专题16 圆锥曲线中焦点三角形 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题16：圆锥曲线中焦点三角形 <<<专题综述>>> 焦点三角形是圆锥曲线中的特殊图形,指的是圆锥曲线的两个焦点与曲线上任意一点所构成的三角形. 焦点三角形是高考历年关于解析几何命题的热点问题，涉及了椭圆、双曲线的定义、几何性质以及解三角形等相关知识，综合性强、方法灵活，是考查学生数学思想和综合能力的重要素材. <<<专题探究>>> 题型一：角度和离心率问题 1.若是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，是椭圆的两个焦点. 设，在中， ①由正弦定理可得, 即，即， 故 . ②若平分， 则， 即 ③若为内心，则在线段上，连接, 则分别为的平分线， 则，即. 2. 若是双曲线上异于实轴端点的任意一点，是双曲线的两个焦点. 设，在中， 由正弦定理可得, 即，即， 故. 例1 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，第一象限的点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 已知焦点三角形中两角，直接利用上述结论即可求出离心率. 【规范解析】 在中，由，所以， 故，， = . 练1 已知，是椭圆：的左、右焦点，O为坐标原点，点是上点（不在坐标轴上），点是的中点，若平分，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【规范解析】 因为O是的中点，点是的中点，所以，， 因为平分，所以，， ，，即. 题型二：焦点三角形面积公式及应用 焦点三角形问题常出现在选择题与填空题中，能够直接利用其面积公式与性质，可减少推理与运算，节省运算时间. 1.面积公式： 公式一： ①若是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，是椭圆的两个焦点. 设,则的面积. 证明：由余弦定理可得，在中 所以, . 同理可证，在椭圆中，公式依然成立. ②若是双曲线上异于实轴端点的任意一点，是双曲线的两个焦点. 设,则的面积.（证明略） 公式二： 若P是椭圆或双曲线上一点，是椭圆或双曲线的两个焦点，则的面积. 2.性质： 若是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，是椭圆的两个焦点. 设,则 ①当P在短轴顶点时，取得最大值，此时； ②. 3.应用 利用焦点三角形的面积公式，直接求解面积、求题干条件下的点坐标、求曲线方程、求焦点三角形的边所在直线方程、求参数的取值范围、求离心率的值或取值范围、求与焦点三角形有关的最值问题等. 例2 已知椭圆：和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________. 【思路点拨】 利用焦点三角形面积公式，椭圆中及双曲线中，求出进而求出,得到离心率. 【规范解析】 方法一：由题知，， ，. 方法二：椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义：， 所以，， 由余弦定理可得，， 整理得，. 练2设是椭圆：的两个焦点，是上一点，且满足的面积为，则的取值范围是          ． 【规范解析】 ，，， ，， 又在椭圆上，， ， ，且， 即，当且仅当时取等号， ，， 的取值范围是，，故答案为，． 题型三：焦点三角形内切圆问题 1.椭圆的内切圆问题： 椭圆的标准方程为，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点 重合的任意一点，的内切圆的圆心为，与的三边分别切于，如图所示. 设的坐标为，点的坐标为.则有如下性质： ①； ②，为离心率； 证明： 由切线长定理得：，则 . 设的内切圆半径为,由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则，根据切线长定理 根据椭圆的第二定义得到焦半径公式： ， ， =，即=， , . 2.双曲线的内切圆问题： 双曲线的标准方程为,是双曲线的左、右焦点，为双曲线的右支上异于实轴端点的任意一点，的内心为,与的三边分别切于，如图所示. 设的坐标为，点的坐标为.则有如下性质： 1.； 2. 证明： 由切线长定理得：，则 由内切圆性质得轴，则, . 同理可得：当为双曲线的左支上异于实轴端点的任意一点时，. 例3已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线，的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 利用椭圆中焦点三角形的内心坐标与点坐标之间的关系的结论：，结合，能够快速求出离心率. 【规范解析】 解法一：设，，设圆与，，轴相切于点，， ，， 即 , ， 即得． 解法二：延长交轴于，则， 设，，则 由，得 由， 由，，三点共线，，解得 解法三：取为特殊点，如右焦点上方，则， 由得，. 练3双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，则的面积等于(    ) A. B. C. D. 【规范解析】 解：由题意，作图如下： 设圆与轴、、分别切于点、、， 因为双曲线的右顶点为，，， 所以， 因为， 所以 ， 因此切点与重合． 又因为内切圆的半径为， 所以， 又，， 所以 又， 解得即，解得， 所以， 又，， 所以， 所以面积为． 故选 C． <<<专题训练>>> 1. 已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则的面积为          ，内切圆半径为          ． 【解析】 双曲线：的，，， 设在双曲线的右支上，，， 可得， 在中，可得， 即为，即， 可得， 所以的面积为； 设内切圆半径为， 则 ， 解得． 故答案为：；． 2. 已知，，为曲线：的左、右焦点，点为曲线与曲线：在第一象限的交点，直线为在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则，横坐标之差为(    ) A. B. C. D. 随的变化而变化 【解析】 由题意可得曲线，有相同的焦点，， 且，， 在中，内切圆圆心，设各边的切点分别为，，为双曲线的右顶点， ，可得， 联立，消去可得， 设，且，， 直线的方程为①， 设三角形的内切圆的半径为， 则由等面积可得， 即， ②， 由，，可得直线的斜率为， 直线的方程为③， 联立①②③，化简可得，得， ，． 故选：． 3. 设，同时为椭圆：与双曲线：的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，现有下述四个结论： 若，则； 若，则； 若，则的取值范围是； 若，则的取值范围是． 其中所有正确结论的编号是 A. B. C. D. 【解析】 解：如图，设，，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可 得，解得，． 对于，当时，则，所以， 即，由离心率的公式可得，故正确． 对于，当时，可得，即，可得， 由，可得，可得，即，则， 可设，则， 由在上单调递增，可得，则，故正确． 故选D． 4. (多选)已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则(    ) A. 、在直线上 B. 双曲线的离心率 C. 内切圆半径最小值是 D. 的取值范围是 【解析】 解：对：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图： 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， 同理可得：在直线上， A正确； 对：， 则， ， 易得，则，即， ，故离心率为，B正确； 对：，则， ，双曲线的渐近线方程为，则直线的倾斜角， 设直线的方程为，， 联立方程，消去得：， ， 则， 设内切圆半径为，其周长 ， 根据的面积可得：， 得，当且仅当取等号，C正确； 对：由题意不妨设，直线的倾斜角 ，则 令 ，，则， 由对勾函数的图象与性质，可知在上单调递增， ，D错误； 故选：． 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且椭圆与双曲线：共焦点，若椭圆与双曲线的一个交点满足，则的面积是          ． 【解析】 解：双曲线：化为标准方程是， 因为椭圆与双曲线：共焦点， 所以可设椭圆与双曲线的半焦距都为． 设双曲线：的实半轴为，则． 不妨设交点在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得， 根据椭圆的定义，得． 联立解得 所以由， 得，化简得，解得． 所以双曲线：的半焦距为， 则，． 在中，因为，，所以． 由勾股定理，得是直角三角形，且是直角， 所以的面积是． 故答案为． 6. 椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为          ，若、为椭圆的焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是          ． 【解析】 设弦的端点为，， 代入椭圆的方程得：①，②， 由①-②得， 因为弦的中点坐标为， 所以，， 代入上式得， 所以直线斜率． 因为椭圆的方程为， 所以，， 由余弦定理得 ， 所以，解得， 故． 故答案为：；． 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点点位于第一象限，圆与内切，半径为，则的取值范围是          ． 【解析】 由双曲线的方程可知，实半轴长，虚半轴长，且， 设圆与分别切于，，，如下图所示： 由圆的切线性质可知，，，， 有双曲线定义可知，，即， 设，故，解得 ， 由切线性质可知，与横坐标都为， 又由三角形内切圆的性质可知，为的角平分线， 设直线的倾斜角为，易得， 因为， 故 ， 因为双曲线的渐近线：，所以其倾斜角分别为和， 又因为直线与双曲线的右支交于、两点，所以直线的倾斜角范围为， 所以，， 所以 故答案为 共14页/第3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 圆锥曲线中焦点三角形 【专题探究】 例1【解析】在中，由，所以， 故，， = . 练1【解析】因为O是的中点，点是的中点，所以，， 因为平分，所以，， ，，即. 例2 【解析】方法一：由题知，， ，. 方法二：椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义：， 所以，， 由余弦定理可得，， 整理得，. 练2【解析】，，， ，， 又在椭圆上，， ， ，且， 即，当且仅当时取等号， ，， 的取值范围是，，故答案为，． 例3【解析】解法一：设，，设圆与，，轴相切于点，， ，， 即 , ， 即得． 解法二：延长交轴于，则， 设，，则 由，得 由， 由，，三点共线，，解得 解法三：取为特殊点，如右焦点上方，则， 由得，. 练3【解析】解：由题意，作图如下： 设圆与轴、、分别切于点、、， 因为双曲线的右顶点为，，， 所以， 因为， 所以 ， 因此切点与重合． 又因为内切圆的半径为， 所以， 又，， 所以 又， 解得即，解得， 所以， 又，， 所以， 所以面积为． 故选 C． 【专题训练】 1. 【解析】双曲线：的，，， 设在双曲线的右支上，，， 可得， 在中，可得， 即为，即， 可得， 所以的面积为； 设内切圆半径为， 则 ， 解得． 故答案为：；． 2. 【解析】由题意可得曲线，有相同的焦点，， 且，， 在中，内切圆圆心，设各边的切点分别为，，为双曲线的右顶点， ，可得， 联立，消去可得， 设，且，， 直线的方程为①， 设三角形的内切圆的半径为， 则由等面积可得， 即， ②， 由，，可得直线的斜率为， 直线的方程为③， 联立①②③，化简可得，得， ，． 故选：． 3. 【解析】解：如图，设，，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可 得，解得，． 对于，当时，则，所以， 即，由离心率的公式可得，故正确． 对于，当时，可得，即，可得， 由，可得，可得，即，则， 可设，则， 由在上单调递增，可得，则，故正确． 故选D． 4. 【解析】解：对：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，如图： 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， 同理可得：在直线上， A正确； 对：， 则， ， 易得，则，即， ，故离心率为，B正确； 对：，则， ，双曲线的渐近线方程为，则直线的倾斜角， 设直线的方程为，， 联立方程，消去得：， ， 则， 设内切圆半径为，其周长 ， 根据的面积可得：， 得，当且仅当取等号，C正确； 对：由题意不妨设，直线的倾斜角 ，则 令 ，，则， 由对勾函数的图象与性质，可知在上单调递增， ，D错误； 故选：． 5. 【解析】双曲线：化为标准方程是， 因为椭圆与双曲线：共焦点， 所以可设椭圆与双曲线的半焦距都为． 设双曲线：的实半轴为，则． 不妨设交点在双曲线的右支上， 根据双曲线的定义，得， 根据椭圆的定义，得． 联立解得 所以由， 得，化简得，解得． 所以双曲线：的半焦距为， 则，． 在中，因为，，所以． 由勾股定理，得是直角三角形，且是直角， 所以的面积是． 故答案为． 6. 【解析】设弦的端点为，， 代入椭圆的方程得：①，②， 由①-②得， 因为弦的中点坐标为， 所以，， 代入上式得， 所以直线斜率． 因为椭圆的方程为， 所以，， 由余弦定理得 ， 所以，解得， 故． 故答案为：；． 7. 【解析】由双曲线的方程可知， 实半轴长，虚半轴长，且， 设圆与分别切于，，，如下图所示： 由圆的切线性质可知，，，， 有双曲线定义可知，，即， 设，故，解得 ， 由切线性质可知，与横坐标都为， 又由三角形内切圆的性质可知，为的角平分线， 设直线的倾斜角为，易得， 因为， 故 ， 因为双曲线的渐近线：，所以其倾斜角分别为和， 又因为直线与双曲线的右支交于、两点，所以直线的倾斜角范围为， 所以，， 所以 故答案为 共8页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16：圆锥曲线中焦点三角形 <<<专题综述>>> 焦点三角形是圆锥曲线中的特殊图形,指的是圆锥曲线的两个焦点与曲线上任意一点所构成的三角形. 焦点三角形是高考历年关于解析几何命题的热点问题，涉及了椭圆、双曲线的定义、几何性质以及解三角形等相关知识，综合性强、方法灵活，是考查学生数学思想和综合能力的重要素材. <<<专题探究>>> 题型一：角度和离心率问题 1.若是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，是椭圆的两个焦点. 设，在中， ①由正弦定理可得, 即，即， 故 . ②若平分， 则， 即 ③若为内心，则在线段上，连接, 则分别为的平分线， 则，即. 2. 若是双曲线上异于实轴端点的任意一点，是双曲线的两个焦点. 设，在中， 由正弦定理可得, 即，即， 故. 例1已知椭圆：的左、右焦点分别为，，第一象限的点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 已知焦点三角形中两角，直接利用上述结论即可求出离心率. 练1已知，是椭圆：的左、右焦点，O为坐标原点，点是上点（不在坐标轴上），点是的中点，若平分，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：焦点三角形面积公式及应用 焦点三角形问题常出现在选择题与填空题中，能够直接利用其面积公式与性质，可减少推理与运算，节省运算时间. 1.面积公式： 公式一： ①若是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，是椭圆的两个焦点. 设,则的面积. 证明：由余弦定理可得，在中 所以, . 同理可证，在椭圆中，公式依然成立. ②若是双曲线上异于实轴端点的任意一点，是双曲线的两个焦点. 设,则的面积.（证明略） 公式二： 若P是椭圆或双曲线上一点，是椭圆或双曲线的两个焦点，则的面积. 2.性质： 若是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，是椭圆的两个焦点. 设,则 ①当P在短轴顶点时，取得最大值，此时； ②. 3.应用 利用焦点三角形的面积公式，直接求解面积、求题干条件下的点坐标、求曲线方程、求焦点三角形的边所在直线方程、求参数的取值范围、求离心率的值或取值范围、求与焦点三角形有关的最值问题等. 例2 已知椭圆：和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________. 【思路点拨】 利用焦点三角形面积公式，椭圆中及双曲线中，求出进而求出,得到离心率. 练2 设是椭圆：的两个焦点，是上一点，且满足的面积为，则的取值范围是          ． 题型三：焦点三角形内切圆问题 1.椭圆的内切圆问题： 椭圆的标准方程为，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上不与左、右顶点 重合的任意一点，的内切圆的圆心为，与的三边分别切于，如图所示. 设的坐标为，点的坐标为.则有如下性质： ①； ②，为离心率； 证明： 由切线长定理得：，则 . 设的内切圆半径为,由内切圆性质得轴，当点在第一象限时，则，根据切线长定理 根据椭圆的第二定义得到焦半径公式： ， ， =，即=， , . 2.双曲线的内切圆问题： 双曲线的标准方程为,是双曲线的左、右焦点，为双曲线的右支上异于实轴端点的任意一点，的内心为,与的三边分别切于，如图所示. 设的坐标为，点的坐标为.则有如下性质： 1.； 2. 证明： 由切线长定理得：，则 由内切圆性质得轴，则, . 同理可得：当为双曲线的左支上异于实轴端点的任意一点时，. 例3已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线，的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 利用椭圆中焦点三角形的内心坐标与点坐标之间的关系的结论：，结合，能够快速求出离心率. 练3双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，则的面积等于(    ) A. B. C. D. <<<专题训练>>> 1. 已知、为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则的面积为          ，内切圆半径为          ． 2. 已知，，为曲线：的左、右焦点，点为曲线与曲线：在第一象限的交点，直线为在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则，横坐标之差为(    ) A. B. C. D. 随的变化而变化 3. 设，同时为椭圆：与双曲线：的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，现有下述四个结论： 若，则； 若，则； 若，则的取值范围是； 若，则的取值范围是． 其中所有正确结论的编号是 A. B. C. D. 4. (多选)已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则(    ) A. 、在直线上 B. 双曲线的离心率 C. 内切圆半径最小值是 D. 的取值范围是 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且椭圆与双曲线：共焦点，若椭圆与双曲线的一个交点满足，则的面积是          ． 6. 椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为          ，若、为椭圆的焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是          ． 7. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点点位于第一象限，圆与内切，半径为，则的取值范围是          ． 共6页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$