重庆市2025-2026学年高一下学期期末自编模拟数学试卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年重庆市高一期末模拟卷，覆盖必修一至统计模块，通过分层抽样（第2题）、立体几何证明（第16题）等题，融合数学抽象与空间观念，梯度设计适配高一期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、统计、向量、函数|第7题以异面直线与平面关系考查空间观念| |多选|3/18|幂函数、向量运算、三角函数|第9题结合幂函数奇偶性判断抽象能力| |填空|3/15|分位数、外接球、最值|第13题三棱锥外接球表面积考查几何直观| |解答|5/77|向量、立体几何、解三角形、函数、集合|第16题四点共面与三线共点证明，第18题函数与不等式综合，体现推理能力与应用意识|

2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 则． 2．某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该班女生人数为，则，解得， 所以该班女生人数为. 3．已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两向量垂直时数量积为0求解λ的值. 【详解】根据题意可得，即， 其中， ， ， 所以 ， 解得. 4．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 所以. 7．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．存在两条平行直线，且，，， D．存在两条异面直线，且，，， 【答案】D 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，如图所示，作长方体， 取平面和分别为平面和， 因为，且，，， 可得，， 显然可作无数条与平行且不在平面和内的直线， 即存在无数条直线与，都平行，但和不平行，所以A错误； 对于B，因为平面与平面和均垂直， 显然可作无数个与平面平行的平面，即存在无数个平面与，都垂直， 但和不平行，所以B错误； 对于C，若与相交，可在内取直线平行于交线，在内取也平行于交线， 则满足，且，此时无法推得，所以C错误； 对于D，如图所示，异面直线，满足，，且，， 在直线上取一点，过直线和点作平面，设， 因为，且，所以， 又因为，且，，所以，所以D符合题意. 8．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 10．已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，因为，则，故A错误； 对于B，若两个向量可作为基底，则这两个向量不共线.因为，， 对于与，因为，所以与不共线，则与可以作为所在平面的一组基底，故B正确； 对于C，根据向量夹角余弦值的计算公式，所以，故C错误； 对于D，因为，， 根据两向量垂直，则它们的数量积为0.因为， 所以，故D正确. 11．已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】根据，确定函数的最小正周期，再判断A的真假；利用点坐标和点处函数的性质，可求出的值，判断B的真假；确定点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，判断C的真假；利用二倍角公式，计算，可判断D的真假. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为_____. 【答案】20 【分析】根据百分位数定义求解. 【详解】给定数据按从小到大顺序排列，共7个数，，因此75%分位数是第6个数，为20. 13．在三棱锥中，平面 ，，，则其外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】将三棱锥补形成长方体，然后求出长方体的体对角线长，即为外接球的直径，即可求解. 【详解】将三棱锥补形成长方体，如图所示： 则，即其外接球的直径为， 所以外接球的表面积. 14．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量与的夹角为 ， ， ，求： (1)； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据计算可得； （2）依题意可得，根据平面向量数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以. （2）因为向量与互相垂直， 所以， 所以，即， 所以 . 16．如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 【答案】(1)证明：连接，因为是的中位线，所以 ． 因为，是两个全等的矩形， 所以 ， 所以 ，则四边形为平行四边形，从而． 又因为，所以 ，故四点共面． (2)证明：为梯形，设 ， 因为平面 平面，所以平面 平面． 又因为 ，所以，即直线经过同一点 ． 【分析】(1)利用中位线定理和平性定理证明，从而四点共面； (2)设两直线交于一点，利用线面关系和面面交线证明该点在上. 【详解】（1）略. （2）略. 17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）由锐角三角形得，由正弦定理求得（用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； （2）由（1）得， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故. 18．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【详解】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 19．已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高一期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：必修一、必修二到9.3统计；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数，，则的值为（　　） A．5 B． C． D．13 2．某班有名同学，现按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，从该班选出了人参加学校公益社团，其中男生人，则该班女生人数为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 7．设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（    ） A．存在无数条直线与，都平行 B．存在无数个平面与，都垂直 C．存在两条平行直线，且，，， D．存在两条异面直线，且，，， 8．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 10．已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A． B．与可以作为所在平面的一组基底 C． D． 11．已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．给定一组数据：10，12，15，16，18，20，21，则其75%分位数为_____. 13．在三棱锥中，平面 ，，，则其外接球的表面积为________． 14．已知，，，则的最小值为____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量与的夹角为 ， ， ，求： (1)； (2)若，求实数的值． 16．如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，，分别是，的中点． (1)证明：四点共面． (2)证明：直线，，经过同一点． 17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19．已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $