精品解析：山东省济宁市任城区济宁学院附属中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024—2025学年第二学期期末考试 初三数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A． 表示是的正比例函数； B． 表示是的反比例函数； C． 表示是的正比例函数； D．表示是的一次函数． 故选B． 2. 下列四组线段中，不能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵， ∴能成比例，该选项不合题意； 、∵，， ∴，不能成比例，该选项符合题意； 故选：． 3. 若是方程 的两个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质和勾股定理等知识内容，正确掌握菱形的性质是解题的关键．因为四边形是菱形，所以，，再根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的顶点D在y轴上， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 6. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数和一次函数图象的特点，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； B、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项错误； C、反比例函数的图象在第二、四象限，可得， 一次函数经过二、三、四象限，故此选项正确； D、反比例函数的图象在第一、三象限，可得， 一次函数经过一、三、四象限，故此选项错误； 故选：C． 7. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则6个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 则根据题意，可列方程为， 故选：D． 8. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． 由正方形和正方形可得、、、得，得，由，则，据此即可解答． 【详解】解：∵正方形和正方形，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D在x轴上，与y轴交于点，点，点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数的解析式． 根据点、的坐标可证，利用可证，根据全等三角形的性质可求出点的坐标是，从而可得，根据平行四边形的性质可以求出点的坐标是，把点的坐标，代入即可求出的值． 【详解】解：如下图所示， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ，， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 又点的坐标是， ， 四边形是平行四边形， ， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标是， ． 故选：C． 10. 如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则下列结论：①；②；③与相似；④当时，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，根据证明是等边三角形，得出,，利用证明可判断①正确；根据平行线的性质可判断②正确；根据三角形外角的性质得出中没有与对应相等的角，可判断③错误；过点作于，设，根据等腰直角三角形的性质及含角的直角三角形的性质得出，，根据全等三角形的性质，结合得出是等边三角形，即可证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，,， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴，， ∵， ∴中没有与对应相等的角， ∴与不相似，故③错误， 如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论为①②④ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，特殊的直角三角形的性质等知识．综合性较强，熟练掌握各定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零”是解本题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12 已知，且，若，则__． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 13. 如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：4． 14. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 15. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算： （1） （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算加法即可得到答案； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． （1）以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出． （2）计算四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换、三角形的面积，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：的面积为． 18. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 19. 位于济宁市铁塔寺里的铁塔（如图1）建于北宋时期，距今约有900年的历史，是我国现存最高、最完整的宋代铁塔，也是济宁的标志性建筑，为全国重点文物保护单位．如图2，我校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量铁塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与铁塔顶点A在同一直线上，已知米，米，目测点D到地面的距离米，到铁塔的水平距离米，求铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为23.8米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：米，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 详解】解：由题意得：米，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴铁塔的高度为23.8米． 20. 某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出______件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【答案】(1)450;(2)定价为4元 【解析】 【分析】(1)、根据上涨的数量与减少的数量之间的关系得出答案； (2)、根据总利润=单件利润×数量得出方程，从而得出答案，然后根据售价不能超过批发价的2.5倍进行舍根． 【详解】（1） ∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件， ∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500−10×3.5−30.1=450(件)； 故答案为450； （2）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得：（x－2)（500－×10）=800 . 整理得：x2－10x+24=0， 解之得：x1=4,x2=6， ∵物价局规定，售价不能超过批发价的2.5倍.即2.5×2=5＜6， ∴x2=6不合题意，舍去， 得x=4． 答：应定价4元/个，才可获得800元的利润. 点睛：本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．列出方程是解决这个问题的关键． 21. 如图，O为坐标原点，直线与双曲线相较于点和点两点． （1）求的函数表达式； （2）直接写出当，时，x的取值范围； （3）P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）设，利用的面积是面积的2倍，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：点和点均在反比例函数图象上， ， ，， ，的函数表达式为， 点和点在直线上， ，解得， 的函数表达式为； 【小问2详解】 解：，是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：或时，； 【小问3详解】 解：在函数中，令，得， 直线交轴于， 设， 的面积是面积的2倍， ， 解得或， 或． 22. 已知锐角中，边长为，高长为. （1）如图，矩形的边在边上，其余两个顶点、分别在、边上，交于点. ①求的值； ②设，矩形的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值. （2）若，正方形的两个顶点在一边上，另两个顶点分别在的另两边上，直接写出正方形的边长. 【答案】（1）①，②；（2）正方形的边长为或. 【解析】 【分析】（1）①根据EF∥BC，可得，所以，据此求出的值； ②首先根据EH=x，求出AK=8-x，再根据，求出EF的值；然后根据矩形的面积公式，求出S与x的函数关系式，利用配方法，求出S的最大值是多少即可． （2）根据题意，设正方形的边长为a，分两种情况：①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时；分类讨论，求出正方形PQMN的边长各是多少即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 又∵是高，是如5的高， ∴， ∴； ②∵EH=x， ∴KD=EH=x，AK=8-x， ， ， ； （2）设正方形的边长为a， ①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时， ， 解得a=， ②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BD=CD=12÷2=6， ， ∴AB或AC边上的高等于： AD•BC÷AB =8×12÷10 =， ， 解得a=， 综上，可得 正方形PQMN的边长是或. 【点睛】（1）此题主要考查了相似三角形判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． （2）此题还考查了二次函数的最值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． （3）此题还考查了矩形、正方形、直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期末考试 初三数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，不能成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 若是方程 的两个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 6 D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，已知，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内图象大致位置是（　　） A B. C. D. 7. 如图，长为、宽为的矩形空地，现计划要在中间修建3条等宽的小道，其余面积种植绿植，种植面积为，若设小道的宽为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D在x轴上，与y轴交于点，点，点，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 10. 如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则下列结论：①；②；③与相似；④当时，则．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是____． 12. 已知，且，若，则__． 13. 如图，D、E分别是边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为_________． 14. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 15. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是12，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 计算： （1） （2）解方程： 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． （1）以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出． （2）计算四边形的面积． 18. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 19. 位于济宁市铁塔寺里的铁塔（如图1）建于北宋时期，距今约有900年的历史，是我国现存最高、最完整的宋代铁塔，也是济宁的标志性建筑，为全国重点文物保护单位．如图2，我校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量铁塔的高度，他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与铁塔顶点A在同一直线上，已知米，米，目测点D到地面的距离米，到铁塔的水平距离米，求铁塔的高度． 20. 某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍． （1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出______件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 21. 如图，O为坐标原点，直线与双曲线相较于点和点两点． （1）求的函数表达式； （2）直接写出当，时，x的取值范围； （3）P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 22. 已知锐角中，边长为，高长为. （1）如图，矩形的边在边上，其余两个顶点、分别在、边上，交于点. ①求值； ②设，矩形面积为，求与的函数关系式，并求的最大值. （2）若，正方形的两个顶点在一边上，另两个顶点分别在的另两边上，直接写出正方形的边长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$