专题14 圆锥曲线中的特殊“弦” 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题14：圆锥曲线中的特殊“弦” <<<专题综述>>> 在高考中,圆锥曲线的综合问题常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体进行考查.而直线与圆锥曲线的弦长问题是圆锥曲线中常见的一种题型, 本专题主要研究三种特殊的弦的解答思路：1.中点弦问题；2.抛物线的焦点弦问题；3.动弦过定点问题。 <<<专题探究>>> 题型一：中点弦问题 直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使 用韦达定理来计算。对于这个类型的题，首先设出弦的两端点，然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。 答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理） 第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则, 第二步: 两式相减得， 第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为, 化简可得. • 椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例） 如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法） 注：若焦点在轴上的椭圆，则. • 双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例） 如图所示，为弦的中点，则; 注：若焦点在轴上的双曲线，则. • 抛物线中点弦结论 如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为， 则. 即： 注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.即：. 例1已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为.证明：. 【思路点拨】 设，，利用点差法得出值,利用在椭圆内求解. 【规范解析】 设，， 线段的中点为，，． 将，代入椭圆：中，可得， 两式相减可得，， 即，． 点在椭圆内，即， 解得， 例2已知双曲线． 过点的直线与双曲线交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程； 直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，求点的轨迹方程， 【思路点拨】 利用点差法求解即可.联立直线与双曲线方程，求得，两点．即可求得点的轨迹方程． 【规范解析】 设，，则， 两式相减得，即， 因为点是线段的中点，所以， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 联立方程组得，满足， 故直线的方程为． 联立方程组得， 因为直线：与双曲线有唯一的公共点， ，得， 所以的坐标为，其中， 因为过点且与垂直的直线为，令，得，令，， 所以， 故点的轨迹方程为：，  的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为且不包含两个顶点的双曲线． 练1已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点若直线的斜率为，则的离心率为          ． 【思路点拨】 利用点差法可表示出，，由平行关系易知，，三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入，，整理可得，关系，利用双曲线 可求得离心率． 【规范解析】 解：如图 设，，线段的中点， ，两式相减得：， 设，，线段的中点， 同理可得：   ，易知，，三点共线， ，将代入得：，即 ，即， ， 故答案为． 练2 .已知椭圆：的右焦点为，顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形． 求椭圆的标准方程； 设，为坐标原点，，是椭圆上两点，且的中点在线段不含端点、上，求面积的取值范围． 【思路点拨】 (1) 由条件得，求出，，即可得到结果； 设，根据“点差法”求得设直线的方程为，于是，求得以及原点到直线的距离，于是，根据，即可求得结果． 【规范解析】 解：依题意： 椭圆的标准方程为； 设，则的中点在线段上，且，则． 又，两式相减得：． 易知：，， 设直线的方程为，联立得：． 由． 又， 原点到直线的距离 ， 当时取得等号，   题型二：抛物线的焦点弦 抛物线的焦点为，过的焦点弦的倾斜角为， 其中，则有如下性质： 1.以为直径的圆与抛物线相切. 2.以或为直径的圆与轴相切. 3.过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 4.. 5.弦长;. 6.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. 例3设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，． 求的方程； 设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程． 【思路点拨】 (1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程； (2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系,借助三角恒等变换和基本不等式求解. 【规范解析】 抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为， 此时，所以，所以抛物线的方程为； 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得，所以 又因为直线、的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以， 所以直线． 练3已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点在抛物线上． 求该抛物线的方程及其准线方程； 直线过抛物线的焦点，交该抛物线于，两点，且，求的长度． 【思路点拨】 利用待定系数法,设出抛物线的方程,利用点在抛物线上,即可求出抛物线方程,从而得到准线方程； 设点在第一象限，直线的倾斜角为，由抛物线的定义求出和，由题意求出，从而求出和，即可得到答案． 【规范解析】 因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点， 设抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，解得， 故抛物线的方程为，其准线方程； 根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为， 由抛物线的定义可知，，即，同理可得， 因为，则，即， 所以， 故．  练4如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且． 求抛物线方程； 设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围． 【思路点拨】 求出的值后可求抛物线的方程． 设，，联立直线的方程和抛物线的方程，以及直线的方程和直线的方程，求出，点坐标，联立直线方程和直线的方程可求出，根据题设条件可得，从而可求直线在轴上截距的取值范围． 【规范解析】 由题意知，故抛物线方程为； 设直线的方程为， 联立， ，，， 设直线的方程为：，联立，  ， ，， ， 直线的方程：，联立 同理， ， ， ， 令，则，  ，， 解得或且， 故直线在轴上截距的取值范围为：  题型三：动弦过定点问题 若直线过的定点在已知直线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考查判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。 例4已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点为坐标平面内的一点，且，，为坐标原点． 求椭圆的方程； 设为椭圆的左顶点，，是椭圆上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，， 且，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【思路点拨】 根据已知条件得到，根据离心率得到，由此可得椭圆的标准方程； 设直线方程为，把直线和椭圆进行联立，根据得，找出，的斜率之间的关系，借助韦达定理求出和之间的关系，从而求出直线恒过的定点． 【规范解析】 设点坐标为，，，则，， 由题意得，解得， 又，， 所求椭圆的方程为： 证明：依题直线斜率存在， 设直线方程为，且 联立方程 ，，又由，， 设直线，斜率分别为，，则，即：， 化简得：得：，或 当时，，过点，不合题意舍去 当时，，过点， 直线恒过定点．  例5已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点满足． 求动点的轨迹方程 若动点在双曲线上，设双曲线的左支上有两个不同的点，，点，且，直线与双曲线交于另一点证明：动直线经过定点． 【思路点拨】 由题意，结合双曲线的概念，可得动点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，且，，进而求解即可 设直线的方程为，设，，则，联立，结合根与系数的关系，可得，，结合，化简可求得，即可证明． 【规范解析】 解：因为， 所以动点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支， 则，，可得，，， 所以点的轨迹方程为 证明：由题意知双曲线的方程为， ，直线垂直于轴，易知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设，，则， 联立，化简得：， 直线与双曲线有两个交点，需满足或， ，， 又， 又、、三点共线，且斜率存在，，即， ，， ，化简得：， ，，即，满足判别式大于， 即直线方程为， 所以直线过定点． 练5已知椭圆过点，且离心率为． 求椭圆的标准方程； 点是椭圆与轴正半轴的交点，点，在椭圆上且不同于点，若直线、的斜率分别是、，且，试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【思路点拨】 由椭圆过，且离心率为，列方程组，解得，，，进而可得答案． 设直线：，由，得直线：，联立直线与椭圆的方程，得，，解得点坐标，同理可得点坐标，写出直线的方程，即可得出答案． 【规范解析】 由题知，即， 又因为，所以椭圆的方程可化为， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为． 由题可知，直线，的斜率一定存在且不为， 设直线：，因为，所以直线：， 联立，得， 所以，所以， 因为，所以， 代入，得，即， 用代换，即得，所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线恒过定点．  练6抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．   求抛物线的标准方程； 当时，求弦的长； 已知点，直线，分别与抛物线交于点，证明：直线过定点． 【思路点拨】  由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程； 写出的方程，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则； 设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点． 【规范解析】 解：曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为 ；  由知，当时，，所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦 ； 由知，直线的斜率不为，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，． 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，得， 同理可得， 所以 ， 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点． <<<专题训练>>> 1.已知，在抛物线上，且线段的中点为，则(    ) A. B. C. D. 【解析】设，，由中点坐标公式可知：，且，， 两式相减可得，，则直线的斜率，， 直线的方程为即， 联立方程可得 故． 故答案为：． 2..已知双曲线：，过点的直线与相交于，两点，且的中点，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 【解析】解：设，， 由的中点为得，， 由，两式相减得， 则． 直线的斜率， ，则， 双曲线的离心率． 故选B． 3.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【解析】如图，易知抛物线的焦点为，准线方程为． 由题意两直线斜率一定存在， 设，且，则 联立得 则，， 则根据抛物线定义可得  同理可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 故选A． 4..已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为          ． 【解析】解：设，，则的中点， 由题意可得，，将，的坐标代入椭圆的方程作差可得，整理可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理可得． 5.(多选)已知双曲线：，若圆与双曲线的渐近线相切，则(    ) A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的离心率 C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为，，则 D. 直线与交于，两点，点为弦的中点，若为坐标原点的斜率为，则 【解析】由题意知的渐近线方程为，而圆的圆心为，所以，解得， 所以双曲线实轴长为，故A错误， 所以半焦距，所以，故B正确， 设，所以，， 所以，故C正确， 对于选项D：设，，所以，， 两式相减，得， 所以，， 所以，所以， 所以，所以，所以故D正确， 故选． 6.(多选)已知椭圆的左右焦点分别为，过的直钱交椭圆于两点均异于点为椭圆的右顶点，则(    ) A. 的周长为 B. 若直线与直线的倾斜角分别为，且，则 C. 若轴，则 D. 若的斜率存在，且的中点为，则为坐标原点 【解析】解：对于，因为，所以，， 由椭圆的定义，可知的周长为，故A错误； 对于，因为，所以，因为，， 所以，从而得到，故B正确； 对于，因为，所以，所以，故C错误； 对于，设， 则 所以， 因为中点为，故 所以， 即，即，故D正确． 故选BD． 7.在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大，记点的轨迹为曲线． 求的方程 设过点且不与轴重合的直线与交于，两点，求证：在曲线上存在点，使得直线，，的斜率成等差数列． 【解析】解：设， 由题意，得,两边平方并整理，得． 故所求的方程为 证明：的方程为 当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，存在上的，使，，显然直线，，的斜率成等差数列 当直线的斜率存在且不为时，可设直线的方程为， 联立消去，得，． 设，，则，． 若存在点满足条件，则， 即， 因为点，，均在抛物线上，所以，，． 所以， 将，代入得 ，整理得， 因为，所以 代入，得． 此时，存在上的点，使得直线，，的斜率成等差数列 综上，存在上的点使得直线，，的斜率成等差数列.  8.过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，，直线恰为抛物线的准线． 求抛物线的标准方程 设点是圆上的动点,抛物线上四点,,,满足：，，设中点为． 求直线的斜率 设面积为，求的最大值． 【解析】 解：设直线与轴交于，由几何性质： ，解得：， 故抛物线的标准方程为：． 设， 由题意，中点在抛物线上，即，又，将代入． 得：． 同理：． 有此时点纵坐标为． 所以直线的斜率为． ，故点 此时 ． 又点在圆上，有，即，代入上式可得： ． 由故时，取到最大值． 所以的最大值为．  9.已知椭圆：的离心率等于，椭圆与抛物线：交于，两点在轴上方，且经过的右焦点． 求椭圆的方程； 已知点，是椭圆上不同的两个动点，且满足直线与直线关于直线对称，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由． 【解析】设椭圆的半焦距为，设点，则 消去，得，即， 因为椭圆：的离心率等于，则， 将代入得，解得，则， 所以， 所以椭圆的方程为． 将代入抛物线：中解得取正值，故，， 当直线与直线关于直线对称，，的斜率之和为， 设直线的方程为， 由，消去并整理得， 所以，则， 设的直线方程为， 同理可得，所以 ， 所以直线的斜率为定值．  共17页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14：圆锥曲线中的特殊“弦” <<<专题综述>>> 在高考中,圆锥曲线的综合问题常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体进行考查.而直线与圆锥曲线的弦长问题是圆锥曲线中常见的一种题型, 本专题主要研究三种特殊的弦的解答思路：1.中点弦问题；2.抛物线的焦点弦问题；3.动弦过定点问题。 <<<专题探究>>> 题型一：中点弦问题 直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使 用韦达定理来计算。对于这个类型的题，首先设出弦的两端点，然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。 答题模板：点差法解题思路（以给定椭圆和直线斜率为例，双曲线抛物线同理） 第一步: 设直线与椭圆交点为,，AB中点,则, 第二步: 两式相减得， 第三步: 利用求出直线的斜率，线段的中点为, 化简可得. • 椭圆中点弦结论（以焦点在轴的椭圆方程为例） 如图，在椭圆中，为弦的中点，则;（证明：用点差法） 注：若焦点在轴上的椭圆，则. • 双曲线中点弦结论（以焦点在轴的双曲线为例） 如图所示，为弦的中点，则; 注：若焦点在轴上的双曲线，则. • 抛物线中点弦结论 如图，在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为， 则. 即： 注：在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点， 点是弦的中点，弦所在的直线的斜率为，则.即：. 例1已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为.证明：. 【思路点拨】 设，，利用点差法得出值,利用在椭圆内求解. 例2已知双曲线． 过点的直线与双曲线交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程； 直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，求点的轨迹方程， 【思路点拨】 利用点差法求解即可.联立直线与双曲线方程，求得，两点．即可求得点的轨迹方程． 练1已知双曲线，斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点若直线的斜率为，则的离心率为          ． 【思路点拨】 利用点差法可表示出，，由平行关系易知，，三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入，，整理可得，关系，利用双曲线 可求得离心率． 练2 .已知椭圆：的右焦点为，顺次连接椭圆的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形． 求椭圆的标准方程； 设，为坐标原点，，是椭圆上两点，且的中点在线段不含端点、上，求面积的取值范围． 【思路点拨】 【思路点拨】 (1) 由条件得，求出，，即可得到结果； 设，根据“点差法”求得设直线的方程为，于是，求得以及原点到直线的距离，于是，根据，即可求得结果． 题型二：抛物线的焦点弦 抛物线的焦点为，过的焦点弦的倾斜角为， 其中，则有如下性质： 1.以为直径的圆与抛物线相切. 2.以或为直径的圆与轴相切. 3.过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 4.. 5.弦长;. 6.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦. 例3设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，． 求的方程； 设直线与的另一个交点分别为，，记直线的倾斜角分别为当取得最大值时，求直线的方程． 【思路点拨】 (1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程； (2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系,借助三角恒等变换和基本不等式求解. 练3已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,点在抛物线上． 求该抛物线的方程及其准线方程； 直线过抛物线的焦点，交该抛物线于，两点，且，求的长度． 【思路点拨】 利用待定系数法,设出抛物线的方程,利用点在抛物线上,即可求出抛物线方程,从而得到准线方程； 设点在第一象限，直线的倾斜角为，由抛物线的定义求出和，由题意求出，从而求出和，即可得到答案． 练4如图，已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且． 求抛物线方程； 设过点的直线交抛物线于两点，若斜率为的直线与直线轴依次交于点，且满足，求直线在轴上截距的取值范围． 【思路点拨】 求出的值后可求抛物线的方程． 设，，联立直线的方程和抛物线的方程， 以及直线的方程和直线的方程，求出，点坐标， 联立直线方程和直线的方程可求出，根据题设条件可得， 从而可求直线在轴上截距的取值范围． 题型三：动弦过定点问题 若直线过的定点在已知直线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考查判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。 例4已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点为坐标平面内的一点，且，，为坐标原点． 求椭圆的方程； 设为椭圆的左顶点，，是椭圆上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，， 且，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【思路点拨】 根据已知条件得到，根据离心率得到，由此可得椭圆的标准方程； 设直线方程为，把直线和椭圆进行联立，根据得，找出，的斜率之间的关系，借助韦达定理求出和之间的关系，从而求出直线恒过的定点． 例5已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点满足． 求动点的轨迹方程 若动点在双曲线上，设双曲线的左支上有两个不同的点，，点，且，直线与双曲线交于另一点证明：动直线经过定点． 【思路点拨】 由题意，结合双曲线的概念，可得动点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支，且，，进而求解即可 设直线的方程为，设，，则，联立，结合根与系数的关系，可得，，结合，化简可求得，即可证明． 练5已知椭圆过点，且离心率为． 求椭圆的标准方程； 点是椭圆与轴正半轴的交点，点，在椭圆上且不同于点，若直线、的斜率分别是、，且，试判断直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【思路点拨】 由椭圆过，且离心率为，列方程组，解得，，，进而可得答案． 设直线：，由，得直线：，联立直线与椭圆的方程，得，，解得点坐标，同理可得点坐标，写出直线的方程，即可得出答案． 练6抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点，，如图．   求抛物线的标准方程； 当时，求弦的长； 已知点，直线，分别与抛物线交于点，证明：直线过定点． 【思路点拨】  由曲线图象经过点，可得，则得抛物线的标准方程； 写出的方程，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，则； 设直线的方程为，，，，，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，直线的方程为，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得，同理可得，由，可得，则直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令，可得，则的直线过定点． <<<专题训练>>> 1.已知，在抛物线上，且线段的中点为，则(    ) A. B. C. D. 2..已知双曲线：，过点的直线与相交于，两点，且的中点，则双曲线的离心率为(    ) A. B. C. D. 3.已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 4..已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为          ． 5.（多选）已知双曲线：，若圆与双曲线的渐近线相切，则(    ) A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的离心率 C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为，，则 D. 直线与交于，两点，点为弦的中点，若为坐标原点的斜率为，则 6.(多选)已知椭圆的左右焦点分别为，过的直钱交椭圆于两点均异于点为椭圆的右顶点，则(    ) A. 的周长为 B. 若直线与直线的倾斜角分别为，且，则 C. 若轴，则 D. 若的斜率存在，且的中点为，则为坐标原点 7.在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大，记点的轨迹为曲线． 求的方程 设过点且不与轴重合的直线与交于，两点，求证：在曲线上存在点，使得直线，，的斜率成等差数列． 8.过坐标原点作圆的两条切线，设切点为，，直线恰为抛物线的准线． 求抛物线的标准方程 设点是圆上的动点,抛物线上四点,,,满足：，，设中点为． 求直线的斜率 设面积为，求的最大值． 9.已知椭圆：的离心率等于，椭圆与抛物线：交于，两点在轴上方，且经过的右焦点． 求椭圆的方程； 已知点，是椭圆上不同的两个动点，且满足直线与直线关于直线对称，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由． 共10页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 圆锥曲线中的特殊“弦”--答案解析 【专题探究】 例1【解析】设，， 线段的中点为，，． 将，代入椭圆：中，可得， 两式相减可得，， 即，． 点在椭圆内，即， 解得， 例2【解析】设，，则， 两式相减得，即， 因为点是线段的中点，所以， 即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 联立方程组得，满足， 故直线的方程为． 联立方程组得， 因为直线：与双曲线有唯一的公共点， ，得， 所以的坐标为，其中， 因为过点且与垂直的直线为，令，得，令，， 所以， 故点的轨迹方程为：，  的轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为且不包含两个顶点的双曲线． 练1【解析】解：如图 设，，线段的中点， ，两式相减得：， 设，，线段的中点， 同理可得：   ，易知，，三点共线， ，将代入得：，即 ，即， ， 故答案为． 练2【解析】解：依题意： 椭圆的标准方程为； 设，则的中点在线段上，且，则． 又，两式相减得：． 易知：，， 设直线的方程为，联立得：． 由． 又， 原点到直线的距离 ， 当时取得等号， 例3【解析】抛物线的准线为，当与轴垂直时，点的横坐标为， 此时，所以，所以抛物线的方程为； 设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得，所以 又因为直线、的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立，所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以， 所以直线． 练3【解析】因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点， 设抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，解得， 故抛物线的方程为，其准线方程； 根据抛物线的对称性，不妨设点在第一象限，直线的倾斜角为， 由抛物线的定义可知，，即，同理可得， 因为，则，即， 所以， 故．  练4【解析】由题意知，故抛物线方程为； 设直线的方程为， 联立， ，，， 设直线的方程为：，联立，  ， ，， ， 直线的方程：，联立 同理， ， ， ， 令，则，  ，， 解得或且， 故直线在轴上截距的取值范围为：  例4【解析】设点坐标为，，，则，， 由题意得，解得， 又，， 所求椭圆的方程为： 证明：依题直线斜率存在， 设直线方程为，且 联立方程 ，，又由，， 设直线，斜率分别为，，则，即：， 化简得：得：，或 当时，，过点，不合题意舍去 当时，，过点，直线恒过定点．  例5【解析】解：因为， 所以动点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的左支， 则，，可得，，， 所以点的轨迹方程为 证明：由题意知双曲线的方程为， ，直线垂直于轴，易知，直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设，，则， 联立，化简得：， 直线与双曲线有两个交点，需满足或， ，， 又， 又、、三点共线，且斜率存在，，即， ，， ，化简得：， ，，即，满足判别式大于， 即直线方程为，所以直线过定点． 练5【解析】由题知，即， 又因为，所以椭圆的方程可化为， 又因为椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为． 由题可知，直线，的斜率一定存在且不为， 设直线：，因为，所以直线：， 联立，得， 所以，所以， 因为，所以， 代入，得，即， 用代换，即得，所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线恒过定点．  练6【解析】解：曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为 ；  由知，当时，，所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦 ； 由知，直线的斜率不为，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，． 设直线的方程为，联立得， 则，因此，，得， 同理可得， 所以 ， 因此直线的方程为， 由对称性知，定点在轴上， 令得， ， 所以，直线过定点． 【专题训练】 1.【解析】设，，由中点坐标公式可知：，且，， 两式相减可得，，则直线的斜率，， 直线的方程为即， 联立方程可得 故． 故答案为：． 2.【解析】解：设，， 由的中点为得，， 由，两式相减得， 则． 直线的斜率， ，则， 双曲线的离心率． 故选B． 3.【解析】如图，易知抛物线的焦点为，准线方程为． 由题意两直线斜率一定存在， 设，且，则 联立得 则，， 则根据抛物线定义可得  同理可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为． 故选A． 4.【解析】解：设，，则的中点， 由题意可得，，将，的坐标代入椭圆的方程作差可得，整理可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理可得． 5.【解析】由题意知的渐近线方程为，而圆的圆心为，所以，解得， 所以双曲线实轴长为，故A错误， 所以半焦距，所以，故B正确， 设，所以，， 所以，故C正确， 对于选项D：设，，所以，， 两式相减，得， 所以，， 所以，所以， 所以，所以，所以故D正确， 故选． 6.【解析】解：对于，因为，所以，， 由椭圆的定义，可知的周长为，故A错误； 对于，因为，所以，因为，， 所以，从而得到，故B正确； 对于，因为，所以，所以，故C错误； 对于，设， 则 所以， 因为中点为，故 所以， 即，即，故D正确． 故选BD． 7.【解析】解：设， 由题意，得,两边平方并整理，得． 故所求的方程为 证明：的方程为 当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，存在上的，使，，显然直线，，的斜率成等差数列 当直线的斜率存在且不为时，可设直线的方程为， 联立消去，得，． 设，，则，． 若存在点满足条件，则， 即， 因为点，，均在抛物线上，所以，，． 所以， 将，代入得 ，整理得， 因为，所以 代入，得． 此时，存在上的点，使得直线，，的斜率成等差数列 综上，存在上的点使得直线，，的斜率成等差数列.  8.【解析】解：设直线与轴交于，由几何性质： ，解得：， 故抛物线的标准方程为：． 设， 由题意，中点在抛物线上，即，又，将代入． 得：． 同理：． 有此时点纵坐标为． 所以直线的斜率为． ，故点 此时 ． 又点在圆上，有，即，代入上式可得： ． 由故时，取到最大值． 所以的最大值为．  9.【解析】设椭圆的半焦距为，设点，则 消去，得，即， 因为椭圆：的离心率等于，则， 将代入得，解得，则， 所以， 所以椭圆的方程为． 将代入抛物线：中解得取正值，故，， 当直线与直线关于直线对称，，的斜率之和为， 设直线的方程为， 由，消去并整理得， 所以，则， 设的直线方程为， 同理可得， 所以 ， 所以直线的斜率为定值．  共11页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$