精品解析：四川省广安友实学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

广安友实学校 2024-2025学年度下期初2022级期中作业 数 学 试 卷 A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025的倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. −2025 2. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，截至2025年2月23日10时40分，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已达135亿元，位列全球影史票房榜第8位．数据“135亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式 B. 中考期间一定会下雨是必然事件 C. 一个样本中包含的个体数目称为样本容量 D. 已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2 6. 下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ） A. B. C D. 9. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 分解因式∶________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________． 13. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 14. 如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是______． 三、解答题（本大题共5小题，共44分） 15. （1）计算：． （2）解不等式组： 16. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 17. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是近期初三某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为． （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点N（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 18. 已知直线与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求直线的表达式； （2）是线段的中点，点为坐标轴上一点，连接，，若，求点的坐标； 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 若，则________． 21. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 22. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=_____． 24. 如图，点在直线上，点横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 26. 【探究】如图①，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点，交边于点．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点为边的中点，连结，过点作于点，交边于点．若的值为______． （2）如图③，在中，，点为的中点，连结，过点作于点，交边于点．若的值为______． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； （3）请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友实学校 2024-2025学年度下期初2022级期中作业 数 学 试 卷 A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，再每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025倒数是（ ） A. B. C. 2025 D. −2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 直接根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：A． 2. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 3. 据报道，截至2025年2月23日10时40分，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已达135亿元，位列全球影史票房榜第8位．数据“135亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的除法、幂的乘方、单项式乘法及完全平方公式，根据以上知识的计算判定即可求解． 【详解】解：选项A：，结果应为而非，错误； 选项B：，结果应为而非，错误； 选项C：系数部分：；幂部分：；合并结果为，与选项一致，正确； 选项D：，选项缺少中间项，错误； 故选：C． 5. 下列说法中正确的是（ ） A. 对绵远河段水质污染情况的调查，采用全面调查的方式 B. 中考期间一定会下雨是必然事件 C. 一个样本中包含的个体数目称为样本容量 D. 已知“1，2，3，4，5”这一组数据的方差为2，将这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差也为2 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查和抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义逐项判断即可． 【详解】A、总体数量较大，应采用抽样调查，说法错误，该选项不符合题意； B、中考期间一定会下雨，可能发生，也可能不发生，该事件为随机事件，说法错误，该选项不符合题意； C、说法正确，该选项符合题意； D、这一组数据分别乘以3，则所得到的一组新数据的方差为18，说法错误，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全面调查和抽样调查、必然事件和随机事件、样本容量、方差，牢记全面调查和抽样调查的定义、必然事件和随机事件的定义、样本容量的定义、方差的定义是解题的关键． 6. 下列条件中，能判定平行四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定平行四边形是菱形，不符合题意； B、，不能判定平行四边形是菱形，不符合题意； C、，不能判定平行四边形是菱形，不符合题意； D、，对角线垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形是菱形，符合题意； 故选D． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系． 设鸡只，兔只，根据上有16头，下有44足列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡只，兔只， 根据题意得，． 故选：A． 8. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得： 刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加， 然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加， 汽车到达下一车站，则速度匀速减少到0， 乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，则速度从0开始增加到一定速度后不在增加， 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图象，找到速度变化的规律是解题的关键． 9. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得水的最大深度的长． 【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA， 由垂径定理得：， ∵⊙O的直径为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴水的最大深度为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决． 10. 已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（　　）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断a、b、c的符号，即可判断①；根据图象与x轴交点个数，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；根据该函数的开口方向判断其增减性，即可判断⑤． 【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在y轴左侧，图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ②∵函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ③∵该函数图象经过点，对称轴为直线， ∴该函数与x轴另一个交点坐标为， ∴当时，，故③正确； ④∵对称轴为直线，函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 把代入得：， 把代入得：， ∵， ∴，则，故④正确； ⑤∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线，， ∴，故⑤不正确， 综上：正确的有②③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：． 13. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 14. 如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是______． 【答案】##87度 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质．先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，接着根据角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】由作法得垂直平分， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共44分） 15. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解一元一次不等式组． （1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、绝对值的性质、零指数幂的性质进行计算； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2） 解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 16. “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节．某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园：B：武侯祠：C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地：E：金沙遗址博物馆”．实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”（每人必选且只选一个地点）调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有_____人，在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角是_____度； （2）补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； （3）若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率． 【答案】（1）200， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，统计图． （1）用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角； （2）先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人）， 在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为； 故答案为：200，36； 【小问2详解】 解：∵C组人数为（人）， ∴A组人数为（人）， 条形统计图补充为： 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率=． 17. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是近期初三某同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为． （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点N（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， 答：线段的长度为． 18. 已知直线与轴、轴交于点，，与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求直线的表达式； （2）是线段的中点，点为坐标轴上一点，连接，，若，求点的坐标； 【答案】（1）； （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数和反比例函数交点问题，求得函数解析式是解题的关键； （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）根据中点坐标公式求得，设，进而根据得出，根据点为坐标轴上一点，即可求解． 【小问1详解】 解：由反比例函数经过点，两点，且点的横坐标为，点的横坐标为， 得点的坐标为，点的坐标为， 把，代入 得 解得： 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵是线段的中点，， ∴ 设， ∵， ∴ 解得： ∵点为坐标轴上一点， ∴或或或 19. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）BD的长是． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线判定，直径所对的圆周角是等角，等腰三角形的性质等等： （1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论； （2）由直径所对的圆周角是等角得到，则由三线合一定理可得． 【小问1详解】 证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，将要求值的代数式进行适当变形以便利用已知代数式的值是解题的关键． 将要求值的代数式进行适当变形，可得，然后将的值代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 21. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 22. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=_____． 【答案】3． 【解析】 【详解】试题分析：连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数（）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=△OBE的面积=，∴k=3．故答案为3． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 24. 如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．由题意分别求出，⋯⋯即可求解． 【详解】解：∵点在直线l：上，点的横坐标为1，过点作x轴，垂足为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ⋯⋯ ∴点的坐标为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 25 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，哈尔滨某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元 （2）当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键． （1）设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克，根据题意列出不等式，得出，进而设总费用为y元，根据题意，，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元， 根据题意得，， 解得：， 答：A种食材的单价为38元，B种食材的单价为30元； 【小问2详解】 解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克， 根据题意，， 解得：， 设总费用为y元，根据题意，， ∵，y随x的增大而增大， ∴当时，y最小， ∴最少总费用为（元）， 答：当A，B两种食材分别购买24，12千克时，总费用最少为1272元． 26. 【探究】如图①，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点，交边于点．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点为边的中点，连结，过点作于点，交边于点．若的值为______． （2）如图③，在中，，点为的中点，连结，过点作于点，交边于点．若的值为______． 【答案】探究 应用（1）（2） 【解析】 【分析】探究 证明，由相似三角形的性质得出即可； 应用（1）如图过点作于点，过点B作交的延长线于点H，证出是的中位线，设则，再利用探究中结论，得即可； （2）过点作的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线，分别交两条垂线于，，则四边形为矩形．先证明，得，再证明，得，再利用探究中结论即可 【详解】解：探究 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ； 应用（1）如图过点作于点，过点B作交的延长线于点H， ， ∴ ， ∵点F为边的中点， 是的中位线， ， 设则， ， 四边形是矩形， 利用探究中结论，得； 故答案为：； （2）过点作的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的平行线，分别交两条垂线于，，则四边形为矩形， 为的中点， ， 又，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 设，则， 则， ， 由（1）知，， ； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标； （3）请完成以下探究． 【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E． 【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质与一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数求抛物线的解析式即可； （2）连接，过点M作轴交于点H，先求出直线的表达式为，设点，则点，根据四边形的面积求出m的值即可得出点M的坐标； （3）先依题意作图，设点M、N的坐标分别为、， 由点M、N的坐标可得直线的表达式为：，进而得出，再求出，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴相交于，两点， ，解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示： 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则点， 则四边形的面积 ， 解得：， 故点； 【小问3详解】 解：依题意作图如图所示： 设点M、N的坐标分别为、， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 表达式为：， 将代入得：， 整理得：， 设直线的表达式为， 把点和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 当时，可得， 解得：， 可得：， ， 则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $