专题19 通项公式常用方法讲义-2025届高三数学二轮复习

专题19：通项公式常用方法 <<<专题综述>>> 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈.求通项公式也是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强. <<<专题探究>>> 题型一：累加法求通项公式 如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式. ① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和； ② 的系数相同，且为作差的形式. 例1(2024·湖北襄阳模拟) 已知数列满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 根据递推关系得出，然后利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式，然后利用求函数单调性求出数列最小值即可． 【规范解析】 解：由， 得， 即， ，， 以上式子相加得： ， 因为，所以， 当时，上式成立，即，， 令，，即， 所以 ， 又在时单调递增，当取得最小值为，即的最小值是． 故选：． 练1(2024·全国·模拟预测) 数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【规范解析】 解：， ， 而， 数列是以为首项，为公差的等差数列． ， ， ， ， ， ， 由于满足上式， 所以， 易得当或时取得最小值，． 故选D． 练2（2024·广东·统考模拟预测）南宋数学家杨辉在详解九章算术法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列如数列，，，，前后两项之差组成新数列，，，新数列，，为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为(    ) 注： A. B. C. D. 【规范解析】 解：令，，，，，，， 将数列从第二项开始每一项与前一项作差得数列，，，，，， 再将数列从第二项开始每一项与前一项作差得数列，，，，，，则． ，累加法可得． ， 当且时，， 当且时，， 当时，也适合上式， ，． 题型二：累乘法求通项公式 如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式. 例2（2024·浙江高三模拟）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 依题意可得，再利用累乘法计算可得. 【规范解析】 解：依题意，数列满足，， ， 所以， 也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为． 故选： 练3在数列中，且，则它的前项和（ ） A． B． C． D． 【规范解析】 ，， ， 当时，，符合上式， 所以． 因此，. 故选：A. 练4（2025·全国高三专题练习）法布里贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，，，为使得，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【规范解析】 解：由题意可知，   所以， 所以， ， 显然关于单调递增，其中， ， 所以的最大值为． 故选：． 题型三：关系法求数列通项 (1)已知求的常用方法是利用求通项公式． (2) 与关系问题的求解思路 方向1：利用转化为只含，的关系式，再求解． 方向2：利用 转化为只含，的关系式，再求解． 例3（2025·全国校联考模拟预测）已知数列满足 ，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据给定条件求出数列的通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答. 【规范解析】 解：由可得， 两式相减可得，则， 当时，可得满足上式，故， 所以， 因数列为单调递增数列，即， 则 整理得， 令，则， 当时，，当时，， 于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得， 所以的取值范围为． 故选：A. 练5已知数列满足，若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【规范解析】 解：，， ，即，， 又， 所以， ． 故本题选C． 练 6数列的前项和，则数列中的最大项为（ ） A． B． C． D． 【规范解析】 当时，. 当时，由已知得，，， 则. 当时，，满足. 所以，. 设，则. 设数列中的第项最大，则应满足， 即，整理可得 解得，又，所以，， 又. 所以，数列中的最大项为. 故选：C. 题型四：构造法求通项公式 类型1：用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式； 2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好； 3、构造等比数列. 类型2：用“同除法”构造等差数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式； 2、两边同除； 3、构造数列为等差数列 类型3：用两边同时取倒数构造等差数列 （1） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同时取倒数转化为的形式，化归为型； 3、构造数列为等差数列. 类型4：用“同除法”构造等差数列（2） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型4的标准形式； 2、两边同除； 3、构造出新的等差数列 类型5：用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型5的标准形式； 2、可以化为，其中是方程的两个根； 3、若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列． 例4（2025·广东期末）在数列中，，且，则其通项公式为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 根据，两边取倒数，整理得到，再利用累加法求出，进而可得． 【规范解析】 解：在数列中，， ， ， ， 即， 当时，， 则  ， ，， 又满足上式，． 故选：． 练7（多选）已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 【规范解析】 解：对于，当时，，则，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故A错误； 对于，若，则，， 当时，， 当时也满足上式，故，故B正确； 对于，若，则，则，数列是首项为，公比为的等比数列， 故C正确； 对于，若，则，则， 则数列是公差为的等差数列，所以D正确． 故选：． 练8数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ） ①； ②数列是等比数列； ③数列是等比数列； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【规范解析】 由得， 所以， ∴（*）， ①，， ，， ∴，正确； ②由（*）知， 又首项，，∴是等比数列，正确； ③，首项，不符合等比数列的定义，错误； ④由②对可知：， 两边同除得， 令，∴，． ∴， 又，即数列是恒为0的常数列． ∴，故错误． 故选：B． 题型五：方程组法求二阶递推的通项公式 当二阶递推关系式形如： ，得， 可知：． （1）当时，数列， 同时满足数列； 则有两式联立，消去， 得： （Ⅱ）当时，，两边同除以得： 数列， . 例5已知数列中，，，且，则　　． 【思路点拨】 构造连续两项之间的整体等比结构，即同之间的等比关系，在“降维”成一阶递推关系求解. 【规范解析】 法一：由，可得， 在数列中，由，可得， 由，可得， ，， 数列是等比数列， ，， 由，，，，，以上各式相加可得 ， ，，经检验可得满足， ．故答案为：． 法二：构造数列特征方程，故，数列是以为首项，为公比的等比数列， 同时数列是以为常数的数列，联立方程组得：, 法三：暴力特征根法：， ，代入得：， ． 练9已知数列是首项为，且，求：通项公式． 【规范解析】 法一：由，构造数列特征方程， 得，所以, 由，，得, 两式联立得． 法二：暴力特征根法：， ，代入得：， ． 练10设为实数，数列是首项，． （1） 证明：； （2）求通项公式. 【规范解析】 （1）所以， ， 比较系数得，． （2） 因为，且， （3） 所以 同理 又因为 = ， 由式①的数列是以为首项、以为公比的等比数列． 故 由式②的数列是以为首项、以为公比的等比数列． 故 联立③④得方程组，消去，得， 故． <<<专题训练>>> 1.设数列是首项为，满足，求的通项公式． 【解析】 因为 所以 =， 当时，=，满足， 故. 2.已知数列是首项为，满足，求通项公式． 【解析】 因为，所以， 所以, 当时，=，满足， 所以. 3.设数列的前项和，若，求数列的通项公式． 【解析】 ， ， 法一：由迭乘得：， , 当时，=，满足， 所以. 法二：由迭代常数数列得， 故是常数数列，即，． 4.设数列的前项和，若，求数列的通项公式． 【解析】 ，， 法一：， ， 当时，，满足， 所以. 法二：， 故为常数数列， 即，． 5.已知数列是首项为，，求通项公式． 【解析】 ， 故 ， 使用累加法可得，， 所以，，即, 当时，，满足， 所以. 6.已知数列是首项为，满足．求的通项公式； 【解析】 由已知得，则，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 故，即. 7.设数列是首项为，满足，求通项公式． 【解析】 令， 则，求得,， 所以 又当时，， 所以是以6为首项，3为公比的等比数列， ， 所以． 8.设数列是首项为，且，求的通项公式． 【解析】 依题意的，令， 则，又， 比较两式的系数，得，, 解得,. 所以， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. 9.设数列是首项为，满足．求的通项公式． 【解析】 （1）依题意，令， 所以， 即，解得. 所以数列是以2为公比，为首项等比数列. 所以，即， 即存在,,使得数列成等比数列. 10.已知数列满足：，，，求通项公式． 【解析】 法一：令，解得，所以有 所以数列是以为首项，5为公比的等比数列， 则 ① 数列是为首项，为公比的等比数列． ② ①-②得，化简得． 法二：暴力特征根法：令，解得， 故令，代入，，，得 解得： ． 共16页/第9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 通项公式常用方法 【专题探究】 例1【解析】解：由， 得， 即， ，， 以上式子相加得： ， 因为，所以， 当时，上式成立，即，， 令，，即， 所以 ， 又在时单调递增，当取得最小值为，即的最小值是． 