专题15 圆锥曲线中的切线方程 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题15 圆锥曲线中的切线方程--答案解析 【专题探究】 例1【解析】设，，， 易知切线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， 由， 化简可得， 又点在椭圆上，则，， 代入式，可得，解得，切线方程为， 又，则切线方程为，从而可知， 又为定值， ，，令，， ，单调递增， 故答案为   例2【解析】由题意知，过点与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 联立，得， 由，解得，即切线方程为， 此时切点坐标为，，为直角三角形，， 所以． 证明：设，， 则切线为，切线为， 设，则，，所以直线的方程为， 又点在直线：上，所以，即， 代入，得，即， 所以直线过定点， 又因为，所以点在以为直径，为圆心的定圆上， 所以为定值，且．  练1【解析】设，， 则：，即， 过，作切线交于，则：， 所以，，即，， 因为点为椭圆：上的动点， 所以， 可得点的轨迹方程为，故C错误，D正确； 因为，， 所以 ， 当，时， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为，故A正确，B错误． 故选：． 练2【解析】由题意，，，所以椭圆方程为， 设，，， 设直线的方程为， ，． ， 化简得，所以， 因为方程只有一解，所以， 故直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为， 又因为两切线都经过点，所以， 所以直线的方程为， 又因为，所以直线的方程为， 令，得， 所以直线恒过定点  例3【解析】显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， 则，化简得， 因为方程有两个相等实根，所以，，， 故的方程：，， 故直线的方程为 同理可得的方程， 又，均过，所以，，故AB的方程为， 又，， ， 又，，所以，， 则，， ，， 故，，，故． 例4【解析】因为双曲线的右焦点为，所以 因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以 所以，即双曲线 设，，，，， 则切线，切线， 因为直线与直线交于点，所以，， 所以点，满足方程，即直线 同理可得直线， 因为点在直线上，所以，即点在直线上， 因为，，所以， 所以，即，所以直线， 由得 所以 因为点到直线的距离为，所以 令，，，， 因为 所以，，单调递减，，，单调递增， 所以．  练3【解析】解：设，， 可知过点的切线斜率存在，设切线方程为， 联立 可得， 则且， 化简可得， 即， 因为，所以，， 即， 显然，可得， 则切线方程为，即， 令，可得，则， 可得，， 则恒成立即恒成立， 则有，可得， 双曲线的方程为， 则，， ， 令，则， 当时， ， 令， 则， 当时，，此时， 则函数在上单调递减， 当时，； 当时， ， 可知函数在上单调递增， 当时，； 综上可得，， 即的取值范围为． 故答案为：． 练4【解析】由于双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为， 将点代入得到：，所以双曲线的方程为：，即； 设，， 设过的切线方程：，代入双曲线方程有： ． 令得：． 因为点在双曲线上，所以， 整理得，， 当时，解得，则切线； 同理切线． 当时，，切线方程为， 检验知上述结论仍然成立，同理当时，，：，检验知上述结论成立， 因为点在直线，上，所以， 所以点，都是直线上的点，即 又点在直线上， 则代入式有：，则定点为． 所以直线过定点． 例5【解析】设，， 则切线的方程为：整理得， 同理切线的方程为：， 联立方程组，解得，则，错； 因为弦的中点为，所以，轴，对． 因为抛物线的焦点为，，所以， 因为直线的方程为，则， 因为，所以，对．因为，所以，对， 故选BCD． 例6【解析】解：由题意知， 抛物线的焦点为， 准线方程为， 设， 点， 则， 得直线的方程为， 且，化简得， 同理可得， 切线的方程为， 又因为切线过点， 所以有， 同理可得， 所以直线的方程为， 故直线经过点， 设点， 由可知曲线在点处的切线方程为， 联立方程组，得 且，， 解得 即， 同理解得， 由，设过点的切线方程为， 联立得 消去，得， ， 得， 记关于的一元二次方程的两根为， 其中分别为切线、的斜率， 则，所以， 故线段即为的外接圆的直径， 设直线方程为， 由 消去可得， 则， 因为， ， 所以 将代入上式， 可得， 所以的外接圆过定点． 练5【解析】设，，直线的方程为：， 联立消去，得．． 由韦达定理，得，， 于是．点到直线的距离：， 于是的面积， 当时，面积最小，为，，故选B． 练6【解析】解：由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得，同理， ， 所以，互相垂直． 当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为． 联立，解得 将式代入化简得 则点在定直线上 线段的中点为， 由可得，，， 则． ， 又， 将式代入得，， 则， 由，，，则． 的取值范围为． 【专题训练】 1.【解析】设切点，则由结论可知过点的切线方程为， 又因为点也在该切线上，所以， 同理过切点的切线方程为，同理点也在切线上，所以， 所以过切点，的直线方程为， 又因为点也在直线上，所以， 联立可知， 由于点的任意性，所以即．所以定点为． 故选B． 2.【解析】设点的坐标为，则直线的斜率为， 直线的方程为，其斜率为， 直线与直线的斜率之积为,,即,离心率． 故选：． 3.【解析】设，， 可得处的切线的方程为，处的切线的方程为， 又切线，都过，可得，， 由两点确定一条直线，可得的方程为， 可得，故A正确； 联立，可得，即有，， 由， 即不垂直于，故B错误； 由，，到直线的距离为，， 所以的面积在递增， 可得的最大值为，故C正确； 由，设， 由，，消去，，可得， 解得，故D正确． 故选：． 4.【解析】解：设双曲线渐近线上的点，， 当时，过点的切线方程为， 当时，过点的切线方程为，即， 代入双曲线方程可得， 则，且， 因为，所以，解得， 所以在点处的切线方程为，当时也符合， 且点，又在切线上，所以，则， 所以，即有， 故答案为： 5.【解析】设点，由题意得，， 则， 因为在椭圆上，所以，即， 则，得， 因为的面积最大值为， 所以，解得，， 故椭圆的方程为：； 设处椭圆的切线方程为， 由，消去得， ， 解得，所以处的切线方程为， 设，同理可得处的切线方程为， 由得交点横坐标， 可设点，，则有 所以直线的方程为，可知，又， 所以，所以，即证．  6.【解析】由题意得，，，解得，， 所以椭圆的方程为 由题意得，，显然的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，消整理得， ，，， 由题意知，，不在轴上，则分别作在点，上的两条切线的斜率存在， 联立过，的切线方程，整理得． 相减可得，即， 化简可得，代入，可得，故． 设的中点为，则，，故， 因为，，所以， 所以，，三点共线， 又过作平行于的直线分别交，于，，易得∽， 取中点，根据三角形的性质有，，，四点共线， 结合椭圆的对称性有， 当且仅当时取等号， 所以. 7.【解析】依题意，离心率，，解得，， 故双曲线的方程为 方法一：设，，直线为，代入双曲线方程 得：，则且， ，， 直线方程为，令得：，， 直线为，令得：，即， 设线段的中点坐标为， 则，， 过点的切线方程为：， 要证双曲线在点处的切线平分线段，即证点处的切线经过线段的中点． 所以点处的切线经过线段的中点，即点处的切线平分线段 方法二：设，，则， 由题意可知，点在直线上，且纵坐标为， 设，由可得：， 整理得：，， 同理可得， 设线段的中点坐标为，则，， 又过点的切线方程为：， 要证双曲线在点处的切线平分线段，即证点处的切线经过线段的中点， ， ， 所以点处的切线经过线段的中点，即点处的切线平分线段．  8.【解析】根据题意，设，，， 所以切线的方程为，切线的方程为． 因为上述两条直线都过点， 把的坐标代入两方程，得和． 这两个方程说明点，都在直线上， 而此直线过定点， 所以直线过定点 设直线的方程为总存在，，， 联立方程组消去，得，， 所以，， ， 联立方程组消去，得， 所以，， ， 所以．所以的最小值为．  9.【解析】解：Ⅰ设动圆圆心为，半径为， 则，即， 整理得的方程为． Ⅱ设， 由Ⅰ可知为的焦点， 由题可知的方程为， 联立可得， 则，， 所以， 由，可得， 解得或， 即的取值范围是 设点处的切线方程为， 联立，可得， 由，可得． 所以点处的切线方程为． 同理点处的切线方程为． 由并结合解得，即， 所以点到直线的距离为． 所以，解得， 所以直线的方程为或． 共15页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15：圆锥曲线中的切线方程 <<<专题综述>>> 切线问题的重要性不言而喻，我们前面都尽量避免让同学们去记—些结论。—是有些结论确实不好记（比如焦半径，它取决于曲线的类型和焦点的位置），二是出现的频率也不是很高。但是在本小节，建议同学们要记一些结论，因为这里的结论很好记。当然最重要的还是掌握推导的过程。 <<<专题探究>>> 题型一：椭圆中的切线问题 例1已知椭圆，过椭圆在第二象限上的任意一点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，过点作，垂足为，则的取值范围是          ． 【思路点拨】 设出点坐标，利用得出切线方程，求出点坐标，计算出为定值，结合的取值范围，可求出答案． 【规范解析】 解：设，，， 易知切线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， 由， 化简可得， 又点在椭圆上，则，， 代入式，可得，解得，切线方程为， 又，则切线方程为，从而可知， 又为定值， ，， 令，， ，单调递增， 故答案为   例2如图所示，已知椭圆：与直线：点在直线上，由点引椭圆的两条切线，，，为切点，是坐标原点． 若点为直线与轴的交点，求的面积； 若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值． 【思路点拨】 设出直线方程，与椭圆方程联立，根据，求出直线的斜率，从而求切点的坐标，根据切点的坐标，判断为直角三角形，从而求的面积． 先写出切线和，根据切线方程，求出直线的方程，可得直线过定点，故点在以为直径，为圆心的定圆上，从而可求． 【规范解析】 解：由题意知，过点与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为， 联立，得， 由，解得，即切线方程为， 此时切点坐标为，，为直角三角形，， 所以． 证明：设，， 则切线为，切线为， 设，则，， 所以直线的方程为， 又点在直线：上，所以，即， 代入，得，即， 所以直线过定点， 又因为，所以点在以为直径，为圆心的定圆上， 所以为定值，且．  练1如图，为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的轨迹是 D. 的轨迹是 【思路点拨】 由椭圆的性质及圆的性质求出直线的方程，对比系数可得，，由点在椭圆上可得点的轨迹方程，由三角形的表面积公式及向量的模、向量的数量积运算可得，由基本不等式即可求得的最大值，从而可求得结论． 【规范解析】 解：设，， 则：，即， 过，作切线交于，则：， 所以，，即，， 因为点为椭圆：上的动点， 所以， 可得点的轨迹方程为，故C错误，D正确； 因为，， 所以 ， 当，时， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为，故A正确，B错误． 故选：． 练2已知椭圆的短轴长为，椭圆上一点到两焦点的距离之和是 求椭圆的方程； 若直线方程是，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【思路点拨】 根据已知及椭圆的概念及标准方程的计算，求出椭圆的方程； 根据已知及椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题的计算，可知直线过定点，求出该定点的坐标． 【规范解析】 解：由题意，，，所以椭圆方程为， 设，，， 设直线的方程为， ，． ， 化简得，所以， 因为方程只有一解，所以， 故直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为， 又因为两切线都经过点，所以， 所以直线的方程为， 又因为，所以直线的方程为， 令，得， 所以直线恒过定点  题型二：双曲线中的切线问题 例3如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且，． 证明：直线的方程为． 设为双曲线的左焦点，证明：． 【思路点拨】 设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式表示的横坐标与纵坐标，进而表达出直线方程，化简即可； 在第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明结论． 【规范解析】 证明：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， 则，化简得， 因为方程有两个相等实根， 所以，，， 故的方程：，， 故直线的方程为 同理可得的方程， 又，均过，所以，，故AB的方程为， 又，， ， 又，，所以，， 则，， ，， 故，，，故． 例4 设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为． 求双曲线的方程； 若，点在线段上不含端点，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值． 【思路点拨】 (1)直接利用双曲线的定义求解即可； (2) 设切线为，有切线方程的结论可求出直线和，从而可得直线的方程，同理可求出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示面积，最后利用导数求其最值即可. 【规范解析】 解：因为双曲线的右焦点为，所以 因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以 所以，即双曲线 设，，，，， 则切线，切线， 因为直线与直线交于点，所以，， 所以点，满足方程，即直线 同理可得直线， 因为点在直线上，所以，即点在直线上， 因为，，所以， 所以，即，所以直线， 由得 所以 因为点到直线的距离为，所以 令，，，， 因为 所以，，单调递减，，，单调递增， 所以．  练3已知双曲线：的右焦点是，动点在上．若过点作的切线与直线相交时，记其交点为，恒成立，则的取值范围为          ． 【思路点拨】 设，，设切线方程为，与双曲线方程联立，由求得，再求得点的坐标，由恒成立可求得，则，分和讨论，结合函数的单调性求得范围即可． 【规范解析】 解：设，， 可知过点的切线斜率存在，设切线方程为， 联立 可得， 则且， 化简可得， 即， 因为，所以，， 即， 显然，可得， 则切线方程为，即， 令，可得，则， 可得，， 则恒成立即恒成立， 则有，可得， 双曲线的方程为， 则，， ， 令，则， 当时， ， 令， 则， 当时，，此时， 则函数在上单调递减， 当时，； 当时， ， 可知函数在上单调递增， 当时，； 综上可得，， 即的取值范围为． 故答案为：． 练4已知双曲线的渐近线方程为，且经过点． 求双曲线的方程； 若点是直线上一动点，过点引双曲线两条切线，切点为，，试探究：直线是否恒过定点若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 设双曲线方程为，将点代入得到，可得双曲线方程； 把切线的方程代入双曲线方程，得到，利用得到，得到直线的方程，同理得到的方程，从而得到直线的方程，结合点在直线上，可得到，得到定点． 【规范解析】 解：由于双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线方程为， 将点代入得到：，所以双曲线的方程为：，即； 设，， 设过的切线方程：，代入双曲线方程有： ． 令得：． 因为点在双曲线上，所以， 整理得，， 当时，解得，则切线； 同理切线． 当时，，切线方程为， 检验知上述结论仍然成立，同理当时，，：，检验知上述结论成立， 因为点在直线，上，所以， 所以点，都是直线上的点，即 又点在直线上， 则代入式有：，则定点为． 所以直线过定点． 题型三：抛物线中的切线问题 特别提醒：过抛物线上一点处的切线方程为：, 过抛物线外一点引两条切线的切点弦方程为：. 例5阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号若抛物线上任意两点，处的切线交于点，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，的直线的方程为，弦的中点为，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是(    ) A. 点 B. 轴 C. D. 【思路点拨】 根据抛物线的二级结论求出直线，的方程，解出交点即可逐一判断选项． 【规范解析】 设，， 则切线的方程为：整理得， 同理切线的方程为：， 联立方程组，解得，则，错； 因为弦的中点为，所以，轴，对． 因为抛物线的焦点为，，所以， 因为直线的方程为，则， 因为，所以，对．因为，所以，对， 故选BCD． 例6设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上过点作抛物线的两条切线，切点分别为已知抛物线上有一动点，位于点之间若抛物线在点处的切线与切线相交于点求证： 直线经过点 的外接圆过定点． 【思路点拨】 设，，利用导数的几何意义分别求出切线、的方程，将点分别代入可得直线的方程，即可证明； 设，由可知曲线在点处的切线方程，求出点、坐标；根据代数法和可证明，则线段为的外接圆的直径设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系数关系表示，结合平面向量数量积的坐标表示计算化简可得，即可证明． 【规范解析】 解：由题意知， 抛物线的焦点为， 准线方程为， 设， 点， 则， 得直线的方程为， 且，化简得， 同理可得， 切线的方程为， 又因为切线过点， 所以有， 同理可得， 所以直线的方程为， 故直线经过点， 设点， 由可知曲线在点处的切线方程为， 联立方程组，得 且，， 解得 即， 同理解得， 由，设过点的切线方程为， 联立得 消去，得， ， 得， 记关于的一元二次方程的两根为， 其中分别为切线、的斜率， 则，所以， 故线段即为的外接圆的直径， 设直线方程为， 由 消去可得， 则， 因为， ， 所以 将代入上式， 可得， 所以的外接圆过定点． 练5过点作抛物线的两条切线，切点分别是，，若面积的最小值为，则(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 利用抛物线二级求出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离表示的面积，利用二次函数的性质即可求解. 【规范解析】 解：设，，直线的方程为：， 联立消去，得．． 由韦达定理，得，， 于是． 点到直线的距离：， 于是的面积， 当时，面积最小，为，，故选B． 例6已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，其斜率分别为，，交点为． 当直线过焦点时，证明：，互相垂直． 当时，设弦的中点为． 点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 求的最大值． 【思路点拨】 联立方程组，利用分别用点，的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； 联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； 由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可． 【规范解析】 解：由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得， 则，解得，同理， ， 所以，互相垂直． 当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且， 则 直线与交于点，设， 抛物线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为． 联立，解得 将式代入化简得 则点在定直线上 线段的中点为， 由可得，，， 则． ， 又， 将式代入得，， 则， 由，，，则． 的取值范围为． <<<专题训练>>> 1.圆上一点处的切线的方程为，类比可知椭圆上一点处的切线的方程为利用此结论解决如下问题：已知椭圆，直线，过直线上任一点作椭圆的两条切线与椭圆有且只有一个交点，切点分别为，，则直线所过的定点为(    ) A. B. C. D. 【解析】 设切点，则由结论可知过点的切线方程为， 又因为点也在该切线上，所以， 同理过切点的切线方程为， 同理点也在切线上，所以， 所以过切点，的直线方程为， 又因为点也在直线上，所以， 联立可知， 由于点的任意性，所以即． 所以定点为． 故选B． 2.过双曲线：上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 【解析】 设点的坐标为，则直线的斜率为， 直线的方程为，其斜率为， 直线与直线的斜率之积为，，即， 离心率． 故选：． 3.已知抛物线,点,,过作抛物线的两条切线，，其中，为切点,且在第一象限,直线与轴交于点,则下列结论正确的有(  ) A. 点的坐标为 B. C. 的面积的最大值为 D. 的取值范围是 【解析】 解：设，， 可得处的切线的方程为，处的切线的方程为， 又切线，都过，可得，， 由两点确定一条直线，可得的方程为， 可得，故A正确； 联立，可得，即有，， 由， 即不垂直于，故B错误； 由，，到直线的距离为，， 所以的面积在递增， 可得的最大值为，故C正确； 由，设， 由，，消去，，可得， 解得，故D正确． 故选：． 4.如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于，两点，则          ． 【解析】 解：设双曲线渐近线上的点，， 当时，过点的切线方程为， 当时，过点的切线方程为，即， 代入双曲线方程可得， 则，且， 因为，所以，解得， 所以在点处的切线方程为，当时也符合， 且点，又在切线上，所以，则， 所以，即有， 故答案为： 5.已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为、,是椭圆上异于、的任意一点,、斜率之积为，且的面积最大值为． 求椭圆的方程 直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点求证：． 【解析】 解：设点，由题意得，， 则， 因为在椭圆上，所以，即， 则，得， 因为的面积最大值为， 所以，解得，， 故椭圆的方程为：； 设处椭圆的切线方程为， 由，消去得， ， 解得，所以处的切线方程为， 设，同理可得处的切线方程为， 由得交点横坐标， 可设点，，则有 所以直线的方程为，可知，又， 所以，所以，即证．  6.已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为． 求的方程 设任意过的直线为交于，，分别作在点，上的两条切线，并记它们的交点为，过作平行于的直线分别交于，，求的取值范围． 【解析】 解：由题意得，，，解得，， 所以椭圆的方程为 由题意得，，显然的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，消整理得， ，，， 由题意知，，不在轴上，则分别作在点，上的两条切线的斜率存在， 联立过，的切线方程，整理得． 相减可得，即， 化简可得，代入，可得，故． 设的中点为，则，，故， 因为，，所以， 所以，，三点共线， 又过作平行于的直线分别交，于，，易得∽， 取中点，根据三角形的性质有，，，四点共线， 结合椭圆的对称性有， 当且仅当时取等号， 所以. 7.已知双曲线的离心率为，并且经过点． 求双曲线的方程． 若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段． 【解析】 解：依题意，离心率，，解得，， 故双曲线的方程为 方法一：设，，直线为，代入双曲线方程 得：，则且， ，， 直线方程为，令得：，， 直线为，令得：，即， 设线段的中点坐标为， 则，， 过点的切线方程为：， 要证双曲线在点处的切线平分线段，即证点处的切线经过线段的中点． 所以点处的切线经过线段的中点，即点处的切线平分线段 方法二：设，，则， 由题意可知，点在直线上，且纵坐标为， 设，由可得：， 整理得：，， 同理可得， 设线段的中点坐标为， 则，， 又过点的切线方程为：， 要证双曲线在点处的切线平分线段，即证点处的切线经过线段的中点， ， ， 所以点处的切线经过线段的中点，即点处的切线平分线段．  8.已知点是抛物线的准线上的任意一点，过点作的两条切线，，其中，为切点． 证明：直线过定点，并求出定点坐标； 若直线交椭圆于，两点，求的最小值． 【解析】 解：根据题意，设，，， 所以切线的方程为，切线的方程为． 因为上述两条直线都过点， 把的坐标代入两方程，得和． 这两个方程说明点，都在直线上， 而此直线过定点， 所以直线过定点 设直线的方程为总存在，，， 联立方程组消去，得，， 所以，， ， 联立方程组消去，得，所以，， ， 所以． 所以的最小值为．  9. 已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线． Ⅰ求的方程． Ⅱ若过点且斜率为的直线与交于，两点，分别作在点，处的切线，两条切线交于点． (ⅰ)若，求的取值范围 (ⅱ)若的面积为，求直线的方程． 【解析】 解：Ⅰ设动圆圆心为，半径为， 则，即， 整理得的方程为． Ⅱ设， 由Ⅰ可知为的焦点， 由题可知的方程为， 联立可得， 则，， 所以， 由，可得， 解得或， 即的取值范围是 设点处的切线方程为， 联立，可得， 由，可得． 所以点处的切线方程为． 同理点处的切线方程为． 由并结合解得，即， 所以点到直线的距离为． 所以，解得， 所以直线的方程为或． 共22页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15：圆锥曲线中的切线方程 <<<专题综述>>> 切线问题的重要性不言而喻，我们前面都尽量避免让同学们去记—些结论。—是有些结论确实不好记（比如焦半径，它取决于曲线的类型和焦点的位置），二是出现的频率也不是很高。但是在本小节，建议同学们要记一些结论，因为这里的结论很好记。当然最重要的还是掌握推导的过程。 <<<专题探究>>> 题型一：椭圆中的切线问题 例1已知椭圆，过椭圆在第二象限上的任意一点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，过点作，垂足为，则的取值范围是          ． 【思路点拨】 设出点坐标，利用得出切线方程，求出点坐标，计算出为定值，结合的取值范围，可求出答案． 例2如图所示，已知椭圆：与直线：点在直线上，由点引椭圆的两条切线，，，为切点，是坐标原点． 若点为直线与轴的交点，求的面积； 若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值． 【思路点拨】 设出直线方程，与椭圆方程联立，根据，求出直线的斜率，从而求切点的坐标，根据切点的坐标，判断为直角三角形，从而求的面积． 先写出切线和，根据切线方程，求出直线的方程，可得直线过定点，故点在以为直径，为圆心的定圆上，从而可求． 练1如图，为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则(    ) A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的轨迹是 D. 的轨迹是 【思路点拨】 由椭圆的性质及圆的性质求出直线的方程，对比系数可得，，由点在椭圆上可得点的轨迹方程，由三角形的表面积公式及向量的模、向量的数量积运算可得，由基本不等式即可求得的最大值，从而可求得结论． 练2已知椭圆的短轴长为，椭圆上一点到两焦点的距离之和是 求椭圆的方程； 若直线方程是，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，设切线的斜率都存在试问直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【思路点拨】 根据已知及椭圆的概念及标准方程的计算，求出椭圆的方程； 根据已知及椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定点与定值问题的计算，可知直线过定点，求出该定点的坐标． 题型二：双曲线中的切线问题 例3如图，已知双曲线，过向双曲线作两条切线，切点分别为，，且，． 证明：直线的方程为． 设为双曲线的左焦点，证明：． 【思路点拨】 设出切线方程，联立后用韦达定理及根的判别式表示的横坐标与纵坐标，进而表达出直线方程，化简即可； 在第一问的基础上，利用向量的夹角公式表达出夹角的余弦值，进而证明结论． 例4 设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为． 求双曲线的方程； 若，点在线段上不含端点，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值． 【思路点拨】 (1)直接利用双曲线的定义求解即可； (2) 设切线为，有切线方程的结论可求出直线和，从而可得直线的方程，同理可求出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示面积，最后利用导数求其最值即可. 练3已知双曲线：的右焦点是，动点在上．若过点作的切线与直线相交时，记其交点为，恒成立，则的取值范围为          ． 【思路点拨】 设，，设切线方程为，与双曲线方程联立，由求得，再求得点的坐标，由恒成立可求得，则，分和讨论，结合函数的单调性求得范围即可． 练4.已知双曲线的渐近线方程为，且经过点． 求双曲线的方程； 若点是直线上一动点，过点引双曲线两条切线，切点为，，试探究：直线是否恒过定点若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【思路点拨】 设双曲线方程为，将点代入得到，可得双曲线方程； 把切线的方程代入双曲线方程，得到，利用得到，得到直线的方程，同理得到的方程，从而得到直线的方程，结合点在直线上，可得到，得到定点． 题型三：抛物线中的切线问题 特别提醒：过抛物线上一点处的切线方程为：, 过抛物线外一点引两条切线的切点弦方程为：. 例5阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号若抛物线上任意两点，处的切线交于点，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，的直线的方程为，弦的中点为，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是(    ) A. 点 B. 轴 C. D. 【思路点拨】 根据抛物线的二级结论求出直线，的方程，解出交点即可逐一判断选项． 例6设抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上过点作抛物线的两条切线，切点分别为已知抛物线上有一动点，位于点之间若抛物线在点处的切线与切线相交于点求证： 直线经过点 的外接圆过定点． 【思路点拨】 设，，利用导数的几何意义分别求出切线、的方程，将点分别代入可得直线的方程，即可证明； 设，由可知曲线在点处的切线方程，求出点、坐标；根据代数法和可证明，则线段为的外接圆的直径设直线方程，联立抛物线方程，利用根与系数关系表示，结合平面向量数量积的坐标表示计算化简可得，即可证明． 练5过点作抛物线的两条切线，切点分别是，，若面积的最小值为，则(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 利用抛物线二级求出直线AB的方程，然后利用点到直线的距离表示的面积，利用二次函数的性质即可求解. 例6已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点，处的切线分别为，，其斜率分别为，，交点为． 当直线过焦点时，证明：，互相垂直． 当时，设弦的中点为． 点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 求的最大值． 【思路点拨】 联立方程组，利用分别用点，的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； 联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； 由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可． <<<专题训练>>> 1.圆上一点处的切线的方程为，类比可知椭圆上一点处的切线的方程为利用此结论解决如下问题：已知椭圆，直线，过直线上任一点作椭圆的两条切线与椭圆有且只有一个交点，切点分别为，，则直线所过的定点为(    ) A. B. C. D. 2.过双曲线：上一点作双曲线的切线，若直线与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线,点,,过作抛物线的两条切线，，其中，为切点,且在第一象限,直线与轴交于点,则下列结论正确的有(  ) A. 点的坐标为 B. C. 的面积的最大值为 D. 的取值范围是 4.如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于，两点，则          ． 5.已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为、,是椭圆上异于、的任意一点,、斜率之积为，且的面积最大值为． 求椭圆的方程 直线交椭圆于另一点，分别过、作椭圆的切线，这两条切线交于点求证：． 6.(2023·江苏省南通市模拟)已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为． 求的方程 设任意过的直线为交于，，分别作在点，上的两条切线，并记它们的交点为，过作平行于的直线分别交于，，求的取值范围． 7.已知双曲线的离心率为，并且经过点． 求双曲线的方程． 若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段． 8. 已知点是抛物线的准线上的任意一点，过点作的两条切线，，其中，为切点． 证明：直线过定点，并求出定点坐标； 若直线交椭圆于，两点，求的最小值． 9. 已知平面内一动圆过点，且轴被该圆截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线． Ⅰ求的方程． Ⅱ若过点且斜率为的直线与交于，两点，分别作在点，处的切线，两条切线交于点． (ⅰ)若，求的取值范围 (ⅱ)若的面积为，求直线的方程． 共10页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$