精品解析：重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 在中，为CD中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，正方体棱长为2，P、Q分别是棱的中点，点是侧面上的动点（含边界），则三棱锥的体积为（ ） A. 2 B. C 1 D. 随着动点变化而变化 6. 用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知向量、满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：)： ①甲地：个数据的中位数为，众数为； ②乙地：个数据中位数为，总体均值为； ③丙地：个数据中有个数据，总体均值为，总体方差为． 其中肯定进入夏季的地区有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据2，6，8，9，14，16的中位数为8 B. 频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1 C. 若一组样本数据的方差为1，则数据的方差为10 D. 掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件与相互独立但不互斥 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 11. 已知圆柱的高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆周上任意一点，球内切于圆柱，则（ ） A. 球的体积为 B. 圆柱的表面积为 C. 直线与圆柱上底面所成的角为 D. 若直线，为异面直线，则平面与下底面所成角的正切值最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数___________. 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，平面，则球的表面积为_________. 14. 在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的最大值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，为中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； （2）求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 17. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 18. 中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小； （2）若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 19. 在平面四边形中，，且. （1）中，设角的对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模长公式计算. 【详解】由复数得，. 故选：A 2. 在中，为CD中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据平面向量线性运算即可求解. 详解】由题意有：，所以， 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式可求得，切化弦可求值. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 4. 设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系逐项验证即可求解. 【详解】对于A：若，则或与相交，故A错误； 对于B：若，则或，故B错误； 对于C：若，则或或与相交，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 故选：D. 5. 如图，正方体棱长为2，P、Q分别是棱的中点，点是侧面上的动点（含边界），则三棱锥的体积为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 随着动点变化而变化 【答案】C 【解析】 【分析】先求底面的面积，再求点到平面的距离为，最后由三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，，， 正方形的面积为， 所以的面积为 ， 点到平面的距离为， 所以. 故选：C. 6. 用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求，由即可求解. 【详解】由题意：用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数， 则共有6种情况，共有2种情况， 共有4种情况，所以， 所以， 故选：A. 7. 已知向量、满足，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质化简可得合适的选项. 【详解】因为，，则， 所以，即，可得， 即， 故选：A. 8. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数，单位：)： ①甲地：个数据的中位数为，众数为； ②乙地：个数据的中位数为，总体均值为； ③丙地：个数据中有个数据是，总体均值为，总体方差为． 其中肯定进入夏季的地区有（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据的特点进行估计甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案. 【详解】甲地的个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续天的日平均温度的记录数据中必有，，，其余2天的记录数据大于24，且不相等，故甲地符合进入夏季的标准； 乙地的个数据的中位数为，总体均值为，当个数据为，，，，时，其连续天的日平均温度中有低于的，此时乙地不符合进入夏季的标准； 丙地的个数据中有个数据是，总体均值为，设其余个数据分别为，，，，则总体方差 ， 若，，，有小于的数据时，则，即，不满足题意，所以，，，均大于或等于，故丙地符合进入夏季的标准． 综上所述，肯定进入夏季的地区有①③． 故选：B． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据2，6，8，9，14，16的中位数为8 B. 频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1 C. 若一组样本数据的方差为1，则数据的方差为10 D. 掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件与相互独立但不互斥 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A求中位数即可判断，对于B根据频率的性质即可判断，对于C由方差的性质即可判断，对于D根据事件的独立性和互斥的定义即可判断. 【详解】对于A：样本数据2，6，8，9，14，16中位数为，故A错误； 对于B：频率分布直方图中，所有小长方形的面积和等于所有频率之和即为1，故B正确； 对于C：若一组样本数据的方差为1，则数据的方差为，故C错误； 对于D：掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则，，， 所以，所以事件与相互独立但不互斥，故D正确. 故选：BD. 10. 已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知圆柱的高为，为下底面圆的一条直径，为上底面圆周上任意一点，球内切于圆柱，则（ ） A. 球的体积为 B. 圆柱的表面积为 C. 直线与圆柱上底面所成的角为 D. 若直线，为异面直线，则平面与下底面所成角的正切值最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由球内切于圆柱得到球的半径可判断A、B；直接求线面角可判断C；通过证明直线与平面垂直，证明直线与直线的垂直关系，求得平面与下底面所成角，根据的范围即可求解进而判断D. 【详解】设球的底面半径为，因为圆柱的高为，且球内切于圆柱， 所以圆柱的底面半径与球的半径相等，且， 对于A，球的体积，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为平面， 所以即为直线与圆柱下底面所成的角，如图： 又，所以为等腰直角三角形，即， 因为圆柱的上下底面平行，所以直线与圆柱上底面所成的角为，故C正确； 对于D，过作垂直于底面于，过向作垂线，垂足为， 因为垂直于圆柱底面，圆柱底面，所以，又， ，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 所以平面与下底面所成角为，， 设，因为直线，为异面直线，所以 在中，有，， 所以当时，有最小值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则实数___________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求，利用共线向量基本定理即可求解. 【详解】由题意有：，由有：，解得， 故答案为：4. 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，平面，则球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理先求，即得，取的中点为，则球心在以为垂足的垂线上，则平面，设球的半径为，利用勾股定理求出，再由球队表面积公式即可求解. 【详解】因为， 由余弦定理有， 所以，又，所以， 取的中点为，则球心在以为垂足的垂线上，则平面， 设球的半径为，所以，，所以， 所以球的表面积为. 故答案为：. 14. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式得出，分析可知，在等式两边同除，并令，可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 即， 两边同时除以，得， 即， 令，则， 故当时，即当时，取最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，，为中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，即证，由线面平行的判断定理即可得证； （2）由（1）得，则（或其补角）是异面直线与所成角或其补角，在中，由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接， 为中点，且 又且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面 【小问2详解】 由（1）可知：，则（或其补角）是异面直线与所成角或其补角， 由题意 在梯形中，易得：， 在中，由余弦定理：， 异面直线与所成角的余弦值为. 16. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； （2）求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，则，，根据独立事件即可求解； （2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为，先求，最后利用独立事件即可求解. 【小问1详解】 记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且，， 乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且 【小问2详解】 记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为， 则 ，即甲队得分与乙队得分为1:2的概率为. 17. 在四面体中，. （1）若为正三角形，平面平面，求四面体体积； （2）若，，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）取为BC的中点，连接DE，则，由平面平面，得平面，即是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式即可求解； （2）由（1），即证，即二面角的平面角为，在中利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因，则为等腰直角三角形， 且， 又为正三角形，故， 取BC的中点，连接DE，则， 又平面平面， 平面平面平面DBC， 故平面， 是三棱锥的高， 则其体积； 【小问2详解】 由（1）且，又， 则，且，又， 所以二面角的平面角为， 且. 所以二面角的余弦值为. 18. 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. （1）求角的大小； （2）若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式得，由正弦定理得，最后由两角和的正弦公式即可求解； （2）①利用得，在和利用余弦定理得，在中由余弦定理得，即可求解，进而得，又即可求解； ②记则，在中，由正弦定理得，在等腰中，，由即可求解. 【小问1详解】 由得，， 则，由正弦定理得 ； 【小问2详解】 ①在中，由余弦定理：得： ，化简：① 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ， ； ②记则， 在中，由正弦定理得： 在等腰中， 由题意，则， ，即的取值范围为. 19. 在平面四边形中，，且. （1）中，设角对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 【答案】（1）①16；② （2） 【解析】 【分析】（1）由得，由余弦定理得，①当时，，由余弦定理即可求解；②当时，，利用均值不等式即可求解； （2）先证，由面面垂直的性质定理得，即可求，由面面垂直判定定理得平面平面，平面平面，进而求得， 同理求得，即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得：， ①当时，， . ②当时，， 当且仅当即时取等号， 的最大值为. 【小问2详解】 由，， 由余弦定理得， 即，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对： ， 故， 由平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故. 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种， 分别为平面和棱，平面和棱，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $