精品解析：湖北省荆门市2024-2025学年七年级数学下学期期末试题

荆门市2024—2025学年度下学期期末质量检测 七年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上指定位置．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 2. 下列实数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于的方程的一个解，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 如图是一张台球桌面的示意图，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次与台球桌边缘碰撞反弹后将黑球直接撞入袋中，开始时白球的滚动路径为，第二次反弹后所滚的路径为，已知，若，与桌面边缘的夹角，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 已知，若点位于第二象限，且直线轴，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 2 8. 《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”．据此求客房和房客的数量．以下是甲、乙、丙三种解题思路：【甲】设客房有x间，则；【乙】设房客有y人，则；【丙】设客房有x间，房客有y人，则．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 9. 在一次数学活动课上，刘老师在四张同样卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是4，5，6，7中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，一定不是刘老师在卡片上写的数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，，，…，据此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 如图，直线交于点O，平分，，若，则______． 13. 写一个合适的整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，则m的值可以是______． 14. 某工程队计划在10天修路6千米，施工前2天修完1.2千米，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，则以后几天内平均每天至少要修_______千米． 15. 按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程组： 17. 如图，和相交于点O，，．求证：． 18. （深度求索）在2025年1月凭借其卓越的性能、低廉的成本以及成功的市场策略，在全球范围内迅速走红，并成为人工智能领域的一股重要力量．为了获悉学生对功能特性的了解程度，某校采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）写出接受问卷调查的学生总人数及扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角度数； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生2100人，根据上述调查结果，估计该校学生中对功能特性“了解”和“基本了解”的总人数． 19. 已知关于的不等式组． （1）若该不等式组有解，求的取值范围； （2）若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中，三角形中任意一点平移后对应点为，已知三角形中三个顶点的坐标分别为，，，将三角形作同样的平移得到三角形． （1）写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，并画出平移后的三角形； （2）已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点的坐标． 21. 人教版七年级下册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． （1）【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． （2）【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 22 综合与实践：某校组织七年级师生去历史博物馆参观，需要联系客运公司租用客车前往．通过市场调研获得以下信息： 【信息1】客运公司有两种型号的客车可供租用．租用2辆A型客车和1辆B型客车满载能坐师生136人；租用1辆A型客车和2辆B型客车满载能坐师生152人． 【信息2】本次参加参观活动的师生共571人；A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金1200元． 【信息3】学校计划租用11辆客车，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过13200元． 【探究任务】 （1）求每辆A型客车和B型客车的载客量； （2）有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 23. 【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． （1）直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． （2）如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足． （1）求点和点的坐标； （2）如图1，点为线段上一动点． ①用含有的式子表示； ②连接，如果把三角形分成两部分面积比为，求点的坐标． （3）如图2，将点向左平移个单位长度得到点，线段上的动点以个单位长度/秒的速度从点向点运动，同时线段上的动点以个单位长度/秒的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止．设运动时间为秒，连接交于点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，当不大于时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆门市2024—2025学年度下学期期末质量检测 七年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上指定位置．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 2. 下列实数，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】解：A：有限小数，属于有理数； B：，是分数形式，属于有理数； C：属于无理数； D：，是整数，属于有理数； 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据平面直角坐标系中点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，由此建立方程求解． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得：． 故选：B． 4. 把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式. 当符号为“”或“”，边界点为实心圆点，当符号为“”或“”，边界点为空心圆点，即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为：， ∴数轴上表示为：， 故选：C． 5. 若是关于的方程的一个解，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程． 将方程的解代入原方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：将解代入方程，得：， 解得：， 故选：A． 6. 如图是一张台球桌面的示意图，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次与台球桌边缘碰撞反弹后将黑球直接撞入袋中，开始时白球的滚动路径为，第二次反弹后所滚的路径为，已知，若，与桌面边缘的夹角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是关键；过C点作，则，从而有，则有；再利用光的反射的性质得；利用得，，则，由此可求得的度数． 【详解】解：如图，过C点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 根据光的反射的性质得， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 7. 已知，若点位于第二象限，且直线轴，则（ ） A. 6 B. 12 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标特征． 根据直线轴，可知点A和点B的纵坐标相等，从而确定b的值．再利用及点A位于第二象限的条件，求出a的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴点B的纵坐标， ∵， ∴， 解得或， ∵点A位于第二象限， ∴， ∴ 故选：D． 8. 《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是“如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”．据此求客房和房客的数量．以下是甲、乙、丙三种解题思路：【甲】设客房有x间，则；【乙】设房客有y人，则；【丙】设客房有x间，房客有y人，则．其中正确的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的实际应用．根据题意逐一判断即可． 【详解】解：甲：设客房有间，根据题意， 第一种情况总人数为，第二种情况总人数为．两者相等， 故方程为，正确； 乙：设房客有人， 第一种情况的房间数为，第二种情况的房间数为（空一间房，实际使用房间数为总房间数减1）， 故方程为，但乙方程缺少“”，错误； 丙：设客房间，房客人， 第一种情况：，即；第二种情况：． 联立方程组得，正确． 综上，甲和丙正确，共2个， 故选：B． 9. 在一次数学活动课上，刘老师在四张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是4，5，6，7中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，一定不是刘老师在卡片上写的数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设四个数按从小到大排列为，则最小的和，最大的和．通过分析可能的组合． 【详解】由题意，最小的和为4，最大的和为7，故，． 若，则（因）．此时，，且．可能的组合为，，即四个数为．此时所有和为，，，，满足条件． 若，则（因）．此时，，且．可能的组合为，，即四个数为．此时所有和为，，，，满足条件． 综上可知，这4个数可能是或． 故选D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，，，…，据此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知 7 个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵， ， ∴可知 7 个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为， ， ∴的坐标为， 即的坐标为． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：1． 12. 如图，直线交于点O，平分，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，由垂线的定义可得，则由平角的定义可得，再由角平分线的定义可得，据此由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 写一个合适的整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，则m的值可以是______． 【答案】0（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把方程组中两个方程相减可得，则，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵， ∴， ∴， ∴符合题意的m的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一，即可）． 14. 某工程队计划在10天修路6千米，施工前2天修完1.2千米，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，则以后几天内平均每天至少要修_______千米． 【答案】0.8## 【解析】 【分析】设以后几天平均每天修路千米，根据题意列出不等式并解不等式即可． 【详解】解：设以后几天平均每天修路千米， 根据题意得：，解得：． 即以后几天平均每天修路0.8千米． 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，关键是找到不等关系列出不等式． 15. 按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 详解】 解：，得：③ ，得：， 解得：， 将代入①，得：． ∴原方程组的解为． 17. 如图，和相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，对顶角相等，推出，进而得到，推出，得到，即可得证． 【详解】证明：如图， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行） 18. （深度求索）在2025年1月凭借其卓越的性能、低廉的成本以及成功的市场策略，在全球范围内迅速走红，并成为人工智能领域的一股重要力量．为了获悉学生对功能特性的了解程度，某校采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息解答下列问题： （1）写出接受问卷调查的学生总人数及扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角度数； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有学生2100人，根据上述调查结果，估计该校学生中对功能特性“了解”和“基本了解”的总人数． 【答案】（1）60人， （2）见解析 （3）700人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用“了解很少”的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，用360度乘以“基本了解”的人数占比可求出对应的圆心角度数； （2）先求出“了解”的人数，再补全统计图即可； （3）用2100乘以样本中“了解”和“基本了解”的人数占比之和即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴接受问卷调查的学生总人数为60人， ∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为． 【小问2详解】 解：人， ∴“了解”的人数为5人， 补全条形图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校学生中对功能特性“了解”和“基本了解”的总人数为700人． 19. 已知关于的不等式组． （1）若该不等式组有解，求的取值范围； （2）若该不等式组有且恰有四个整数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数，正确的求出不等式式组的解集，是解题的关键： （1）先求出每一个不等式组的解集，根据不等式组有解，得到，进行求解即可； （2）由（1）得到不等式组的整数解为：，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式①，得：． 解不等式②，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：． 【小问2详解】 由（1）知：，， ∵该不等式组有且恰有四个整数解，故整数解为：， ∴， 解得：． 20. 如图，在边长为1的正方形网格中，三角形中任意一点平移后对应点为，已知三角形中三个顶点的坐标分别为，，，将三角形作同样的平移得到三角形． （1）写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，并画出平移后的三角形； （2）已知点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积的一半，求点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据对应点的坐标确定平移规则，进行画出； （2）分割法求出三角形的面积，根据三角形的面积等于三角形面积的一半，结合三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：将三角形先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，画图如下． 【小问2详解】 设点的坐标为， 三角形的面积， 由题意，得：三角形的面积， ∴，解得：或 ∴的坐标为或． 21. 人教版七年级下册数学教科书第58页“阅读与思考”：为什么不是有理数． （1）【阅读填空】假设是有理数，那么存在两个互质正整数，，使得，于是．两边平方得①．由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾．这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． （2）【问题解决】类比（1）【阅读填空】，推理说明不是有理数． 【答案】（1）；； （2）不是有理数，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【小问1详解】 解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是． 两边平方得①． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入①得，，即． 所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式， 所以不是有理数． 【小问2详解】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得， 于是．两边立方得． 由是偶数，得是偶数，而只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设（是正整数）代入得，，即．所以也是偶数，这样，都是偶数，与假设，互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，所以不是有理数． 22. 综合与实践：某校组织七年级师生去历史博物馆参观，需要联系客运公司租用客车前往．通过市场调研获得以下信息： 【信息1】客运公司有两种型号的客车可供租用．租用2辆A型客车和1辆B型客车满载能坐师生136人；租用1辆A型客车和2辆B型客车满载能坐师生152人． 【信息2】本次参加参观活动的师生共571人；A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金1200元． 【信息3】学校计划租用11辆客车，在保证一次性将全部师生送到目的地的前提下，租车费用不超过13200元． 【探究任务】 （1）求每辆A型客车和B型客车的载客量； （2）有哪几种租车方案？哪种方案的租金最低？ 【答案】（1）每辆A型客车的载客量为40人，每辆B型客车的载客量为56人 （2）共有三种租车方案：①租用B型客车11辆②租用A型客车1辆，B型客车10辆，③租用A型客车2辆，B型客车9辆，方案③租金最低． 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． （1）设每辆A型客车的载客量为人，每辆B型客车的载客量为人，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设学校租用A型客车辆，则租用B型客车辆，根据题意列一元一次不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆A型客车的载客量为人，每辆B型客车的载客量为人， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型客车的载客量为40人，每辆B型客车的载客量为56人． 【小问2详解】 解：设学校租用A型客车辆，则租用B型客车辆， 根据题意得：， 解得： ∵为非负整数， ∴或1或2， 故有三种租车方案： ①租用B型客车11辆，租金为（元）； ②租用A型客车1辆，B型客车10辆，租金为（元）； ③租用A型客车2辆，B型客车9辆，租金为（元）． 答：共有三种租车方案：①租用B型客车11辆②租用A型客车1辆，B型客车10辆，③租用A型客车2辆，B型客车9辆，方案③租金最低． 23. 【模型呈现】学习平行线时，我们发现了一些常见的模型图：如图1，若，可以得到结论：；如图2，若，可以得到结论：；如图3，若，可以得到结论：． 【模型运用】利用上述模型结论解决下列问题： 已知，直线，直角三角形的顶点A在直线上，． （1）直角三角形的顶点C在直线上，平分，平分， ①如图4，直角三角形的顶点B在直线之间，若，求的度数； ②如图5，直角三角形的顶点B在直线下方，若的大小改变，的大小会变化吗？如果变化，请说明理由；如果不变，求出的度数． （2）如图6，直角三角形的顶点C在直线和之间，且，，，当n为何值时，的度数为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）①；②的大小不变，其度数为 （2）当，的度数为定值，这个定值为 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握三个结论，是解题的关键： （1）①根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图1的结论进行求解即可； ②设，根据角平分线平分角，结合平行线的性质和图3的结论进行求解即可； （2）设，利用图2的结论和平行线的性质，推出，根据的度数为定值，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 由图1的结论可知：． ②设． ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， 由图3的结论可知：， ∴， ∴的大小不变，其度数为． 【小问2详解】 设． ∵， ∴， 由图2的结论可知：， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的度数为定值， ∴，， ∴当，的度数为定值，这个定值为． 24. 如图，平面直角坐标系中，已知点，，其中，满足． （1）求点和点的坐标； （2）如图1，点为线段上一动点． ①用含有的式子表示； ②连接，如果把三角形分成两部分的面积比为，求点的坐标． （3）如图2，将点向左平移个单位长度得到点，线段上的动点以个单位长度/秒的速度从点向点运动，同时线段上的动点以个单位长度/秒的速度从点向点运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止．设运动时间为秒，连接交于点，记三角形的面积为，记三角形的面积为，当不大于时，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）①；②或 （3）当时， 【解析】 【分析】（1）由绝对值、算术平方根的非负性，得出，解方程组即可； （2）① 根据列出等式，即可求解；②分和两种情况，得出m和n的关系，结合① 中结论，即可求解； （3）由得，列出关于t的不等式组，求不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：连接． ①，， ，， ∵，且点在第二象限， ∴，整理得：． ②当时，，即． 于是，解得：． 此时． 当时，，即． 于是，解得：． 此时． 综上，或． 【小问3详解】 解：如图，连接． 由题意可知，，， ∴，． ∵， ∴， 即． ∵， ∴， 解得：． 又∵，解得：． ∴当时，． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $