(2024,全国甲卷（理），15)已知a>1且1og。0g4- 1 则a= 14.(2023·上海卷，5)已知函数f)=r≤0 ,则f(x)的值域为 2,x>0 15.(2021·新高考Ⅱ卷，14)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0，+∞)时，f(x)>0:③f(x)是奇函数 考点三函数与方程 一、选择题 1.(2025·天津卷，7)函数f(x)=0.3F一√x的零点所在区间是 A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 2.(2024·新课标Ⅱ卷，6)设函数f(x)=a(x十1)一1，g(x)=cosx十2ax.当x∈（一1,1）时，曲 线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a () A.-1 C.1 D.2 二、填空题 3.(2023·天津卷，15)若函数f(x)=ax2一2x一|x2一ax十1|有且仅有两个零点，则a的取值范 围为 4.(2021·北京卷，15)已知函数f(x)=|1gx一kx一2，给出下列四个结论： ①若k=0,则f(x)有两个零点；②3k<0,使得f(x)有一个零点；③3k<0,使得f(x)有三个 零点；④3k>0,使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是 考点四函数的综合应用和函数模型及实际应用 一、选择题 1.(2025·北京卷，9)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间 T=log2N(单位：小时)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从10°个单位增加到 1.024×10°个单位时，训练时间增加20小时：当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到 4.096×10个单位时，训练时间增加（单位：小时） () A.2 B.4 C.20 D.40 10 2.(多选)(2025·全国二卷，10)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2一3) e十2，则 () A.f(0)=0 B.当x<0时，f(x)=-(x2-3)e-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥√3 D.x=一1是f(x)的极大值点 3.(2024·上海卷，16)已知定义在R上的函数f(x),集合M=(x。I对于任意x∈(-∞，x。), f(x)<f(x。)},在使得M=[一1,1]的所有f(x)中，下列说法成立的是 () A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取到最大值 C.存在f(x)在R上单调递增 D.存在f(x)在x=一1处取到极小值 4.(多选)(2023·新课标I卷，10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级L。=20X1g卫，其中常数p。(p。>0)是听觉下限阙值，p是实际声压.下表为不同 声源的声压级： 声源 与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车 10 6090 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为p,p,p,则（) A.p1≥p2 B.p2>10Ps C.p3=100p。 D.p1≤100p2 5.(2022·北京卷，7)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环1g 保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图 3 超临界 描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和gp的关系，其中T表示温 状态 液态 度，单位是K:p表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是 气态 A.当T=220,p=1026时，二氧化碳处于液态 0 200250300350400T B.当T=270,p=128时，二氧化碳处于气态 C.当T=300,p=9987时，二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,p=729时，二氧化碳处于超临界状态 6.(2021·浙江卷，7D已知函数f()=t+子，g(x)=Sinx,则图象为如图的函 数可能是 A.y=f(z)+g(z)-1 4 B.y=f(x)-g(z)-1 C.y=f(x)g(x) D-8 7.(2021·上海卷，16)已知x1y,x2,y2,x3y3同时满足：①x1<y1,x2<y2,x<y3;②x1十为= x2十y2=x十y③x1y十xy=2x2y2,以下哪个选项恒成立 () A.2x2<x+ B.2x>x+ C.i<3 D.i> 11 三、解答题 8.(2025·上海卷，21)已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数a,定义集合M。={x|f(x+ a)=f(x)}. (1)若f(x)=sinx,判断是否是M.中的元素，并说明理由； x+2,x< (2)若f(x)= ,Mn≠心，求a的取值范围； E,x≥0 (3)设y=f(x)是偶函数，当x∈(0,1]时，f(x)=1一x,且对任意a∈(0,2)，均有M二M2.写 出y=f(x),x∈(1,2)的解析式，并证明：对任意实数c,函数y=f(x)一c在[一3,3]上至多有 9个零点. 9.(2023·上海卷，18)函数f(=t+(3at1)x+c(a,c∈R) x十a (1)当a=0时，求f(x)的定义域，并判断是否存在c使得f(x)是奇函数，说明理由 (2)若函数y=(x)的图象过点(1,3)，且函数f(x)与x负半轴有两个不同的交点，求c的值和 a的取值范围. 128.B考查交集和补集的运算，属于简单题.CB= (1,5,6},A∩(CB)=(1,3,6}∩1,5,6}=1,6》. 9.BAUB=(-1,1)U[0,2]=(-1,2]. 10,BA∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3. 1.B由巴知得MnN=x号≤x<4,故选B 12.C当n是偶数时，设n=2k,则s=2n十1=4k十1， 当n是奇数时，设n=2k十1，则s=2m十1=4k十3，k∈Z,则 T二S,则S∩T=T,故选C 13.D易知A∩B={x1≤x<2},故远择D. 考点二 1.A本题考查了命题的充要条件，由x=0→in2x=sin0 =0,由sm2x=0P2红=k,x=经，k∈Z不-定为工=0 .'sin 2x=0x=0 ,'.x=0是sin2x=0的充分不必要条件. 2.A由函数值城的概念结合特例，再根据充分条件、必要 条件的概念即可求解. 若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,一定存在x ∈D,使得|f(x)|=|M+1, 取x=x1,则|f(x。)=|M+1>M,充分性成立； 取f(x)=2,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D, 使得f(x)=1M+1, 取x。=x1,则|f(x)|=|M+1>M,但此时函数f(x) 的值域为(0，十∞)，必要性不成立： 所以“函数f(x)的值城为R”是“对任意M∈R,存在x ED,使得f(x。)>M”的充分不必要条件.故选：A. 3.B由x=0不成立知p假，x=1时成立知g真，所以 选B. 4.C若a⊥b,则x(x+1)+2x=0, 即x2十3x=0,解得x=0或x=-3, ∴.A错，C对；若a∥b,则2(x十1)-x2=0,即x2-2x- 2=0, 解得x=1土√3，故B、D错. 5.C根据立方的性质和指数函数的性质，a'=b3→a=b→ 3°=3°，3°=3°→a=6→a=6,所以二者互为充要条件. 6.B,(a+b)·(a-b)=0,∴.a2-b2=0,.a2=b,则 1a=|b|,不能得到a=b或a=一b,充分性不成立：若a =b或a=一b,则(a十b)·(a一b)=0成立，必要性成 立.所以“(a十b)·(a一b)=0”是“a=一b或a=b”的必 要不充分条件， 7.B甲等价于sina=1-sin3=cosB,等价于sina=士 cosB,所以由甲不能推导出sina十cosB=0,所以甲不是 乙的充分条件；由sina十cosB=0,得sina=一cosB,平 方可得sin2a=cos2B=1-sin2B,即sin2a十sin2B=1,所以 由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件，综上，故选B. 8.B由a2=b,则a=士b,当a=一b≠0时，a2十b=2ab 不成立，充分性不成立： 由a2+b2=2ab,则(a一b)3=0,即a=b,显然a2=b成 立，必要性成立； 所以“a2=b2”是“a2十b=2ab”的必要不充分条件.故 选B. 9.A若sinx=1,则x=乏+2km,∈cos=0: 若osx=0,则x=受+，k∈乙，snx=1或nx=-1,若 sinx=1可推出cosx=0,充分性成立；反之不成立，必 要性不成立，故为充分不必要条件，故选A 1 10.A若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1] 上的最大值为f(1),充分性成立，反之，则f(x)在[0,1] 上的最大值为f(1),但f(x)在[0,1门上不一定是增函 数，知画教fx)=(红-)广在[01门上的最大值为 f(1),它在[0,1]上不单调，故必要性不成立. 11.Ba1=一1,9=2时，{Sn}是递减数列，所以甲不是乙的 充分条件；{Sn}是递增数列，可以推出a+1=S+1一S. >0,可以推出q>0,甲是乙的必要条件.故选B. 12.B若c⊥a且c⊥b,则a·c=b·c=0,但a不一定等于 b,故充分性不成立：若a=b,则a·c=b·c,必要性成 立，故为必要不充分条件，故选择B. 专题二函数概念与基本初等函数 考点一 实战集训1 1.D本题考查了函数的图象，考查函数的性质，奇偶性， 对称性.由图象可知，图象关于y轴对称.A中，f(x)= 1-工=一z-与=一f八-x)(x≠士1)为奇函数，其 图象关于原点对称，故排除A:B中，f(一z)==- =一z千-=-f(x)(z≠士1)为奇画数，故排除B:C 中，-到动昌-f)为%岳数，当江 =2时f2)=己=-号<0，故排除C 2.Af(-4)=f(2)-=f2+是)=5-2(+) ，故选A 1 3.B由题意知f(x)在R上单调递增，令h(x)=-x2 2ax一a,则h(x)的对称轴必大于等于0，否则与题意不 符，即一a≥0→a≤0，排除C、D项；又因为当x=0时， f(x)=1,所以当x=0时，h(x)≤1→-x2-2ax-a≤1， 代入x=0,得一a≤1→a≥一1，所以一1a≤0，故a的 取值范围是[一1,0].故选择B. 4.B由题意可知，当x<3时，f(x)=x,所以可知f(1)= 1,f(2)=2, 又因为Vx∈R,f(x)>f(x一1)十f(x一2)，所以f(3) >f(1)十f(2)=3,f(4)>f(2)+f(3)>5,同理可得， f(5)>8,f(6)>13,f(7)>21,f(8)>34,f(9)>55, f(10)>89,f(15)>987,f(16)>1597,…,故选择B. 5.C当x<-a时x十a<0,当x>-a时x十a>0,当x <1一b时ln(x十b)<0, 当x>1一b时ln(x十b)>0,所以要f(x)恒非负，必须一 a=1-b,即b-a=1, 所以。+6=a-a+≥安 2 当a=一合6=立时取等. 6.Bf()=2+(e*-e)sin f(-x)=-(-x)2+(e--e')sin(-z) =-2+(e-e)sin x=f(r) ·y=f(x)为偶函数，排除A,C: f(受)-+e-e =ci-ef->0, 故排除D,B正确. 2B对A,设)-千，画数定义装为R,但一1) =之己，=号，则-D≠)，故A倍误时 B,f八x)一o王，函数定义城为R,且f(二x) 十二x）=cosx十工=f(x),则f(x)为偶函 （-x)2+1 数，故B正确：对C,设)一行，画数定义装为任证 ≠一1)，不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错 误：对D,设p(x)=nZ十4虹，函数定义城为R,因为 g(一x)=im(二+4-丑=-血x+4红=-p(x, e e 则(x)为奇函数，(x)不是偶函数，故D错误. 8.C1≤x≤2，x2-x∈[0,2]，y y =x十(x2-x)t,0≤≤1可看作关于t 4 的一次函数，则y关于t单调递增或y 是关于t的常数函数. 2 又，y=tx2+(1-t)x,1≤x≤2，函 数y=1x2十(1一t)x图象的对称轴为 直线x-合-<0y关于红的画可士2主 数在[1,2]上单调递增，又，x均为非负数. ,,当t,x均取最小值与t,x均取最大值时M中两，点间 的距离为最大值即d取最大值，即M中点(1,1)和(2,4) 间的距离最大，得d=√10. M表示的图形如图阴影所示，利用大长方形的面积减去 小正方形及两个梯形的面积，可得S<1. 9.B由题意知g()=h是青通数，而f)=(x+ a)g(x)为偶函数，有f(-x)=(-x十a)g(-x)= 一(-x十a)g(x)=(x十a)g(x)=f(x),故x-a=x十a, 则a=0.故选B. 10.D国为)-兰为偶禹数，则f 延(e-6-=0,又因 f(-)=。-1e-1 e"-1 为x不恒为0， 可得e2-e“-1r=0,即e=ea-1r】 则x=(a一1)x,即1=a一1，解得a=2.故选D 11.D由题图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 f(-2)=f(2)<0, 由5sin(-》=-5sin且定义城为R,即选项B中画 ”(-x)2+1x2+1 数为奇函数，排除； 当>0时，5>0，>0，即选项A C中在(0，十o∞)上的函数值为正，排除.故选D 12.ABC对于A,令x=y=0,则f(0)=0×f(0)十0× f(0),则f(0)=0,故A正确； 对于B,令x=y=1,则f1)=1×f1)+1×f1), 则f1)=0,故B正确： 对于C,令x=y=-1,则f(1)=(-1)2Xf(-1)十 (一1)2×f(-1),则f(-1)=0, 再令y=-1,则f-x)=(-1)2f(x)+x2f(-1), 即f(一x)=f(x),故C正确： 对于D,当x=0时，f(0)=y2f(0),无极值.故D错误. 故选ABC. 13.A设fx)=(3-3)cosx,f-x)=(3-3)co8( x)=一f(x),所以f(x)为奇函数，排除BD,令x=1, 则f(1)=(3-31)cos1>0,排除C.故选A. 14.解析：利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证 后可判断②③的正误. 对于①，若存在R上的增函数f(x),满足f(x)十f(2x) =一x, 则f(0)+f(2×0)=-0即f(0)=0, 故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)十 f(2x)>f(x)+f(2x), 故一2x>一x即x<0,矛盾，故①错误； 对于②，取f)=-子x,该画教为R上的减画教且 f(x)+f(2x)=-x, 故该函数符合，故②正确： 1 对于③，取f(z)=2cosx+mx,m∈R, 此时f(x)十f(一x)=cosx,由m∈R可得f(x)有无穷 多个， 故③正确： 对于④，若存在f(x),使得f(x)一f(一x)=cosx, 令x=0,则0=cos0,但cos0=1,矛盾， 故满足f(x)一f(一x)=c0sx的函数不存在，故④ 错误. 答案：②③ 15.解析：f(3)=√3. 答案：√3 16.解析：由题意可知，f(0)=0,则a=0. 答案：0 17.解析：由fx)-(x-1+ax+sin(+受）-x+(a 一2)x十1十cosx为偶函数，所以a=2. 答案：2 18.解析：依题意≠0。解得xE(-∞，0)U(0,1]. {1-x≥0， 答案：(-∞，0)U(0,1] 19.解析：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考 虑以0,2为分界点研究函数f(x)的性质，当a<0时， f(x)=-ax十1，x<a,该段的值城为(-o∞，一a2十1)， 故整个函数没有最小值；当a=0时，f(x)=一a.x+1, x<a,该段值城为{1}，而f(x)=(x-2)2,x≥a的值城为 [0,+∞)，故此时f(x)的值城为[0，+∞)，即存在最小值 为0，故第一个空可填写0：当0<a≤2时，f(x)=一ax +1,x<a,该段的值城为(-a2+1,十o∞)，而f(x)= (x一2)2，x≥a的值战为[0，十∞)，若存在最小值，则需 满足-a2+1≥0，于是可得0<a≤1：当a>2时，f(x) =一ax+1,x<a,该段的值域为(-a2+1,十∞)，而 f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,+∞)，若存 在最小值，则需满足-a2+1≥(a-2)2,此不等式无解. 综上，a的取值范围是[0,1]，故a的最大值为1. 答案：0（答案不唯一）1 实战集训2 2 1.C由x)=1+g,可得f八-x)=1+2=2+,所 以得f(-)+f)=?+=1. 2+1 2 2.A令y=1得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)= f(x)→f(x+1)=f(x)-f(x-1) 故∫(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+ 2)-f(x+1), 消去f(x+2)和f(x+1)得到f(x+3)=一f(x), 故f(x)周期为6； 令x=1,y=0得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)→f(0)=2, f(2)=f1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)= -1-1=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2 故整r)=3[f1)+f(2)+…+f(6]+f19)+ f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =1+(-1)+(-2)+(-1)=-3, 即是f)=-3.故选A 3.D若y=g(x)的图象关于直线x=2对称， 则g(2-x)=g(2十x),因为f(x)十g(2-x)=5,所以 f(-x)十g(2+x)=5,故f(-x)=f(x),f(x)为偶函 数.由g(2)=4,f(0)+g(2)=5,得f(0)=1.由g(x)一 f(x-4)=7,得g(2-x)=f(-x-2)+7,代入f(x)+ g(2-x)=5,得f(x)+f(-x-2)=-2,f(x)关于点 (-1,一1)中心对称，所以f(1)= f(-1)=-1.由f(x)+f(-x-2)=-2,f(-x) =(x),得f(x)十f(x十2)=-2，所以f(x十2)+ f(x+4)=-2,故f(x+4)=f(x),f(x)周期为4.由 f(0)+f(2)=-2,得f(2)=-3, 又f(3)=f(-1)=f(1)=-1,所以 2e)-6f)+6f2+53+5f4-11x (-1)+5×1+6×(-3)=-24. 4.B考查函数的对称性，属于偏难的题目，∫(x十2)是偶 函数，即f(x十2)=f(2一x),可得f(x)的对称轴为x=2, f(2x十1)为奇函数，即f1十2x)=-f(1-2x),可得f(x) 的对称中心为(1,0).此时，x=0和x=2关于(1,0)对 称，∴f(x)是偶函数，此时有f(-1)=f(1)=0.其他选 项不一定成立」 5.B 6.D因为f(x+1)为奇函数，所以f(1)=0,即a+b=0, 所以b=一a, 又f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2)=-4a-b= -3a, f(3)=f(1+2)=f(-1+2)=f(1)=0,由f(0)+f(3) =6,得a=一2， 所以f(是)=f(+受)-f2-受)=() (2+小 =-f(受+)-（侵+2）小-f(含+2） =-(经) =-a-6=-a=，故选D 7.A选项B、C,D均为增函数 &解析：由题可知：/（合）=2-}=子，所以(（合）》 =()器 当x≤1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈[-1,1]： 当x>1时，令f(x)∈[1,3]，解得x∈(1,2+√3]. 所以f(x)∈[1,3]的解集为[-1,2十√3. 所以b-a的最大值为3十3. 3贸3+5 答案： 9.解析：设g(x)=a·2-2,由已知g(x)=a·2-2 为奇函数，则g(x)+g(-x)=(a-1)(2十2)=0，因此a =1. 答案：1 10.解析：f(6)=(W6)2-4=2→f(2)=3,即|2-3|+a= 3→a=2. 答案：2 11.解：(1)由y=f(x)过(4,2)可得1og4=2,则4=a2→a =士2，又a>0,故a=2,因为f(x)=log2x在(0，+o∞) 上是严格增函数，f(2x一2)<f(x)→0<2x一2<x→1 <x<2,所以解集为(1,2). (2)因为f(x十1)、f(ax)、f(x+2)成等差数列， 所以f(x十1)十f(x十2)=2f(ax), 即log(x十1)十log(x十2)=21log.(ax)有解，化简可得 log (z+1)(x+2)=log (ax)2, (x+1>0 得(x+1D(x+2)=(ax)》且r+2>0 a.x>0 →x>0,则a2= a>0,a≠1 x+1)x+2在(0，十0)上有解，又x+1)x+2) x 是+2+1=2（仕+） x -日故在0+0)上， ++2>20+是)-号=1，即d>1a<-1 3 1 或a>1,又a>0,所以a>1. 考点二 1.A由y=9=3,根据平移法则即可解出 因为y=9=3产，所以将函数y=3的图象上所有点的 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数y= 9的图象，故选：A. 2.D本题考查了指数函数的单调性。 由题意知，当a>1时，若d>a,则s>l, 当0<a<1时，若a>a,则s<1,D正确. 3.B设2+log2x=3十logy=5+log6x=t,则x=2-2,y =3-1,z=5-5,取=0，易知x>y>z,排除A;取1=5， 易知y>x>z,排除C;取t=8,易知y>z>x,排除D:故 选B. S-1 4.D由题意可得 2.1=aN' .15- 两式相除得2.1lnN1=3.15lnN2, 所以lnN'=lnN经5，即N1=N经 5.B10g,4十业=10g,24十2≥1og√25·25- 2 2 10g2中=五十五，：五≠4等号取不到， 2 即10g,当十业>西十五 2 2 33 6.B因为y=4.2在R上道增，且一0.3<0<0.3，所以0< 4.203<4.2°<4.201， 所以0<4.20.3<1<4.203，即0<a<1<b, 因为y=log2x在(0，+∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log.:0.2<log.21=0,即c<0, 所以b>a>c. 7.D由题意易得，号≥l,所以a的取值范国是[2，十∞). 故选D. 8.A令g(x)=一(x一1)2，则g(x)图象开口向下，对称轴 为x=1, 因为9-1(-)=64告， 而(W6+3)2-42=9+62-16=6V2-7>0, 所以9-1-(-)-5含>0， ->1- 由二次画数性质知（受）下®(9)： 周为誓-1-(-)-含2-， 而(W6+√2)2-42=8+4√5-16=4√3-8 =4(W3-2)<0, 中-11-号所以s(）》>(号） 蜂上()(}(} 又y=e在R上为增函数，故a<c<b, 即b>c>a.故选A. 9.D由y=1.01'在R上递增， 则a=1.01°5<b=1.01, 由y=x°5在(0，十o∞)上递增，则a=1.0105>c=0.6.5 所以b>a>c.故选D. 10.C将1og3=b转化为指数，得到8=3.再结合指数的 运果性质心=(2少=2”=3，调免公”=多=号，所 以4-罗，故本题选C 11.C考查比较大小问题，主要利用对数函数单调性，属 于基础题。以c=合为中间量，构造增函教y一10gx和 y=log.r,log.2<o5-=log.2<loR3. 12.C#L=49代入L=5+1gv得ev=-0.1=一 所以V=10市=而产08，藏选C 1 1解折：周为以。过2。一a=-号所以 1 (log2a+1)(log2a-6)=0,而a>1,故loga=6,a=64. 答案：64 14.解析：当x>0时，y=2>1,当x≤0时，y=1,故值城 为[1，十∞). 答案：[1，十c∞) 15.解析：开放性问题，答案不唯一，所有的形如f(x)= x品，n,m∈N“的函数都成立，以f(x)=x2为最优. 答案：f(x)=x(x∈R) 考点三 1.B本题考查了函数的零点存在定理，f(x)=0.3一√元 (x>0)在(0，十∞)上单调递减. f(0.3)=0.3.1-√03=0.3°3-0.3°5>0. f(0.5)=0.3a.5-√0.5=0.35-0.5.5<0， ∴f(x)的零，点在区间(0.3,0.5)上 2.Df(x)=g(x)→a 1十c0s二，注意右边是偶函数，所 1+x2 以若只有一个变点就只能是在工=0处相切，于是直接 代x=0得a=2. 3.解析：(1)当x2-ax+1≥0时，f(x)=0白(a-1)x+(a -2)x-1=0, 即[(a-1)x-1](x+1)=0, 若a=1时，x=一1，此时x一ax十1≥0成立： 若a1时=或x=-1 若方程有一根为x=一1，则1十a+1≥0， 即a≥一2且a≠1； 若方程有-根为己则(。品)广-a×。品+1≥ 0,解得a≤2且a≠1； 若=。=-1时，a=0,此时1计a+1≥0成立 (2)当x2-ax+1<0时，f(x)=0曰(a+1)x2-(a+2)x +1=0, 即[(a+1)x-1](x-1)=0, 若a=一1时，x=1,显然x2-ax十1<0不成立； 若a≠-1时，x=1我x=a十 若方程有一根为x=1,则1一a十1<0，即a>2: 若方程有-根为x一市则（什）广-aX市十1< 0,解得a<一2： 若=。=1时，a=0,显格-a+1<0不成立 综上可知，当a<-2时，零点为。十市'a 11 当一2a<0时，本点为。-1 当a=0时，只有一个零点一1； 当0<a<1时，零点为1， a-1,-1; 当a=1时，只有一个零点一1； 当1<a≤2时，零点为1 a-1-1: 当a>2时，零，点为1，一1. 所以当西数有两个零，点时，a≠0且a≠1 点睛：本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方 程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根 据范围讨论根（或零点）的个数，从面得解， 答案：(-∞，0)U(0,1)U(1,+o∞) 4.解析：零点问题，转化成两个函数的交点来分析 令f(x)=1gx|一kx一2=0，可转化成两个函数 为=|lgx|,y2=kx十2的交点问题. 对于①，当表=0时，1gx=2,两个交点，①正确； 对于②，存在<0，使y1=1gx与y2=kx十2相切， ②正确： 对于③，若k<0,y1=gx与y2=kx十2最多有2个交 点，③错误： 对于④，当>0时，过点(0,2)存在函数g(x)=1gx(x >1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于 相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确.填①②④. 答案：①②④ 考点四 1.B由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结 合对数的运算性质即可求解」 设当N取10个单位、1.024×10°个单位、4.096×10 个单位时所需时间分别为T,T2,T, 由题意，T1=log210°=6k10g210, T2=k1og2(1.024×103)=k1og2(2°×10)=k(10+ 6log210), T,=1og2(4.096×10°)=k1og2(22×10°)=k(12+ 6log210), 因为T2-T1=k(10+61og210)-6k1og10=10k=20,所 以é=2， 所以T,-T2=k(12+61og210)-k(10+61og210)=2k =4 所以当训练数据量N从1.024×10°个单位增加到 4,096X10°个单位时，训练时间增加4小时.故选：B. 2.ABD由奇函数的性质可知，因为f(x)的定义域为R, f(0)=0,所以A正确： 当x<0时，-x>0,f(-x)=(x2-3)e+2,又因为 f(-x)=一f(x),所以f(x)=-(x2-3)e-2,所以B 正确； 当x>0时，f(x)=(x+3)(x-1)e2,所以f(x)在(0,1) 上单调递减，在(1，十∞)上单调递增 x→0时，f(x)→-1，f(1)=-2e+2<0,f3=2> 0,所以f(x)的图象大致为 2e-2 y=V3 -10 -2e+2f 因为2一2>2，所以C错误，由奇函数图象关于原，点对 称可知D正确 3.B对于A,因为M=[-1,1],所以f(x)<f(1)在 (一∞，1)上恒成立，此时f(一1)<f(1)与f(x)是偶函 数矛盾，故A错误；对于B,不妨取∫(x)= /-1,x<-1 x,一1≤x≤1，满足f(x)在x=2处取到最大值，故B (1,x>1 正确；对于C,若存在f(x)在R上单调递增，则对任意 x。∈R,当x<x。时都有f(x)<f(x。),则此时M=R,与 M=[一1,1]矛盾，故C错误：对于D,若存在f(x)在x= 一1处取到极小值，则存在一个>0，对于任意x满足0 <1x+1<0,都有f-1<f,-1-号∈(-1-， D,而由-1长M以及M的含义知f(-1-号)K-1D, 与f(-1)<f(x)对于任意x满足0<|x+1|<8矛盾， 故D错误. 4.ACD:L,-L,=20×1gB-20×1g2=20×1g≥ p。 Po 0A≥1， 13 …≥2，所以A正确： 山-h=20x×会>10.会>7心0>10， 所以B错误：L4=20×1g2=40, 。 :2=100,所以C正确：L1-L,=20X1g≤90 Po 50=40,1g≤2,2≤100，所以D正确.故 p2 选ACD. 5.DA选项：lgp=lg1026>3,T=220,由图易知处于固 态；B选项：lgp=lg128>2,T=270,由图易知处于液 态；C选项：lgp=lg9987≈3.999，T=300,由图易知处 于固态：D选项：lgp=1g729>2,T=360,由图易知处于 超临界状态，所以选D 6Df)=2+子为偶画数，g()=inx为寺画数，图 中函数为奇函数， y=f国+g()-青与y=fx）-g()-青均不是奇 孟数，故排除A,B项； fa)·g)=(e+）·imx,[f)·g(x= (e+）·cosx+2x…sinx 则[V()·8(径)门>0，与图不持，故排除C项：故 选择：D. 7.A令1十y当=x2十y2=五十y=2a,由①可知，1<a, I:<a,I<a, 由③得x1(2a-x1)十x(2a-x,)=2x2(2a-x2)构造函 数f(x)=x(2a一x), f(x1)+f(x3)=2f(x), 如图所示，f(x)为上凸函数， 满是了（佰）> f红)+fx2=j(x) 2 :f(x)在(-o∞，a)上严格递增，五>x4 2 8解：本题考查了函数的新定义，函数的性质，奇偶性、周 期性等，分类讨论、数形结合思想，函数的零点 aM=a+=()=血号-9， (肾+)血誓-≠( ∴54M. (2)即存在x使得f(x十a)=f(x)有解，：y=x+2,y =√元， 在各自定义域上单调递增，故只可能是x十2=√x十a, x<0:x十2≥0，x>≥-2， .x2+4x+4-x-a=0,a=x2+3x+4,x∈[-2,0)， a=(+2)）+xe[-2,0, a∈[子4 (3)1.由y=f(x)是偶函数， 当x∈[-1,0)时，f(x)=f(-x)=1-(-x)=1+x, 对于a∈(0,2)，M.二M,可得f(x+2)=f(x), 对于Vx∈(-1,0)都有f(x)=f(x十a),令a=-2x∈ (0,2),即f(x)=f(一x), 如图. y 3-2-10123x 则对Vx∈(-1,0)，f(x)=f(x十2)，故f(x)在(1,2)的 解析式为y=x一1. I.即证f(x)与直线y=c至多有9个交点，由1可知， f(x)是偶函数，且是以2为周期的函数，如上图，取c∈ (0,1),f(一2)=f(0)=f(2)=c此时零点个数有最大值 为9.证毕. 9.解：(1)当a=0时，f(x)=+x+=x+三+1，定义拨 x≠0，y=x十二为奇函数， f代)=+兰十1不为奇画数，故不存在实数，伙得 f(x)为奇函数， (2)f(1)=3a+2+c=3→c=,f(x)= 1十a 2+(3a十1)x+1=0,x2+(3a+1)z+1=0,△=(3a xta +102-4>0且两根之和-(3a+1)<0,a>子，若 x十a=0即x=-a是方程x2+(3a十1)x十1=0的解， 得a=号或a=-l,截实数a的取值范国为a>号 且a≠分 专题三导数及其应用 实战集训1 1.ACD首先有f(x)=(x一1)(x一4)， 则f(x)=3(x-1)(x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 为极小值点，故A正确； 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x<x, 故f（x2)<f(x),故B错误； 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且f(1)=0, f(3)=一4，故一4<f(2x-1)<0,故C正确： 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2-x)> f(x)成立，故D正确.故选择：ACD. 点评：函数的单调性问题转化成导数的单调性问题即可 顺利解决， 2.AD求导得f(x)=6x(x-a),于是：A正确，当a> 1时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以 必有三个零点：B错，a<0时x=0应为极小值点：C错， 任何三次函数不存在对称轴；D正确，当a=2时f(x)= 2(x-1)1-6(x-1)-3,关于(1，一3)中心对称. 3.A f)2sin 1+x ..f(x) 18 _(e'+2cos x)(1+)-(e"+2sin z).2x (1+x2) -(x-1)e+2(1)cos r-4xsin z (1+x2)2 则f(0)=3 y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1=3(x一0)， 即3x-y+1=0 令x=0,得y=1, 令y=0,得x=-合 y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三 角形的面软为S=名×-号引X1=行 4.C由题意可知f()=ae-士>0在区间1,2)上位成 立，即a≥（侵）设8e)=延，则在E1,2上板有 ga=+De>0,所以g）=g=e,(a) =,中a≥e1,故选C 5.C设向线y=品在点(，)处的初线方程为y -z-1D, 因为yz十 e 所以y=e(x+l)二e= (x+1)2 (x+1) 所以=11=异， 所以切线方程为y号=是（红一1D, 所以由线y千在点印，受）类的切线方程为y一受： +，故选C 6.Bf(x)=x3+ax+2,剿f(x)=3x2+a, 若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小 值，则a<0,令f(x)=3x2+a=0, 解得=我 且s(,写)（层+小时， f(x)>0, 当（√√骨ro, 故)的教大维为f(√骨)教小维为f(冒 (> 若∫(x)要存在3个零点，则 同 号√号-√号+2>0 ,解得a<-3,故选B. 3层+号+2<0 66