故选：． 练1【解析】解：， ， 而， 数列是以为首项，为公差的等差数列． ， ， ， ， ， ， 由于满足上式， 所以， 易得当或时取得最小值，． 故选D． 练2【解析】解：令，，，，，，， 将数列从第二项开始每一项与前一项作差得数列，，，，，， 再将数列从第二项开始每一项与前一项作差得数列，，，，，，则． ，累加法可得． ， 当且时，， 当且时，， 当时，也适合上式， ，． 例2【解析】解：依题意，数列满足，， ， 所以， 也符合，所以，是单调递增数列， 由，解得， 所以的最大值为． 故选： 练3【解析】，， ， 当时，，符合上式， 所以． 因此，. 故选：A. 练4【解析】解：由题意可知，   所以， 所以， ， 显然关于单调递增，其中， ， 所以的最大值为． 故选：． 例3【解析】由可得， 两式相减可得，则， 当时，可得满足上式，故， 所以， 因数列为单调递增数列，即， 则 整理得， 令，则， 当时，，当时，， 于是得是数列的最大项，即当时，取得最大值，从而得， 所以的取值范围为． 故选：A. 练5【解析】解：，， ，即，， 又， 所以， ． 故本题选C． 练 6【解析】当时，. 当时，由已知得，，， 则. 当时，，满足. 所以，. 设，则. 设数列中的第项最大，则应满足， 即，整理可得 解得，又，所以，， 又. 所以，数列中的最大项为. 故选：C. 例4【解析】解：在数列中，， ， ， ， 即， 当时，， 则  ， ，， 又满足上式，． 故选：． 练7【解析】解：对于，当时，，则，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故A错误； 对于，若，则，， 当时，， 当时也满足上式，故，故B正确； 对于，若，则，则，数列是首项为，公比为的等比数列， 故C正确； 对于，若，则，则， 则数列是公差为的等差数列，所以D正确． 故选：． 练8【解析】由得， 所以， ∴（*）， ①，， ，， ∴，正确； ②由（*）知， 又首项，，∴是等比数列，正确； ③，首项，不符合等比数列的定义，错误； ④由②对可知：， 两边同除得， 令，∴，． ∴， 又，即数列是恒为0的常数列． ∴，故错误． 故选：B． 例5【解析】法一：由，可得， 在数列中，由，可得， 由，可得， ，， 数列是等比数列， ，， 由，，，，，以上各式相加可得 ， ，，经检验可得满足， ．故答案为：． 法二：构造数列特征方程，故，数列是以为首项，为公比的等比数列， 同时数列是以为常数的数列，联立方程组得：, 法三：暴力特征根法：， ，代入得：， ． 练9【解析】法一：由，构造数列特征方程， 得，所以, 由，，得, 两式联立得． 法二：暴力特征根法：， ，代入得：， ． 练10【解析】（1）所以， ， 比较系数得，． （2） 因为，且， （3） 所以 同理 又因为 = ， 由式①的数列是以为首项、以为公比的等比数列． 故 由式②的数列是以为首项、以为公比的等比数列． 故 联立③④得方程组，消去，得， 故． 【专题训练】 1. 【解析】因为 所以 =， 当时，=，满足， 故. 2. 【解析】因为，所以， 所以, 当时，=，满足， 所以. 3.【解析】， ， 法一：由迭乘得：， , 当时，=，满足， 所以. 法二：由迭代常数数列得， 故是常数数列，即，． 4.【解析】，， 法一：， ， 当时，，满足， 所以. 法二：， 故为常数数列， 即，． 5.【解析】， 故 ， 使用累加法可得，， 所以，，即, 当时，，满足， 所以. 6. 【解析】由已知得，则，且， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 故，即. 7. 【解析】令， 则，求得,， 所以 又当时，， 所以是以6为首项，3为公比的等比数列， ， 所以． 8. 【解析】依题意的，令， 则，又， 比较两式的系数，得，, 解得,. 所以， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. 9. 【解析】（1）依题意，令， 所以， 即，解得. 所以数列是以2为公比，为首项等比数列. 所以，即， 即存在,,使得数列成等比数列. 10. 【解析】法一：令，解得，所以有 所以数列是以为首项，5为公比的等比数列， 则 ① 数列是为首项，为公比的等比数列． ② ①-②得，化简得． 法二：暴力特征根法：令，解得， 故令，代入，，，得 解得： ． 共10页/第9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19：通项公式常用方法 <<<专题综述>>> 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈.求通项公式也是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强. <<<专题探究>>> 题型一：累加法求通项公式 如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式. ① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和； ② 的系数相同，且为作差的形式. 例1(2024·湖北襄阳模拟) 已知数列满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 根据递推关系得出，然后利用累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式，然后利用求函数单调性求出数列最小值即可． 练1(2024·全国·模拟预测) 数列满足，，且对任意正整数，有，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练2（2024·广东·统考模拟预测）南宋数学家杨辉在详解九章算术法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列如数列，，，，前后两项之差组成新数列，，，新数列，，为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列现有高阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为(    ) 注： A. B. C. D. 题型二：累乘法求通项公式 如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式. 例2（2024·浙江高三模拟）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 依题意可得，再利用累乘法计算可得. 练3（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（ ） A． B． C． D． 练4练4（2025·全国高三专题练习）法布里贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，，，为使得，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 题型三：关系法求数列通项 (1)已知求的常用方法是利用求通项公式． (2) 与关系问题的求解思路 方向1：利用转化为只含，的关系式，再求解． 方向2：利用 转化为只含，的关系式，再求解． 例3（2023·全国校联考模拟预测）已知数列满足 ，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【思路点拨】 根据给定条件求出数列的通项，再由数列为单调递增数列列出不等式并分离参数即可推理计算作答. 练5已知数列满足，若，则的值是(    ) A. B. C. D. 练 6（2023·全国高三专题练习）数列的前项和，则数列中的最大项为（ ） A． B． C． D． 题型四：构造法求通项公式 类型1：用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式； 2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好； 3、构造等比数列. 类型2：用“同除法”构造等差数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式； 2、两边同除； 3、构造数列为等差数列 类型3：用两边同时取倒数构造等差数列 （1） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式； 2、两边同时取倒数转化为的形式，化归为型； 3、构造数列为等差数列. 类型4：用“同除法”构造等差数列（2） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型4的标准形式； 2、两边同除； 3、构造出新的等差数列 类型5：用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型5的标准形式； 2、可以化为，其中是方程的两个根； 3、若1是方程的根，则直接构造数列，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列． 例4（2025·广东期末）在数列中，，且，则其通项公式为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 根据，两边取倒数，整理得到，再利用累加法求出，进而可得． 练7（多选）已知数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则数列是等比数列 D. 若，则数列是等差数列 练8（2022·江西萍乡·统考一模）数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（ ） ①； ②数列是等比数列； ③数列是等比数列； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 题型五：方程组法求二阶递推的通项公式 当二阶递推关系式形如： ，得， 可知：． （1）当时，数列， 同时满足数列； 则有两式联立，消去， 得： （Ⅱ）当时，，两边同除以得： 数列， . 例5（2019•潮州二模）已知数列中，，，且，则　　． 【思路点拨】 构造连续两项之间的整体等比结构，即同之间的等比关系，在“降维”成一阶递推关系求解. 练9已知数列是首项为，且，求：通项公式． 练10设为实数，数列是首项，． （1） 证明：； （2）求通项公式. <<<专题训练>>> 1.设数列是首项为，满足，求的通项公式． 2.已知数列是首项为，满足，求通项公式． 3.设数列的前项和，若，求数列的通项公式． 4.设数列的前项和，若，求数列的通项公式． 5.已知数列是首项为，，求通项公式． 6.已知数列是首项为，满足．求的通项公式； 7.设数列是首项为，满足，求通项公式． 8.设数列是首项为，且，求的通项公式． 9.设数列是首项为，满足．求的通项公式． 10.已知数列满足：，，，求通项公式． 共7页/第7页 学科网（北京）股份有限公司 $$