湖南省湘东教学联盟2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题

湘东教学联盟2025年7月高二期末联考 数学 总分：150分 时量：120分钟 由株洲市二中 浏阳市一中 醴陵市一中 攸县一中 株洲市八中 茶陵县一中 株洲市四中 醴陵市四中 九方中学 株洲市二中枫溪学校 渌口区五 中株洲市南方中学联合命题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 2. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 58 C. 70 D. 80 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 96种 D. 144种 6. 直线与圆相交于A，B两点，当面积最大时m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7. 已知正方体的棱长为1，点E为线段上的动点（不含端点），则当三棱锥外接球半径最小时，AE的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则（ ） A. 变量x，y负相关 B. 剔除异常点后；样本相关系数的绝对值变大 C. 新回归直线经过点 D. 新回归直线的斜率是 10. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 11. 中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的．如图1所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动．忽略齿轮对半径的影响，简化后如图2，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点A，大平轮上最高点为点B，大、中、小平轮和立轮的半径分别为．随着转动，以下说法正确的是（ ） A. 小平轮转2圈，大平轮转1圈 B. AB两点距离最大为18 C. AB两点距离最小为10 D. 若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的极大值点是________． 13. 已知数列的前n项和为，则数列的前n项和为________． 14. 一个材质均匀的抽奖转盘被等分为10个扇形区域，分别标有数字1至10．玩家进行以下操作： 第一轮：转动转盘一次，记录数字n（不考虑指针落在交界线的情况），若n为质数，则获得一个抽奖币，否则获得一个普通币； 第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励（抽奖池中包含1个一等奖、3个二等奖、6个三等奖）；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励（普通池中包含2个安慰奖、8个谢谢参与）． 第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额外获得终极大奖． 则玩家最终获得终极大奖的概率为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6． （1）请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关； （2）从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 在中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且，． （1）若的面积是，求的周长； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 17. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，，且的面积为1． （1）求椭圆C的方程； （2）过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点（异于点A），若直线l的斜率存在． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时直线l的方程． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）若正项数列满足，，试比较与1的大小关系，并说明理由． 湘东教学联盟2025年7月高二期末联考 数学 总分：150分 时量：120分钟 由株洲市二中 浏阳市一中 醴陵市一中 攸县一中 株洲市八中 茶陵县一中 株洲市四中 醴陵市四中 九方中学 株洲市二中枫溪学校 渌口区五 中株洲市南方中学联合命题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）列联表如下： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 X 0 1 2 P 喜欢游泳与性别无关． （2）X的分布列为期望为 【16题答案】 【答案】（1） （2）． 【17题答案】 【答案】（1） 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）． （3）存在，，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （ⅰ） 设直线，，， 直线l与椭圆C联立得，得， 所以，即，所以． 直线l与圆E联立得得， 所以，即，所以． ，为定值． （ⅱ）． 【19题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间． （2） （3），理由如下： 由，得． 由（1）知，当时，在上单调递增， 故当时，， 令，则， 即，故， 又因为，所以， 故． 一方面，当时，，， 另一方面，当时，． 即，所以． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $