精品解析：重庆市主城四区2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

2024—2025学年度（下期）高中学业质量调研抽测 高一数学试题 （数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（ ） A. 0.2401 B. 0.7599 C. 0.0081 D. 0.081 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件、相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7， 则4人都没中靶的概率为. 故选：C. 2. 已知向量满足与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积定义及数量积的运算律求解. 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 故选：B. 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据得到方程组，求出，再利用复数乘法和乘方法则计算出答案. 【详解】设，则，， 又，故，解得， 故，. 故选：C. 4. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 6. 如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】证明依据线面平行判定定理判断A，棱锥体积公式求出，再根据八面体的体积等于棱锥体积的2倍，判断B，将几何体展开，利用余弦定理判断C，等体积法求点到面的距离判断D. 【详解】 在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分， 故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为，所以四边形是正方形且， 面,， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍， 而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面， 由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为， 在中由余弦定理可知： ，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为，由等体积法知： 即， ，故D错误. 故选：D. 7. 甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（ ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断. 【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22， 且不相等，所有数据一定都不小于20； 乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时， 符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个 数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20； 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为， 则方差 ，若中有小于20的数， ，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件， 所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学. 故选：C 8. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可知，再由三角函数值域以及“完整函数”定义将问题转化为在上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质得出不等式即可得解得的取值范围. 【详解】 ， 若是上的“完整函数”， 则在上存在，使得成立， 即， 又因为，所以， 即在上至少存在两个最大值点， 所以，解得； 当，即时，一定满足题意； 若，因为，，所以， 又易知；所以只需保证即可， 解得. 综上可知. 故选：B. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 B. 只有甲､丙小组受到奖励的概率为 C. 只有一个小组受到奖励的概率等于 D. 技术难题被攻克的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，利用独立事件概率乘法公式进行求解；C选项，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解；D选项，先求出技术难题没有被攻克的概率，再利用对立事件概率公式进行求解. 【详解】A选项，甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为，A正确； B选项，只有甲､丙小组受到奖励的概率为，B错误； C选项，只有一个小组受到奖励的概率等于 ，C正确； D选项，技术难题没有被攻克的概率为， 故技术难题被攻克的概率为，D正确. 故选：ACD 10. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数是实数，则实数或 B. 若是复数，且，则的最大值为 C. 若是复数，且，则 D. 若是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据所给复数为实数，那么其虚部为0，解方程即可；选项B：假设，分别表示和，从而将的最大值转化为圆上一点到定点距离的最大值；选项C：举出反例说明即可；选项D：实系数一元二次方程的根是成对出现的，另外一根是已知根的共轭复数，据此得出另外一根，再结合韦达定理即可. 【详解】选项A：复数是实数，所以，解得或，故选项A正确； 选项B：设，依题意，，即，其表示以原点为圆心，1为半径的圆， 同时，，表示点到点的距离， 即以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，圆上一点到一个定点的距离的最大值为（为圆心到定点距离，为半径）， 故的最大值为，选项B正确； 选项C：若，，此时，，，，但，，，故选项C错误； 选项D：若是关于的方程的一个根，则另一根为， 根据韦达定理，两根之积，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 若为的中点，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求，可判断A，利用基本不等式来推理可判断B，利用举反例可判断C，利用中线向量来求中线长可求解取值范围来判断D. 【详解】由，结合正弦定理角化边得：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，故A正确； 再由，因为，所以， 又因为，所以，解得， 当且仅当时取等号，此时，故B正确； 在直角中，，，斜边，故C错误； 由中线平方可得：， 即，利用可得： ，因为， 所以，当且仅当取等号， 因为，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，某团队两位运动员10次跳台跳水的成绩为：，则这组数据的第60百分位数为__________. 【答案】75 【解析】 【分析】先从小到大排序，再根据百分位数的求解方法进行求解. 【详解】10次跳台跳水的成绩从小到大排列如下：， ，故从小到大，选取第6个和第7个数据的平均数作为第60百分位数， 即. 故答案为：75 13. 若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由即得解. 【详解】由题意知，．设， 则． 又，∴，∴． 故答案为：. 14. 如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥且，，分别为棱，，上离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为________cm. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求出点到平面的距离，说明所求球形不是正方体的内切球，作截面确定球心位置及球的半径. 【详解】由题意可得， 所以为等边三角形，设的中心为， 则，因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，平面， 所以，同理可证， 平面，， 所以平面， 因为，所以，又， 所以，又，，平面， 所以平面，平面， 所以，同理证明， 又平面，， 所以平面， 所以三点共线， 设点到平面的距离为， 而， ， 由，得， 解得，即， 又，所以， 因为，所以该球不是正方体的内切球， 连接，交与点，连接， 由对称性可得球的球心位于线段上，且该球与平面相切，与平面相切， 设球心为，球的半径为，则，，故， 所以，所以， 所以所求球形饰品的半径的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某中学800名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中女生的人数. 【答案】（1）0.2 （2）40 （3）320 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，计算出分数小于60的频率，得到答案； （2）得到分数在内的频数和频率，可估计总体中分数在区间内的人数； （3）根据频率分布直方图，计算分数不小于70的频率和频数，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，得到样本中女生只有40人，可以估计总体中女生的人数. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，可计算分数小于60的频率为： 所以从总体的800名学生中随机抽取一人， 估计其分数小于60的概率为0.2； 【小问2详解】 根据频率分布直方图，可计算分数小于50的频率为： 所以可计算在100人的样本中，分数小于50的频数为：人， 已知样本中分数小于40的学生有5人， 所以分数在内的频数为：5人， 即分数在内的频率为：0.05， 从而可估计总体中分数在区间内的人数约为：人； 【小问3详解】 根据频率分布直方图，可计算分数不小于70的频率为：， 则计算样本中分数不小于70的频数为：人， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等，所以此时男女生各有30人； 而样本中有一半男生的分数不小于70，则样本中男生人数共有60人， 所以样本中女生只有40人， 可以估计总体中女生的人数约为：人 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，将边换成角，再根据两角和与差公式化简合并，即可求解. （2）由（1）可知，根据同三角函数关系可求出，再根据正弦定理求出，根据二倍角公式进一步求出与，最后利用两角和与差公式即可求解. （3）根据面积公式和余弦定理变形公式即可求解. 【小问1详解】 解：（1）因为， 由正弦定理得， 即， 因为，则，故. 【小问2详解】 因为，且，则， ， . ， ， . 【小问3详解】 ， 因为由余弦定理得， 于是， 因为，则，所以， 因此，于是的周长. 17. 欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. （1）若为纯虚数，求的值； （2）请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； （3）已知，求. 【答案】（1） （2）证明：由于，得： 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）因为纯虚数，实部为0，虚部不为0，列出方程组进行计算即可； （2）因为，根据列出等式进行化简计算即可； （3）由，得出，代入计算即可. 【小问1详解】 因为，由于为纯虚数， 得，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得：， 所以. 18. 如图，在五面体中，平面，分别为的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：， 又分别为的中点，，A四点共面， 平面面， 平面，平面， 又平面， 又为，且， 又平面平面， 平面 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由平面，可得直线与平面所成角为，进而可得的正弦值，从而可得答案； （3）连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为再利用等体积法可求点到平面的距离 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以直线与平面所成角为， 直角三角形中，， . 即直线与平面所成角的大小为 【小问3详解】 存在点P，使得平面 如图，连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为 证明：因为分别为的中点， ， 面，在平面外， 平面， 由M是中点，M到面的距离为2， 根据条件，的面积为， 中， ， 得的面积为 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. （1）求事件“为偶数”的概率； （2）若，求“二面角的平面角大于”的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求事件事件“”与事件“”均为奇数的概率，再求事件“”与事件“”均为偶数的概率，进而可求得事件“”为偶数的概率； （2）由题意证明平面，因此是二面角的平面角，再由正弦定理得出、，由题意，分类讨论：；；即可. 【小问1详解】 用表示“均为奇数”的事件，用表示“均为偶数”的事件， 则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C､D顶点的样本空间有56个样本点， 事件包含12个样本点，事件也包含12个样本点，根据古典概率知识得： . 记“为偶数”为事件，则， 故； 【小问2详解】 如图，取边的中点，连结. 因为均是边长为的正三角形， 所以，，平面, 因此平面， 从而是二面角的平面角， 又，则. 又， 同理， 当二面角的平面角大于时， ， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取共三个值； 当时，，则不存在. 从1-8个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（下期）高中学业质量调研抽测 高一数学试题 （数学试题卷共6页，共19个小题，考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.7，则4人都没中靶的概率为（ ） A. 0.2401 B. 0.7599 C. 0.0081 D. 0.081 2. 已知向量满足与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ） A. 平面 B. 八面体的体积为 C. 的最小值为 D. 点到平面的距离为 7. 甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（ ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若函数在定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”.已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 B. 只有甲､丙小组受到奖励的概率为 C. 只有一个小组受到奖励的概率等于 D. 技术难题被攻克的概率为 10. 已知为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A. 复数是实数，则实数或 B. 若是复数，且，则的最大值为 C. 若是复数，且，则 D. 若是关于的方程的一个根，则 11. 在中，角的对边分别为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为4 C. 的取值范围为 D. 若为的中点，则的取值范围为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，某团队两位运动员10次跳台跳水的成绩为：，则这组数据的第60百分位数为__________. 13. 若向量，且为单位向量，定义，则的取值范围是__________. 14. 如图，现有棱长为的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥且，，分别为棱，，上离最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径的最大值为________cm. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某中学800名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）从总体的800名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中女生的人数. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若，求的值； （3）若的面积为，且，求的周长. 17. 欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉创立，该公式联系了指数函数与三角函数，被誉为“数学中的天骄”，广泛应用于高等数学和初等数学，如把它与复数的三角形式联系，就可以利用该公式轻松解决“1的次方根问题”. （1）若为纯虚数，求的值； （2）请结合幂的运算，利用欧拉公式证明：； （3）已知，求. 18. 如图，在五面体中，平面，分别为的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 19. 在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱.现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点. （1）求事件“为偶数”的概率； （2）若，求“二面角的平面角大于”的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $