精品解析：山东省济宁市任城区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年山东省济宁市任城区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式的分母不为0，二次根式的被开方数非负，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴ ∴x的值可以是3， 故选：D． 2. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴==， 故选：D 3. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选：A． 4. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可. 【详解】A.=2，不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.=，不是最简二次根式； D.=，不是最简二次根式. 故选B. 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义. 5. 反比例函数y=的图象分别位于（ ） A 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 6. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】把x＝﹣1代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0， 解得：k＝﹣1， 故选A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，点A的坐标为， ∴点A的对应点A′的坐标为或，即或， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 8. 在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了黄金分割比的应用，根据下部与全部的高度比等于进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A 9. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物，根据所有人共送了90份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加聚会的同学有x人，则每人需赠送出份礼物， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴参加聚会的同学有10人． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论个数有（　　）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明可判定①正确；根据正方形的性质证明，得到，从而可判定②正确；过H点作，根据得到得到，从而得到，根据，可判定③正确；过点B作于点P，交的延长线上于点Q，证明四边形是正方形即可判断④正确． 【详解】解：①∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ，故①正确； ②∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵，E为的中点，四边形是正方形， ∴， ∴，故②正确； ③如下图所示，过H点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④过点B作于点P，交的延长线上于点Q， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， 由①得， ∴， ∵E是的中点， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是__． 【答案】 【解析】 【分析】由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出． 【详解】解：原式为 ， ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解，本题的方程有些学生容易在方程两边除以x，求出，忽略的情况，造成错解方程． 12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 13. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】剩余空地的长为，宽为，根据长方形面积公式，可得关于的一元二次方程． 【详解】解：根据题意可知剩余空地的长为，宽为，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实际问题与一元二次方程，用含有未知数的代数式将等量关系表示出来是解题的关键． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质等，计算出点恰好落在边上，以及点恰好落在边上时的值，即可得出线段的取值范围． 【详解】解：当点的对应点恰好落在边上时，如图： 由折叠的性质知，，， 又矩形中，， 四边形是正方形， ， ； 当点的对应点恰好落在边上时，如图， 由折叠的性质知， ， 又矩形中，， ， ， 又， ， ，即， ， ， 线段的取值范围是． 故答案：． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）去括号，同时把根式化成最简二次根式，再合并即可． （2）根据乘法和除法的运算法则计算即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙 （1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图； （2）如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 【答案】（1）见解析 （2）旗杆的影子落在墙上的长度为 【解析】 【分析】（1）连接，过点作的平行线即可； （2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可． 【小问1详解】 解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成影子． 【小问2详解】 过作于， 设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形． 19. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． （1）求十一、十二这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 【答案】（1）十一、十二这两个月的月平均增长率为 （2）每件模型应降价10元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，则十一月售出件，十二月售出件，再根据十二月售出400件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据利润为9000元列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设十一、十二这两个月的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：十一、十二这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解；设每件模型应降价m元， 由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， 答：每件模型应降价10元． 20. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】（1）2 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【小问1详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 小问2详解】 ∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 21. 学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 【答案】解决问题：（1）1；（2）5；探究问题：代数式的最小值是2024． 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，解二元一次方程组，以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． 解决问题：（1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可； 探究问题：根据“同族二次方程”的定义可得方程即为方程，再把展开得到，解方程组得到，据此仿照题意求出对应的最值即可． 【详解】解：解决问题：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5． 探究问题：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴方程即为方程， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值是2024． 22. 已知：E是矩形的边上一个动点，直线交于点F， （1）求证：； （2）若直线经过C点，且，是否存在这样的点E，使和相似？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． （3）连结，若，当和相似时，则　 　． 【答案】（1）见解析 （2）存在，或9 （3）4或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，以及同角的余角相等，即可得证； （2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式计算即可； （3）分和两种情况讨论，利用对应边对应成比例进行计算即可． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ADE∽； 【小问2详解】 设，则， 由题意得：， ∵△ADE∽， ∴， ∴， 解得：或9， 经检验，或9是分式方程的根， ∴或9； 【小问3详解】 连接． 当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为4或． 【点睛】本题考查矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，根据已知条件判定三角形相似，利用对应边对应成比例列式计算是解题的关键．本题考查了一线三直角相似模型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年山东省济宁市任城区八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内） 1. 要使有意义，则x的值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 3. 关于x的方程的根的情况是（　　） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 4. 下列式子中，为最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 反比例函数y=的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第一、第四象限 C. 第二、第三象限 D. 第二、第四象限 6. 若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　） A. ﹣1 B. 0 C. 1或﹣1 D. 2或0 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. 或 C. D. 或 8. 在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ） A B. C. D. 9. 在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的人有（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 10. 如图，正方形中，E为的中点，于G，延长交于点F，延长交于点H，交于N，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论个数有（　　）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是__． 12. 如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则值为______． 13. 公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设正方形空地原来的边长为，则可列方程为________． 14. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 15. 如图，在矩形中，是对角线，点P在边上，连接，将沿着直线翻折，点C的对应点Q恰好落在内，那么线段的取值范围是 ___________． 三、解答题（共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算：（1） （2） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙 （1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子的示意图； （2）如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 19. 2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型． 某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型． 已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． （1）求十一、十二这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 20. 如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． （1）若，求线段AD的长． （2）若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 21. 学习的本质是提高自学能力．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． 解决问题： （1）求代数式的最小值． （2）求代数式的最值． 探究问题： 关于x的一元二次方程与 称为“同族二次方程”． 例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，根据你的观察，探究下面的问题：代数式的最值是多少？ 22. 已知：E是矩形的边上一个动点，直线交于点F， （1）求证：； （2）若直线经过C点，且，是否存在这样点E，使和相似？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． （3）连结，若，当和相似时，则　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $