专题04 统计与概率（3大考点期末真题汇编，重庆专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 重庆多校高一下期末统计与概率专题汇编，涵盖统计、随机事件与概率、事件的相互独立性三大高频考点，以本土生活（如商场销售额、荣昌旅游满意度）和教育情境（体育锻炼增时计划）为载体，注重数据处理与概率应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|统计（平均数、百分位数）、概率（独立事件）|结合折线图、温度走势图考查数据分析| |多选|6|方差计算、事件关系|通过合唱比赛打分、跳绳数据考查统计量综合应用| |填空|3|分层抽样、百分位数|涉及男女生身高差异等实际抽样问题| |解答|10|频率分布直方图、独立事件概率|综合考查分层抽样与频率估计（如数学测评分数分析）、结合几何背景（三棱锥）的概率计算|

专题04统计与概率 3大高频考点概览 考点01统计 考点02随机事件与概率 考点03事件的相互独立性 地 城 考点01 统计 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆·期末)对于数据，下列说法错误的是（    ） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为11 D．中位数为6 【答案】D 【分析】根据平均数的概念判断A；根据众数的概念判断B；根据极差的概念判断C；根据中位数的概念判断D. 【详解】对于数据，众数为6，极差为，平均数为， 中位数为，所以选项ABC正确，选项D错误. 故选：D 2．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)样本数据2，3，5，8，11，14，15，17的第25百分位数是（    ） A．4 B．3 C．5 D．8 【答案】A 【分析】由可知从小到大的这组数据的第25百分位数应该是第二个数据与第三个数据的平均数即可. 【详解】这组样本数据共8个数，而且已经从小到大排列， 由可知，这组数据的第25百分位数是. 故选：A. 3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某商场记录了2025年1-6月的销售额（单位：万元），绘制了如下的折线图.已知这6个月销售额的平均数为20万元，下列说法正确的是（   ） A．该商场这6个月销售额的众数是22万元 B．该商场1-6月的销售额逐月递增 C．该商场这6个月的销售额的中位数与平均数相等 D．该商场预测7月份的销售额一定不低于25万元 【答案】C 【分析】根据中位数，众数，和折线统计图的概念，逐个判断各选项正误. 【详解】由图可知，22只出现一次，众数不是22万元，所以A错误； 由图可知，3月到4月出现下降，所以B错误； 这6个月的销售额由小到大排列为：，6个数的中位数是第3个和第4个的平均数，所以中位数为，所以C正确； 折线统计图无法预测下个月的变化，所以D错误. 故选；C. 4．(24-25高一下·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 【答案】C 【分析】根据折线图逐项判断. 【详解】A. 由折线图知：月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低，故正确； B. 由折线图知：月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为，故正确； C.根据图象，这一天时所对应的温度约为，故错误； D. 根据图象，这一天时所对应的温度为，故正确， 故选：C 二、多选题 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（   ） A．该班的平均得分是9.0分 B．该班得分的第70百分位数是9.1分 C．该班得分的方差是0.72 D．若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 【答案】ABD 【分析】利用平均数，百分位数，方差的定义和性质逐个选项判断即可. 【详解】把得分按从小到大排列：8.5，8.8，8.8，8.9，9.0，9.0，9.0，9.2，9.3，9.5 对于A：平均分为，故A正确 对于B：因为，故第70百分位数为，故B正确 对于C：方差为，故C错误 对于D：由于最高分和最低分平均数是9，故平均分不变，去掉后，数据更集中，故方差变小，D正确， 故选：ABD 6．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)2025年初，重庆中小学全面实施体育锻炼增时计划，每天2次30分钟大课间，某中学大课间活动为跳绳运动，随机了解该校10名同学在1分钟内的跳绳数分别为：85，65，90，75，80，50，70，95，60，40（单位：个），则下列说法正确的是（    ） A．极差为55 B．中位数是75 C．平均数是71 D．方差为100 【答案】AC 【分析】根据求极差、中位数、平均数、方差的定义及公式计算即可判断 【详解】将跳水数按从小到大顺序排列为：40，50，60，65，70，75，80，85，90，95. 极差为； 中位数是； 平均数为； 方差为为 . 故AC正确. 故选：AC. 三、填空题 7．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为70，则应抽取的女生人数为______． 【答案】30 【分析】根据分层抽样的定义结合题意计算即可求解. 【详解】由分层随机抽样的定义可得抽取的女生数为. 故答案为：. 8．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，某团队两位运动员10次跳台跳水的成绩为：，则这组数据的第60百分位数为__________. 【答案】75 【分析】先从小到大排序，再根据百分位数的求解方法进行求解. 【详解】10次跳台跳水的成绩从小到大排列如下：， ，故从小到大，选取第6个和第7个数据的平均数作为第60百分位数， 即. 故答案为：75 9．(24-25高一下·重庆·期末)学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从2000名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为50的样本.其中，男生平均身高为175，方差为84，女生平均身高为160，方差为79，用样本估计总体，则该学校学生身高的均值为__________，方差为__________. 【答案】 169/169cm 136/136cm2 【分析】根据题意，求出样本的平均数和方差，结合用样本估计总体的思路，即可得答案． 【详解】设男生样本记为，平均数为，方差为， 女生样本记为，平均数为，方差为， 总体样本数据的平均数记为，方差记为， 所以学生身高的均值为 ， 总体样本的方差为 故答案为：169cm；136cm2 四、解答题 10．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)某中学800名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中女生的人数. 【答案】(1)0.2 (2)40 (3)320 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出分数小于60的频率，得到答案； （2）得到分数在内的频数和频率，可估计总体中分数在区间内的人数； （3）根据频率分布直方图，计算分数不小于70的频率和频数，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，得到样本中女生只有40人，可以估计总体中女生的人数. 【详解】（1）根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为： 所以从总体的800名学生中随机抽取一人， 估计其分数小于60的概率为0.2； （2）根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为： 所以可计算在100人的样本中，分数小于50的频数为：人， 已知样本中分数小于40的学生有5人， 所以分数在内的频数为：5人， 即分数在内的频率为：0.05， 从而可估计总体中分数在区间内的人数约为：人； （3）根据频率分布直方图，可计算分数不小于70的频率为：， 则计算样本中分数不小于70的频数为：人， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有30人； 而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有60人， 所以样本中女生只有40人， 可以估计总体中女生的人数约为：人 11．(24-25高一下·重庆·期末)已知某学校高一学生共有600人，为了解高一学生的课外阅读时间，从中随机抽取了100位同学进行调查，将他们上周课外阅读的时间（单位：小时）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值并估计样本数据的第65百分位数； (2)已知样本中阅读时间大于等于4小时的学生中，男､女学生各占一半，阅读时间小于4小时的学生中男生占，试估计该学校高一年级男生的人数. 【答案】(1)，6.4 (2)人 【分析】（1）根据频率分布直方图中的矩形面积之和为1列式求出，先确定累计频率为的所在小组，然后利用百分位数的概念求解即可. （2）先求出样本中阅读时间大于或等于4小时的男生人数，再求样本中阅读时间小于4小时的学生中男生有5人；即样本中男生共有40人，利用比例即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 设样本数据的第65百分位数为， 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以， 解得，故估计样本数据的第65百分位数为6.4. （2）上周阅读时间在的频数为， 故样本中阅读时间大于或等于4小时的男生有35人； 上周阅读时间在的频数为， 即样本中阅读时间小于4小时的学生中男生有5人； 所以样本中男生共有40人，高一年级男生总人数为人. 12．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？ (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】(1)2 (2)众数为：100，平均数为98 (3)134分 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由性质知：，故， 采取分层抽样：[130，150]的同学个数为：. （2）由频率分布直方图知：众数为：100； 平均数为：； （3）由于成绩在[130，150]的频率为0.1， 故最低分数预计为：； 即估计获得表彰的同学的最低分数为134分. 地 城 考点02 随机事件与概率 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意先求，由即可求解. 【详解】由题意：用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数， 则共有6种情况，共有2种情况， 共有4种情况，所以， 所以， 故选：A. 2．(24-25高一下·重庆·期末)利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率.袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次.将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.由计算机产生1，2，3，4四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：121､112､433､142､234､111､243､132､422､134､131､441､412､233､143､231､332､341､211､221，由此可以估计事件发生的概率为（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【分析】利用古典概率公式求解即可. 【详解】相当于做了20次重复试验，其中事件发生了6次， 对应的数据组为，用频率估计事件的概率为. 故选：C. 3．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】事件A、B互斥，事件都不发生的对立事件是事件与至少有一个发生,由此即可求出答案. 【详解】事件A、B互斥，且事件A发生的概率，事件B发生的， 事件都不发生的对立事件是事件A、B至少有一个发生, 所以事件，都不发生的概率为：. 故选：B. 二、解答题 4．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： (1)写出这个实验的样本空间； (2)求恰有1件次品的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接列举即可； （2）根据古典概率公式计算即可. 【详解】（1）记2件次品、3件合格品依次为：， 则样本空间为， 样本空间共有10个样本. （2）恰有1件次品所对应的子集为， 故所求概率为. 5．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. (1)求事件“为偶数”的概率； (2)若，求“二面角的平面角大于”的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求事件事件“”与事件“”均为奇数的概率，再求事件“”与事件“”均为偶数的概率，进而可求得事件“”为偶数的概率； （2）由题意证明平面，因此是二面角的平面角，再由正弦定理得出、，由题意，分类讨论：；；即可. 【详解】（1）用表示“均为奇数”的事件，用表示“均为偶数”的事件， 则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 事件包含12个样本点，事件也包含12个样本点，根据古典概率知识得： . 记“为偶数”为事件，则， 故； （2）如图，取边的中点，连结. 因为均是边长为的正三角形， 所以，，平面, 因此平面， 从而是二面角的平面角， 又，则. 又， 同理， 当二面角的平面角大于时， ， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在. 从1-8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以. 6．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值. (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组频率之和为1列方程，求解即可； （2）利用（1）的结论，根据频率分布直方图中平均数和中位数定义求解即得； （3）分别计算出分数在和的人数，得到抽样比，确定抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，，分数在有3人，编号为，，，列举出样本空间和事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：， 解得. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分． 设测试分数中位数为， 测试分数在频率：， 测试分数在频率：， 则，解得. （3）记分数在的人数为：（人）， 分数在的人数为：（人）， 因，则采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，， 分数在有3人，编号为，，， 样本空间 ， 则，记事件“至少一人分数在”，则， 则. 7．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)2025年五一节前夕，随着“卤鹅哥”带着重庆荣昌特产卤鹅，五城投喂“甲亢哥”，努力推介家乡，流量爆棚，在荣昌区委区政府的大力加持下，荣昌旅游火出圈，吸引了来自全国各地的游客打卡荣昌，感受“千年荣昌的热情”.为评估游客的旅游体验，随机选择了100名游客对荣昌旅游体验进行满意度评分（满分100分）.根据评分数据，绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值及满意度评分的平均值； (2)求满意度评分的第80百分位数； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人满意度评分来自同一小组的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得x.再利用频率分布直方图估算评分的平均数. （2）利用第80百分位数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由可得. 所以评分的平均数约为： . （2）因为， 所以满意度评分的第80百分位数在之间， 且 . 所以满意度评分的第80百分位数为. （3）评分在的人数为：人； 评分在的人数为：人. 用分层抽样的方法从中抽取6人，则评分在的有2人，记为，，评分在的有4人，记为，，，. 从这6人中随机抽取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，且每个基本事件发生的可能性相同. 记抽取的2人满意度评分来自同一小组为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，共7个. 所以. 地 城 考点03 事件的相互独立性 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（    ） A．0.2401 B．0.7599 C．0.0081 D．0.081 【答案】C 【分析】利用对立事件、相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7， 则4人都没中靶的概率为. 故选：C. 2．(24-25高一下·重庆·期末)某俱乐部举行羽毛球友谊赛，该比赛采用的是三局两胜制.现有甲乙两人参加比赛，根据统计，在两人以往的1000场比赛中，甲获胜600场，乙获胜400场.以频率估计概率，各局比赛互不影响，则这次比赛甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】由题意，甲获胜的概率为， 三局两胜制中，甲获胜的情况是胜胜，胜输胜，输胜胜， 所以这次比赛甲获胜的概率为. 故选：D. 3．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于B：先求，结合古典概型分析判断；对于C、D根据独立事件概率乘法公式计算即可. 【详解】事件“得到的点数为偶数”，即， 记事件“得到的点数大于4”，即， 记事件“得到的点数为3的倍数”，即， 则，，， 对于A：，，故事件B与C不互斥，A与C不相互对立，A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：，，，，故，C正确； 对于D：，，故，D错误. 故选：C 二、多选题 4．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（    ） A．甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 B．只有甲､丙小组受到奖励的概率为 C．只有一个小组受到奖励的概率等于 D．技术难题被攻克的概率为 【答案】ACD 【分析】AB选项，利用独立事件概率乘法公式进行求解；C选项，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解；D选项，先求出技术难题没有被攻克的概率，再利用对立事件概率公式进行求解. 【详解】A选项，甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为，A正确； B选项，只有甲､丙小组受到奖励的概率为，B错误； C选项，只有一个小组受到奖励的概率等于 ，C正确； D选项，技术难题没有被攻克的概率为， 故技术难题被攻克的概率为，D正确. 故选：ACD 5．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．样本数据2，6，8，9，14，16的中位数为8 B．频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1 C．若一组样本数据的方差为1，则数据的方差为10 D．掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件与相互独立但不互斥 【答案】BD 【分析】对于A求中位数即可判断，对于B根据频率的性质即可判断，对于C由方差的性质即可判断，对于D根据事件的独立性和互斥的定义即可判断. 【详解】对于A：样本数据2，6，8，9，14，16的中位数为，故A错误； 对于B：频率分布直方图中，所有小长方形的面积和等于所有频率之和即为1，故B正确； 对于C：若一组样本数据的方差为1，则数据的方差为，故C错误； 对于D：掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则，，， 所以，所以事件与相互独立但不互斥，故D正确. 故选：BD. 6．(24-25高一下·重庆·期末)某公司举行周年庆活动，在活动中设置了一个游戏环节，每人随机抛掷两个编号分别为1和2的质地均匀的骰子.记事件：至多一个骰子的点数为奇数；事件：两个骰子的点数之和为奇数；事件：两个骰子的点数均为偶数；事件号骰子的点数大于等于3.则（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断ABC即可，利用和事件概率公式判断D. 【详解】事件发生的概率， 事件发生则两枚骰子点数为一奇一偶，则， 显然错误； 事件发生的概率为，，B正确； 事件发生的概率， 则同时发生时， 1号骰子点数大于等于3且2号点数为偶数或者1号点数大于等于3为偶数， 2号点数为奇数，则， 所以C正确； 同时发生， 1号点数大于等于3且为偶数，2号也为偶数， 所以，D正确. 故选：BCD. 7．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．已知数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 C．已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为6 D．假设，，且与相互独立，则， 【答案】ABD 【分析】利用古典概型概率公式计算可判断A；计算方差判断B；计算平均数判断C；由独立事件的概率公式计算判断D. 【详解】对于A：依题意，得个体m被抽到的概率为，故A正确； 对于B，设，又， 所以，，，的平均数为， 所以，，，的方差为 ，故B正确； 对于C：一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，故总和为35， 所以加入三个新数据3，5，7后的平均数为，故C错误； 对于D，，，且与相互独立， 所以， ，故D正确. 故选：ABD. 三、解答题 8．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响. (1)求乙每轮投中的概率； (2)求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的定义列方程即可求得乙每轮投中的概率为； （2）由互斥事件的加法公式计算可得. 【详解】（1） 设甲、乙每轮投中的概率分别为，已知， 则； 即乙每轮投中的概率为. （2） 由（1）知，则， 则“星对”在两轮活动中投中3个球的概率为 . 9．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； (2)求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，则，，根据独立事件即可求解； （2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为，先求，最后利用独立事件即可求解. 【详解】（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且，， 乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且 （2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为， 则 ，即甲队得分与乙队得分为1:2的概率为. 10．(24-25高一下·重庆·期末)某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到200元的即可抽奖一次，即消费满200但不足400元的可抽奖一次，消费满400但不足600元的可抽奖两次，依次类推.抽奖规则为：在一个盒子中共有6个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球1个，黄球2个，蓝球2个，绿球1个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得10元红包，抽到黄球即可获得20元红包，抽到蓝球即可获得30元红包，抽到绿球即可获得40元红包.每次抽奖结果相互独立. (1)已知小明共消费500元，求小明抽到的红包均不相同的概率； (2)已知小方共消费750元，求小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件求出2次抽到同色球的概率，再利用对立事件求出2次抽到不同色的概率即可. （2）把所求概率的事件分拆成3个互斥事件的和，再利用相互独立事件求出概率，进而利用互斥事件的加法公式得解. 【详解】（1）根据规则，小明可以抽2次球， 2次均抽到红球或2次均抽到绿球的概率均为， 2次均抽到黄球或2次均抽到蓝球的概率均为， 因此2次抽到相同颜色球的概率为， 从而2次抽到不同颜色球的概率为， 所以小明抽到的红包均不相同的概率为. （2）根据规则，小方可以抽3次球，要使得“获得红包总金额不低于80元”，有以下情形： ①抽到“两个绿球和一个其他颜色球”，则概率； ②抽到“两个蓝球和一个绿球（或一个黄球）”，则概率； ③抽到“两个黄球和一个绿球”，则概率， 所以小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04统计与概率 3大高频考点概览 地 城 考点01 统计 1 2 3 4 5 6 D A C C ABD AC 7．30 8．75 9． 169/169cm 136/136cm2 10．【答案】(1)0.2 (2)40 (3)320 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出分数小于60的频率，得到答案； （2）得到分数在内的频数和频率，可估计总体中分数在区间内的人数； （3）根据频率分布直方图，计算分数不小于70的频率和频数，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，得到样本中女生只有40人，可以估计总体中女生的人数. 【详解】（1）根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为： 所以从总体的800名学生中随机抽取一人， 估计其分数小于60的概率为0.2； （2）根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为： 所以可计算在100人的样本中，分数小于50的频数为：人， 已知样本中分数小于40的学生有5人， 所以分数在内的频数为：5人， 即分数在内的频率为：0.05， 从而可估计总体中分数在区间内的人数约为：人； （3）根据频率分布直方图，可计算分数不小于70的频率为：， 则计算样本中分数不小于70的频数为：人， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有30人； 而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有60人， 所以样本中女生只有40人， 可以估计总体中女生的人数约为：人 11．【答案】(1)，6.4 (2)人 【分析】（1）根据频率分布直方图中的矩形面积之和为1列式求出，先确定累计频率为的所在小组，然后利用百分位数的概念求解即可. （2）先求出样本中阅读时间大于或等于4小时的男生人数，再求样本中阅读时间小于4小时的学生中男生有5人；即样本中男生共有40人，利用比例即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，， 解得， 设样本数据的第65百分位数为， 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以， 解得，故估计样本数据的第65百分位数为6.4. （2）上周阅读时间在的频数为， 故样本中阅读时间大于或等于4小时的男生有35人； 上周阅读时间在的频数为， 即样本中阅读时间小于4小时的学生中男生有5人； 所以样本中男生共有40人，高一年级男生总人数为人. 12．【答案】(1)2 (2)众数为：100，平均数为98 (3)134分 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【详解】（1）由性质知：，故， 采取分层抽样：[130，150]的同学个数为：. （2）由频率分布直方图知：众数为：100； 平均数为：； （3）由于成绩在[130，150]的频率为0.1， 故最低分数预计为：； 即估计获得表彰的同学的最低分数为134分. 地 城 考点02 随机事件与概率 一、单选题 1．A 2．C 3．B 4．【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接列举即可； （2）根据古典概率公式计算即可. 【详解】（1）记2件次品、3件合格品依次为：， 则样本空间为， 样本空间共有10个样本. （2）恰有1件次品所对应的子集为， 故所求概率为. 5．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求事件事件“”与事件“”均为奇数的概率，再求事件“”与事件“”均为偶数的概率，进而可求得事件“”为偶数的概率； （2）由题意证明平面，因此是二面角的平面角，再由正弦定理得出、，由题意，分类讨论：；；即可. 【详解】（1）用表示“均为奇数”的事件，用表示“均为偶数”的事件， 则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 事件包含12个样本点，事件也包含12个样本点，根据古典概率知识得： . 记“为偶数”为事件，则， 故； （2）如图，取边的中点，连结. 因为均是边长为的正三角形， 所以，，平面, 因此平面， 从而是二面角的平面角， 又，则. 又， 同理， 当二面角的平面角大于时， ， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在. 从1-8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以. 6．【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组频率之和为1列方程，求解即可； （2）利用（1）的结论，根据频率分布直方图中平均数和中位数定义求解即得； （3）分别计算出分数在和的人数，得到抽样比，确定抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，，分数在有3人，编号为，，，列举出样本空间和事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：， 解得. （2）由（1）得，该次考试测试分数的平均数的估计值为： 分． 设测试分数中位数为， 测试分数在频率：， 测试分数在频率：， 则，解得. （3）记分数在的人数为：（人）， 分数在的人数为：（人）， 因，则采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，分数在的有2人，编号分别为，， 分数在有3人，编号为，，， 样本空间 ， 则，记事件“至少一人分数在”，则， 则. 7．【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得x.再利用频率分布直方图估算评分的平均数. （2）利用第80百分位数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由可得. 所以评分的平均数约为： . （2）因为， 所以满意度评分的第80百分位数在之间， 且 . 所以满意度评分的第80百分位数为. （3）评分在的人数为：人； 评分在的人数为：人. 用分层抽样的方法从中抽取6人，则评分在的有2人，记为，，评分在的有4人，记为，，，. 从这6人中随机抽取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，且每个基本事件发生的可能性相同. 记抽取的2人满意度评分来自同一小组为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，共7个. 所以. 地 城 考点03 事件的相互独立性 1 2 3 4 5 6 7 C D C ACD BD BCD ABD 8．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的定义列方程即可求得乙每轮投中的概率为； （2）由互斥事件的加法公式计算可得. 【详解】（1） 设甲、乙每轮投中的概率分别为，已知， 则； 即乙每轮投中的概率为. （2） 由（1）知，则， 则“星对”在两轮活动中投中3个球的概率为 . 9．【答案】(1) (2) 【分析】（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，则，，根据独立事件即可求解； （2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为，先求，最后利用独立事件即可求解. 【详解】（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且，， 乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且 （2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为， 则 ，即甲队得分与乙队得分为1:2的概率为. 10．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件求出2次抽到同色球的概率，再利用对立事件求出2次抽到不同色的概率即可. （2）把所求概率的事件分拆成3个互斥事件的和，再利用相互独立事件求出概率，进而利用互斥事件的加法公式得解. 【详解】（1）根据规则，小明可以抽2次球， 2次均抽到红球或2次均抽到绿球的概率均为， 2次均抽到黄球或2次均抽到蓝球的概率均为， 因此2次抽到相同颜色球的概率为， 从而2次抽到不同颜色球的概率为， 所以小明抽到的红包均不相同的概率为. （2）根据规则，小方可以抽3次球，要使得“获得红包总金额不低于80元”，有以下情形： ①抽到“两个绿球和一个其他颜色球”，则概率； ②抽到“两个蓝球和一个绿球（或一个黄球）”，则概率； ③抽到“两个黄球和一个绿球”，则概率， 所以小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04统计与概率 3大高频考点概览 考点01统计 考点02随机事件与概率 考点03事件的相互独立性 地 城 考点01 统计 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆·期末)对于数据，下列说法错误的是（    ） A．平均数为5 B．众数为6 C．极差为11 D．中位数为6 2．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)样本数据2，3，5，8，11，14，15，17的第25百分位数是（    ） A．4 B．3 C．5 D．8 3．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某商场记录了2025年1-6月的销售额（单位：万元），绘制了如下的折线图.已知这6个月销售额的平均数为20万元，下列说法正确的是（   ） A．该商场这6个月销售额的众数是22万元 B．该商场1-6月的销售额逐月递增 C．该商场这6个月的销售额的中位数与平均数相等 D．该商场预测7月份的销售额一定不低于25万元 4．(24-25高一下·重庆长寿中学、江津中学七校联考·期末)年月日时至次日时(次日的时间前加表示)重庆的温度走势 下列说法错误的是（    ） A．月日时至时重庆气温逐渐升高，时到次日时重庆气温逐渐降低 B．月日时至次日时重庆的最低气温为，最高气温为 C．根据图象，这一天时所对应的温度为 D．根据图象，这一天时所对应的温度为 二、多选题 5．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（   ） A．该班的平均得分是9.0分 B．该班得分的第70百分位数是9.1分 C．该班得分的方差是0.72 D．若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 6．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)2025年初，重庆中小学全面实施体育锻炼增时计划，每天2次30分钟大课间，某中学大课间活动为跳绳运动，随机了解该校10名同学在1分钟内的跳绳数分别为：85，65，90，75，80，50，70，95，60，40（单位：个），则下列说法正确的是（    ） A．极差为55 B．中位数是75 C．平均数是71 D．方差为100 三、填空题 7．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为70，则应抽取的女生人数为______． 8．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，某团队两位运动员10次跳台跳水的成绩为：，则这组数据的第60百分位数为__________. 9．(24-25高一下·重庆·期末)学校为了解学生身高（单位：）情况，采用分层随机抽样的方法从2000名学生（男女生人数之比为）中抽取了一个容量为50的样本.其中，男生平均身高为175，方差为84，女生平均身高为160，方差为79，用样本估计总体，则该学校学生身高的均值为__________，方差为__________. 四、解答题 10．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)某中学800名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： (1)从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； (2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中女生的人数. 11．(24-25高一下·重庆·期末)已知某学校高一学生共有600人，为了解高一学生的课外阅读时间，从中随机抽取了100位同学进行调查，将他们上周课外阅读的时间（单位：小时）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值并估计样本数据的第65百分位数； (2)已知样本中阅读时间大于等于4小时的学生中，男､女学生各占一半，阅读时间小于4小时的学生中男生占，试估计该学校高一年级男生的人数. 12．(24-25高一下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？ (2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； (3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 地 城 考点02 随机事件与概率 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)用3，4，5这3个数字组成无重复数字的自然数m，记事件“m能被5整除”，事件“m为奇数”，则事件A与事件B至少有一个发生的概率为（   ） A． B． C． D．1 2．(24-25高一下·重庆·期末)利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率.袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次.将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率.由计算机产生1，2，3，4四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：121､112､433､142､234､111､243､132､422､134､131､441､412､233､143､231､332､341､211､221，由此可以估计事件发生的概率为（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)已知事件，互斥，且事件发生的概率，且事件发生的概率，则事件，都不发生的概率是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)已知5件产品中有2件次品、3件合格品，从这5件产品中任取2件，求： (1)写出这个实验的样本空间； (2)求恰有1件次品的概率. 5．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. (1)求事件“为偶数”的概率； (2)若，求“二面角的平面角大于”的概率. 6．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． (1)求的值. (2)估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（保留一位小数） (3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 7．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)2025年五一节前夕，随着“卤鹅哥”带着重庆荣昌特产卤鹅，五城投喂“甲亢哥”，努力推介家乡，流量爆棚，在荣昌区委区政府的大力加持下，荣昌旅游火出圈，吸引了来自全国各地的游客打卡荣昌，感受“千年荣昌的热情”.为评估游客的旅游体验，随机选择了100名游客对荣昌旅游体验进行满意度评分（满分100分）.根据评分数据，绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求x的值及满意度评分的平均值； (2)求满意度评分的第80百分位数； (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人满意度评分来自同一小组的概率. 地 城 考点03 事件的相互独立性 一、单选题 1．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（    ） A．0.2401 B．0.7599 C．0.0081 D．0.081 2．(24-25高一下·重庆·期末)某俱乐部举行羽毛球友谊赛，该比赛采用的是三局两胜制.现有甲乙两人参加比赛，根据统计，在两人以往的1000场比赛中，甲获胜600场，乙获胜400场.以频率估计概率，各局比赛互不影响，则这次比赛甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·重庆主城区七校联考·期末)如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高一下·重庆主城四区·期末)以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（    ） A．甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 B．只有甲､丙小组受到奖励的概率为 C．只有一个小组受到奖励的概率等于 D．技术难题被攻克的概率为 5．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)下列说法正确的是（   ） A．样本数据2，6，8，9，14，16的中位数为8 B．频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1 C．若一组样本数据的方差为1，则数据的方差为10 D．掷一枚骰子一次，设事件：“出现偶数点”，事件：“出现3点或6点”，则事件与相互独立但不互斥 6．(24-25高一下·重庆·期末)某公司举行周年庆活动，在活动中设置了一个游戏环节，每人随机抛掷两个编号分别为1和2的质地均匀的骰子.记事件：至多一个骰子的点数为奇数；事件：两个骰子的点数之和为奇数；事件：两个骰子的点数均为偶数；事件号骰子的点数大于等于3.则（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 7．(24-25高一下·重庆七校联盟·期末)下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．已知数据，，，的方差为2，则数据，，，的方差为8 C．已知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3，5，7，则新样本的平均数为6 D．假设，，且与相互独立，则， 三、解答题 8．(24-25高一下·重庆长寿区·期末)甲、乙两人组成“星对”参加投篮活动，每轮活动由甲、乙各投一次，已知甲每次投篮投中的概率为，甲乙两人都投中的概率为.在每轮投篮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也不影响. (1)求乙每轮投中的概率； (2)求“星对”在两轮活动中投中3个球的概率. 9．(24-25高一下·重庆西南大学附属中学·期末)溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； (2)求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 10．(24-25高一下·重庆·期末)某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到200元的即可抽奖一次，即消费满200但不足400元的可抽奖一次，消费满400但不足600元的可抽奖两次，依次类推.抽奖规则为：在一个盒子中共有6个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球1个，黄球2个，蓝球2个，绿球1个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得10元红包，抽到黄球即可获得20元红包，抽到蓝球即可获得30元红包，抽到绿球即可获得40元红包.每次抽奖结果相互独立. (1)已知小明共消费500元，求小明抽到的红包均不相同的概率； (2)已知小方共消费750元，求小方抽到两种不同颜色的小球，且获得红包总金额不低于80元的概率. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $