精品解析：山东省日照市五莲县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024~2025学年度下学期期末学科学业水平监测 八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁． 2．第I卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效． 3．第II卷共11小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 7，24，25 D. ，， 3. 在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子．下面的调查数据中最值得关注的是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 4. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为S，将从扭动到，则四边形面积为（ ） A. S B. C. D. 5. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 6. 若的小数部分是，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 2 7. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 9. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm． A. 15 B. 20 C. 18 D. 30 10. 如图，菱形对角线交于点O，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B．设运动时间是x秒，的长度是y米，右图反映了y随x变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ） A. 点H与点N、点Q的纵坐标相同 B. 的最小值为米 C. D. 的周长是16米 11. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在直角坐标系中，直线为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点…按照这样的作法进行下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4·小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为____ 15. 如图，已知正方形OABC的顶点B在直线上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______． 16. 综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做、、的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上，延长，与交于点M，连接．这个小组得到以下结论：①；②；③；④；⑤．你认为正确有______． 三、解答题（本大题共7小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 请计算：如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 19. 随着经济水平的提升，人们越来越重视身体健康、目前，国际上常用身体质量指数“”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：m）数值标准见下表： 的范围 健康类型 瘦弱（不健康） 偏瘦 正常 偏胖 肥胖（不健康） 某学校为了解中学生的健康情况，随机抽取了部分学生体检结果的身高数据，对身高情况分成4组（每组只包含下边界），绘制了如下两幅的统计图． （1）请补全条形统计图，并填空：_______，样本容量是_______； （2）样本中数据的中位数所在的范围是_______； （3）若取每个组的组中值代表每组中每个学生的身高，那么此次抽取的样本学生的平均身高是多少? （4）小张身高值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉_______．（结果精确到） 20. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 21. 近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 23. 综合与实践： 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点P，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． （1）初步思考：若点落在矩形的边上（如图①）． ①当点与点重合时，_____，当点与点重合时， _____； ②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形； （2）深入探究： ①若使折痕始终与边有交点，点始终在上，请直接写出的取值范围_____． ②若点与点重合，点在上，线段与线段交于点（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度下学期期末学科学业水平监测 八年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上填写自己的学校、姓名、考号、座号等信息，用2B铅笔填涂相应位置．答题过程中，请保持答题卡的整洁． 2．第I卷共12小题，每小题选出答案后，须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号．只能涂在答题卡上，答在试卷上无效． 3．第II卷共11小题，所有题目的答案，考生须用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡上各题目指定的区域内，在试卷上答题无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第I卷（选择题共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：判断一个二次根式是最简二次根式的条件是：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.据此判断，A项中被开方数4，可以写成22，能被开方，不是最简二次根式，B项中的被开方数5，符合条件，所以是最简二次根式，C项中的被开方数是分数，不符合条件，D项中的根式作分母，不符合条件，故选B. 考点：最简二次根式的定义. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 7，24，25 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：一个三角形中，若较短两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．依次检验各个选项当中较短的两条线段的平方和是否等于最长的线段的平方．若相等，则此三条线段能组成直角三角形，若不相等，则此三条线段不能组成直角三角形． 【详解】解：A．， ∴4，5，6不能组成直角三角形，故不符合题意； B．， ∴5，12，15不能组成直角三角形，故不符合题意； C．， ∴7，24，25能组成直角三角形，故符合题意； D．， ∴，，不能组成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 3. 在端午节到来之前，儿童福利院对全体小朋友爱吃哪几种粽子作调查，以决定最终买哪种粽子．下面的调查数据中最值得关注的是( ) A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故儿童福利院最值得关注的应该是统计调查数据的众数． 故选． 4. 如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为S，将从扭动到，则四边形面积为（ ） A. S B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：当时，面积为， ， 将从扭动到， 作，交于点，如图所示， ， ， 故选：B． 5. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 6. 若的小数部分是，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算， 先确定与的小数部分相同，即，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴与的小数部分相同，即， ∴． 故选：D． 7. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据kb＜0，b﹣k＞0，可以得到k、b的正负情况，从而可以得到函数y＝kx+b与y＝bx+k的图象经过哪几个象限． 【详解】解：∵kb＜0， ∴k、b异号， ∵b﹣k＞0， ∴b＞0，k＜0， ∴函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，函数y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限， 所以不符合题意，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，掌握利用一次函数的解析式判断一次函数经过哪些象限是解题的关键. 8. 如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=45°，∠CEF=15°，则∠D的度数是（　　） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质和已知条件可求出∠B的度数，再利用平行四边形的性质∠D=∠B即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠AEF=90°． ∵∠CEF=15°，∴∠AEB=180°﹣90°﹣15°=75°，∴∠B=180°﹣∠BAE﹣∠AEB=180°﹣45°﹣75°=60°． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 9. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm． A. 15 B. 20 C. 18 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求得BC的长． 【详解】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示： 则DB=AD=4cm， 由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形， ∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm， ∴DE=DH－EH=12－4=8cm， ∴BE=DE+DB=8+4=12cm ， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm， 故选;：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决，这是数学上一种重要的转化思想． 10. 如图，菱形对角线交于点O，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C，然后沿图中某些线段继续匀速运动，最后回到点B．设运动时间是x秒，的长度是y米，右图反映了y随x变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ） A. 点H与点N、点Q的纵坐标相同 B. 的最小值为米 C. D. 的周长是16米 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查函数图象及菱形的性质，根据题意，结合函数图象得出运动路线为是解题关键． 根据题意得出，结合图形确定运动路线为，得出点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置，然后利用菱形的性质及勾股定理依次判断即可． 【详解】解：根据题意，动点E以a米/秒的速度做匀速运动，从点B出发到C， ∴， 根据图象得最低点P对应点O位置，运动路线为， ∴点H对应菱形点B位置，点N对应菱形点D位置，点Q对应菱形点B位置， ∴点H与点N、点Q的纵坐标相同，正确，A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴的最小值为3米，B选项错误，符合题意； 根据图象得运动时间一共是9秒，总路程为9a， ∴， ∴， ∵菱形，， ∴， 解得：（负值舍去），正确，C选项不符合题意； ∴， 的周长为：米，正确，D选项不符合题意； 故选：B． 11. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C为直线l上一点，且纵坐标为3，点D为的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图象和性质，轴对称的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键．作点关于原点的对称点，连接、，由轴对称的性质得出，即当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点，根据一次函数解析式求出点的坐标，进而得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点P的坐标． 【详解】解：如图，作点关于原点的对称点，连接、， ， ， 当点、、三点共线时，最小，此时与轴交点为点， 直线与y轴交于点B， 当时，， ， 点D为的中点， ， ， 点C为直线l上一点，且纵坐标为3， ，解得：， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 当时，，解得：， 点P的坐标是， 故选：C 12. 如图，在直角坐标系中，直线为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点，再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴于点…按照这样的作法进行下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式得到，再根据勾股定理可知进而即可解答．本题考查了一次函数的性质，直角三角形的勾股定理，点在直线上的坐标关系，根据题意计算线段长度，找出点坐标的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线为， ∴当时，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， 依次类推可得：， 观察点，可发现规律：， ∴， 即， 故选． 第II卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4·小题，每小题4分，满分16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 14. 如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为____ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：连接，在菱形中，得，由，可得四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即的最小值，即可得出． 【详解】解：如图所示：连接， ∵在菱形中，， ，，， ， ，， ∴四边形是矩形， ， 的最小值，即最小值， ∴当时，最小， ， ， 最小为， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解此题的关键． 15. 如图，已知正方形OABC的顶点B在直线上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______． 【答案】(1,3) 【解析】 【分析】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．首先证明△BOF是等腰直角三角形，可得AB=AF，求出B、F的坐标即可解决问题； 【详解】解：如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OBA=45°， ∵∠BOF=90°， ∴△BOF是等腰直角三角形，∠BOM+∠FON=90°， ∴OB=OF， ∵BM⊥x，FN⊥x， ∴∠BMO=∠CNF=90°， ∴∠MBO+∠BOM=90°， ∴∠MBO=∠FON， ∴△BOM≌△OFN， ∴BM=ON，OM=FN， ∵正方形OABC的面积是10， ∴OB=， ∵点B在直线y=-2x上，且在第二象限内，设B(x,-2x)(x<0)， ∴OM=-x，BM=-2x， ∵OM2+MN2=OB2， ∴(-x)2+(-2x)2=()2， ∴x=-2或x=2(不符合题意，舍去)， ∴FN=OM=2，ON=BM=4, ∴B(-2,4)，F(4,2)， ∵BA=AF， ∴A(1,3)， 故答案为：(1,3)． 【点睛】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 16. 综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做、、的角”为主题开展数学活动．如图，某小组准备了一张正方形纸片，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕，展开后再沿折叠，使点A正好落在上，延长，与交于点M，连接．这个小组得到以下结论：①；②；③；④；⑤．你认为正确有______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征等知识，熟练掌握正方形和折叠的性质是解题关键．过点作于点，根据正方形和折叠的性质，证明四边形是矩形，进而证明，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半和等边对等角的额性质，得到，可判断①③结论；再根据平行线的性质和三角形内角和定理，可判断②⑤结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是正方形，将其对折，使对折的两部分完全重合，得到折痕， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， 在中，为中点， ， ， ， ， ， ， ，①结论正确； ，③结论错误； ， ， ， ，②结论正确； ，⑤结论正确； 在和中， ， ， ，④结论正确； 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（本大题共7小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键，根据二次根式的性质化简，合并同类项，二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 18. 某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 边的长度 ①测得水平距离的长为米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． 请计算：如果小明想要风筝沿方向再上升米，长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】他应该再放出米线 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理得到的长，再根据风筝沿方向再上升米，得到上升后的高度，最后再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 如图所示，风筝沿方向再上升米到点处，连接， ∴， ∴， ∴， ∴他应该再放出米线． 19. 随着经济水平的提升，人们越来越重视身体健康、目前，国际上常用身体质量指数“”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式为（表示体重，单位：；表示身高，单位：m）数值标准见下表： 的范围 健康类型 瘦弱（不健康） 偏瘦 正常 偏胖 肥胖（不健康） 某学校为了解中学生的健康情况，随机抽取了部分学生体检结果的身高数据，对身高情况分成4组（每组只包含下边界），绘制了如下两幅的统计图． （1）请补全条形统计图，并填空：_______，样本容量是_______； （2）样本中数据的中位数所在的范围是_______； （3）若取每个组的组中值代表每组中每个学生的身高，那么此次抽取的样本学生的平均身高是多少? （4）小张身高值为29，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉_______．（结果精确到） 【答案】（1）见解析；；40 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求圆心角，一元一次不等式的应用，根据统计图表获取信息是解题的关键． （1）先求出调查的总人数，得出样本容量，用调查的总人数减去除身高为的人数即可求出身高为的人数，用身高为占总人数的比例乘以，即可求出m的值； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）根据平均数计算公式求出结果即可； （4）设小张体重需要减掉，根据计算公式，列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 的人数为：（人）， ； 【小问2详解】 解：根据数据从小到大排列，排在第19和第20 的数值都在， 中位数所在的范围是； 【小问3详解】 解：此次抽取的样本学生的平均身高是： ； 【小问4详解】 解：设小张体重需要减掉， 依题意，， 解得：， 答：他的体重至少需要减掉， 故答案为：15.3． 20. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 近年来，洛阳文旅爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．洛邑古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示，设购进甲系列汉服x套，该汉服店出售完全部甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式； （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若出售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，若汉服店购进甲系列汉服的进价降低a元（其中），且最多购进240套甲系列汉服，若汉服店保持这两个系列汉服的售价不变，请直接写出使汉服店利润最大的进货方案． 【答案】（1） （2）至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 （3）汉服店应购进甲系列汉服套、乙系列汉服套，获利最大 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可； （3）根据题意首先列出此时与的函数关系式，其中，据此进一步化简，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元； 【小问3详解】 由题意得，，其中， 化简得，， ∵，则： ∴，随的增大而增大， ∴当时，有最大值， 则汉服店应购进甲系列汉服套、乙系列汉服套，获利最大． 22. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 【答案】（1） （2）； （3）实数的值为或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）将点、的坐标代入一次函数表达式：，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则； （3）分点在第一象限、点在第四象限两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 设直线所在的表达式为：， 则，解得：， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 点、点， ， 在中，由勾股定理得： 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 连接，，，则： ①若点在第一象限时，如图 ，，， ， 即，解得； ②若点在第四象限时，如图 ，，， ， 即，解得； 故：当与面积相等时，实数的值为或． 23. 综合与实践： 实践操作：在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点P，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． （1）初步思考：若点落在矩形的边上（如图①）． ①当点与点重合时，_____，当点与点重合时， _____； ②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形； （2）深入探究： ①若使折痕始终与边有交点，点始终在上，请直接写出的取值范围_____． ②若点与点重合，点在上，线段与线段交于点（如图③）．是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②证明过程见详解 （2）①；②存在，线段的长度为，理由见详解 【解析】 【分析】（1）①根据题意，结合图形，由折叠的性质，矩形的性质即可求解；根据矩形与折叠的性质得到四边形是正方形，由此即可求解； ②根据折叠的性质得到垂直平分，结合全等三角形的判定和性质，菱形的判定方法即可求解； （2）①分类讨论：当点与点重合时，；根据勾股定理可得；由此即可求解； ②如图所示，连接，可证，设，则，，，在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 点落在矩形的边上， ①当点与点重合时，如图所示， ，， ∴点为中点，点为中点， ∴， ∴； 如图所示，当点与点重合时，， ∴四边形是正方形， ∴； 故答案为：； ②当点在上，点的对应点记为点在边上， ∴垂直平分， 如图所示，设交于点，则，， ∵，即， ∴，且， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：①根据（1）中①的计算，当点与点重合时，， 如图所示，点重合，点在边上， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴折痕始终与边有交点，点始终在上，的取值范围； ②存在，线段的长度为，理由如下， 如图所示，连接， 根据矩形的性质，折叠的性质得到，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得，， ∴线段的长度为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，分类讨论思想，数形结思想，掌握以上知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $