2024-2025学年高二下学期数学期末复习试题（适用于福建省漳州市）

2024-2025学年(下)期末复习 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数,则( ) A.1 B. C.0 D.2 2. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 3. 已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 已知点,,,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 5. 已知在所有男子中有5%患有色盲症,在所有女子中有0.3%患有色盲症,随机抽一人发现患色盲症,其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( ) A. B. C. D. 6. 下列函数中,在上是增函数的是( ) A. B. C. D. 7. 如图,是由斜二测画法得到的水平放置的直观图,其中,点为线段的中点,对应原图中的点,则在原图中下列说法正确的是( ) A. B. 的面积为2 C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为 8. 以下命题错误的为( ) A. 若,且,则A,B不是独立事件 B. 已知的外心为,若,则 C. 已知的垂心为,与共线 D. 若A,B是互斥事件,,则 二、多项选择题: 9. 函数,则( ) A. B. 增区间为 C. 最大值为1 D. 有两个零点 10. 在复平面内,下列说法正确的是( ) A. 复数,则在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. 若复数满足,则 D. 若,则的最大值为 11. 如图,六面体的一个面是边长为2的正方形,,,均垂直于平面,且,,则下列正确的有( ) A. B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 平面与平面所成角余弦值为 D. 当时,动点到平面的距离的最小值为1 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 圆台的母线长为,上､下底面半径分别为,,则该圆台的体积为_. 13. 关于的不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是_. 14.已知函数.若函数恰有三个零点,求的取值范围. . 补充. 某汽车启动阶段的路程函数为,则秒时,汽车的加速度是 . 四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 在一次对外星文明的探索中,科学家发现了一种外星生物,它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量,发现繁殖数量与天数之间存在线性关系. (1)根据记录的数据,得到以下表格: 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 繁殖数量 13 15 18 19 20 20 22 25 请利用最小二乘法求出线性回归方程;(2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析,以研究其基因多样性,发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究,记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为,求的分布列与数学期望. (参考公式与数据:,,,,) 16. 已知分别为三个内角的对边,且. (1)求;(2)在中,若边的中线,求面积的最大值. 17. 某调研机构从某校2023届高三年级学生中随机抽取60名学生,将其某次质检的化学科赋分后的成绩分成七段:,并制作了相应的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,估计该校高三年级学生在这次质检考试中化学科赋分后成绩的众数､平均数､中位数(小数点后保留一位有效数字);(2)用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本,则分数段抽取的人数是多少? 18. 如图,圆柱轴截面ABCD是正方形,,点E在底面圆周上,,F为垂足. (1)求证:; (2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时,求三棱锥的体积. 19. 已知函数,. (1)若的图象在点处的切线方程为,求的值; (2)若在其定义域上不具有单调性,求实数的取值范围; (3)若与的图象恰有两个不同的交点,求实数的取值范围. 2024-2025学年(下)期末复习 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数,则( ) A.1 B. C.0 D.2 【答案】A 【分析】利用导数法则求出导函数,令得,求解即可. 【详解】由得,则,解得. 故选:A. 2. 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 【答案】B 【解析】 【分析】运用线面垂直平行的定理,结合长方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A,如图,,此时,故A错误; 对于B,若,面内可以找一条直线,使得; 而,与内任意一条直线都垂直,则,则.故B正确; 对于C, 如图,,此时,故C错误; 对于D, 如图,,此时,故D错误. 故选:B. 3. 已知关于的不等式在上有解,则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【分析】将不等式化为,讨论、和时,分别求出不等式成立时的取值范围即可 【详解】时,不等式可化为; 当时,不等式为,满足题意; 当时,不等式化为,则,当且仅当时取等号, 所以,即; 当时,恒成立; 综上所述,实数的取值范围是 答案选A 【点睛】本题考查不等式与对应的函数的关系问题,含参不等式分类讨论是求解时常用方法 4. 已知点,,,则点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】C【详解】设,则, 因为,故,即, 解得,故点的坐标为.故选:C 5. 已知在所有男子中有5%患有色盲症,在所有女子中有0.3%患有色盲症,随机抽一人发现患色盲症,其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设事件“男子”,事件“女子”,事件“这个人色盲”结合题意得到,,且和,结合贝叶斯概率公式,即可求解. 【详解】设事件“男子”,事件“女子”,事件“这个人色盲”, 由题意得,,且, 所以. 故选:C. 6. 下列函数中,在上是增函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】ABD【详解】 对于,的导数在区间上恒成立,所以函数在上是增函数,故A正确.对于,的导数在区间上恒成立,所以函数在上是增函数,故B正确.对于,的导数,当时,,当时,, 所以函数在上是增函数,在上是减函数,故C错误.对于,的导数在区间上恒成立,所以函数在上是增函数,故D正确. 7. 如图,是由斜二测画法得到的水平放置的直观图,其中,点为线段的中点,对应原图中的点,则在原图中下列说法正确的是( ) A. B. 的面积为2 C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为 答案D 8. 以下命题错误的为( ) A. 若,且,则A,B不是独立事件 B. 已知的外心为,若,则 C. 已知的垂心为,与共线 D. 若A,B是互斥事件,,则 【答案】D 【解析】 【分析】若,则且,则,不是独立事件,故,也不是独立事件,故A正确; 取的中点得,所以,再可判断B; 点为垂心得, 利用得,可得与共线可判断C; 若,是互斥事件,,,则,故D错误; 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分. 9. 函数,则( ) A. B. 增区间为 C. 最大值为1 D. 有两个零点 【答案】AB 【分析】对于A,根据求导公式判断A;对于B,令,结合定义域求单调增区间;对于C,求出单调性,进而确定最值判断C;对于D,结合单调性和最值判断D. 【详解】对于A,函数的定义域为,因为,所以,故A正确; 对于B,令,解得,故函数的增区间为,故B正确; 对于C,令,解得,故函数的减区间为,结合B选项,所以函数先减后增,有最小值,无最大值,故C错误; 对于D,结合C选项,当时,函数有最小值,最小值为 ,结合单调性,所以无零点,故D错误, 故选:AB. 10. 在复平面内,下列说法正确的是( ) A. 复数,则在复平面内对应的点位于第四象限 B. C. 若复数满足,则 D. 若,则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数所在象限判断A,应用求和即可判断B,根据特殊值结合复数的模判断C,应用三角不等式求复数模的最大值判断D选项. 【详解】对于A,复数对于点位于第一象限,错误; 对于B,,正确; 对于C,取,则,错误; 对于D,,当时取最大值,正确. 故选:BD. 11. 如图,六面体的一个面是边长为2的正方形,,,均垂直于平面,且,,则下列正确的有( ) A. B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 平面与平面所成角余弦值为 D. 当时,动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直证明线线垂直判断A,建立空间直角坐标系,利用向量法求线线角判断B,求二面角判断C,利用点面距离判断D. 【详解】对A,由平面,平面,得,又由正方形可得,又平面,所以平面, 由平面,可得,故A正确; 如图,建立空间直角坐标系, 则, 设是平面的法向量,, 由,令,可得, , ,解得,即, 对B,,,故B错误; 对C,平面的法向量,平面的法向量, 则,故C正确; 对D,由知,在以为球心,半径为1的球面上,, 球心到平面的距离, 到平面的距离的最小值为,故D正确. 故选:ACD 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 圆台的母线长为,上､下底面半径分别为,,则该圆台的体积为_. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出圆台的高,再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的母线长为,上､下底面半径分别为,, 所以圆台的高, 所以圆台的体积. 故答案为: 13. 关于的不等式在区间上恒成立,则实数的取值范围是_. 【答案】A 【详解】试题分析:由可得,设,则函数在上单调递减,所以,故,应选A. 考点:不等式恒成立问题的处理方法. 【易错点晴】本题以不等式在区间上恒成立为背景,考查的是分离参数法及函数方程思想在解决不等式恒成立问题的常用方法.本题在求解时,首先从不等式中分离出参数,然后再求函数解析式在区间上的最小值,最后求出参数的取值范围是.从而使得问题简捷巧妙获解. 补充. 某汽车启动阶段的路程函数为,则秒时,汽车的加速度是 . 【答案】【详解】设汽车的速度函数为,则, 所以秒时,汽车的加速度是.故答案为: 14.已知函数.若函数恰有三个零点,求的取值范围. . (2) , 当或时,,当时,, 所以在和上单调递增,在单调递减, 所以,, 当时,,当时,, 因为有三个零点,所以,即, 解得,故的取值范围为. . 四、解答题:本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 在一次对外星文明的探索中,科学家发现了一种外星生物,它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量,发现繁殖数量与天数之间存在线性关系. (1)根据记录的数据,得到以下表格: 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 繁殖数量 13 15 18 19 20 20 22 25 请利用最小二乘法求出线性回归方程; (2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析,以研究其基因多样性,发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究,记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为,求的分布列与数学期望. (参考公式与数据:,,,,) 【答案】(1); (2)分布列见解析,数学期望. 【解析】 【分析】(1)先求出,再根据公式结合已知数据求出,从而可求出线性回归方程; (2)由题意得,的可能取值为,,,求出相应概率,从而可求得的分布列与数学期望. 【小问1详解】 ,, , , 所以,线性回归方程为. 【小问2详解】 依题意,随机变量服从超几何分布,的可能取值为,,. ,,, 的分布列为 0 1 2 的数学期望为. 16. 已知分别为三个内角的对边,且. (1)求; (2)在中,若边的中线,求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理即可求解; (2)法一:由是中点,得,利用向量的数量积运算得,最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解;法二:由是中点,得,在和中利用余弦定理得,最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解;法三:由是中点,得,,上面两式平方做差得,进而得,最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解;法四:在中,,,即,最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解;法五:延长至,使,因为是的中点,即证,进而得,又,即,即,最后利用均值不等式和三角形面积公式即可求解. 【详解】(1)由正弦定理,得,即, 由余弦定理,得,又,所以; (2)法一:因为是中点,所以,即 即,, , 因为,所以,即, ,即(当且仅当) 所以 所以当时,最大值为. 法二: 因为是中点,所以, 因为,所以,所以① 由,且,得,即② 把①代入②上式得: 下同方法1. 法三:因为是中点,所以,, 上面两式平方作差得:,所以, 因为,所以,即① 由,且,得,即② 把①代入②上式得: 下同方法1. 法四:在中,;在中,, 所以,即 下同方法2. 法五:如上图,延长至,使,因为是的中点, 所以,又,所以,则,且, 所以,,因为,所以,又, 所以,即, 下同方法1 17. 某调研机构从某校2023届高三年级学生中随机抽取60名学生,将其某次质检的化学科赋分后的成绩分成七段:,并制作了相应的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,估计该校高三年级学生在这次质检考试中化学科赋分后成绩的众数､平均数､中位数(小数点后保留一位有效数字); (2)用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本,则分数段抽取的人数是多少? 【答案】(1)众数为75,平均数为71,中位数为73.3 (2)6人 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程,求出的值,再根据众数、平均数及中位数计算规则计算可得; (2)求出抽样比与中的人数,即可得解. 【小问1详解】 由图可知众数为; 因为,解得, 平均数为 . 各组对应频率(且),因 且,所以中位数居第5组 设中位数为,则, 解得,所以中位数为. 【小问2详解】 因为总人数为人,抽取人,所以抽取比例为, 因为人中分数段人数为人, 所以分数段应抽取人数为. 18. 如图,圆柱轴截面ABCD是正方形,,点E在底面圆周上,,F为垂足. (1)求证:; (2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为时,求三棱锥的体积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)先证明,证明,进而证明平面,根据线面垂直的性质定理可证明结论. (2)建立空间直角坐标系,求出三角形的面积,平面DCE的法向量,利用空间向量的距离公式求出点B到平面CDE的距离,再由三棱锥的面积公式即可求出答案.. 【详解】(1)由题意可知底面 , 底面 ,故 , 又,,平面AED, 故平面AED, 由平面AED,得, 又,平面BED,故平面BED, 由平面BED,,可得. (2)由题意,以A为原点,在底面圆内过点A作AB的垂线作为x轴,以AB,AD所在直线为y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系, 并设AD的长度为2,则,,,, 因为平面ABE,所以∠DEA就是直线DE与平面ABE所成的角, 所以,所以,所以, , , 由上可得,, 设平面DCE的法向量为,则,即 取,得. 因为, 所以点B到平面CDE的距离. 所以三棱锥的体积为:. 20. 已知函数,. (1)若的图象在点处的切线方程为,求的值; (2)若在其定义域上不具有单调性,求实数的取值范围; (3)若与的图象恰有两个不同的交点,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由导数的几何意义得出,将切点坐标代入函数解析式以及切线方程,即可得出关于、的方程组,解出这两个未知数的值,即可得出的值; (2)求得,令,可知函数在上有异号零点,利用导数分析函数在上的单调性,计算得出,只需,由此可得出实数的取值范围,再结合函数极值点的定义验证即可; (3)令,则原方程可化为,结合函数单调性可知方程恰有个不同的实根,令,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】(1),,,则. ,,,. (2)由题可知的定义域为,. 令,其中,则函数在上有异号零点, 则对任意的恒成立,故函数在上单调递减, 因为,故只需即可, 即,由零点存在定理可知,存在,使得,即, 当时,,,即函数在上单调递增, 当时,,,即函数在上单调递减, 此时为函数的极大值点, 故当在其定义域上不具有单调性,的取值范围是. (3)若与的图象恰有两个不同的交点,则关于的方程恰有个不同的实根. , 关于的方程即方程恰有个不同的实根. 设,方程恰有个不同的实根. 对任意的恒成立,是增函数, 方程,即恰有个不同的实根. 设,则的图象与直线恰有个交点,, 令,可得, 当时,,当时,, 在区间上单调递增,在区间上单调递减,, 又,当时,,当趋向于时,趋向于,如下图所示: 当时,的图象与直线恰有2个交点, 即实数的取值范围为. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$