专题18 解析几何的解题能力讲义-2025届高三数学二轮复习

专题18 解析几何的解题能力 【专题探究】 例1【解析】由，可得， 因为是线段的中点， 所以，， 因为在椭圆上，所以 两式相减得：， 所以， 因为为中点，故点在椭圆的内部，所以， 又因为，所以，故； ①当的斜率为时，被圆截得的弦长为，不符合题意； ②当的斜率不为时，设直线， 由，得， 则，即， 则，， 又，则轴， 因为平分， 所以，即， 得 ，所以， 因为，所以解得，故直线的方程为， 因为被圆截得的弦长为，圆的半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则，且满足， 于是的方程为． 练1【解析】设由题意得，，，， ， 解得，， 椭圆的方程为． 设，，， 由，， 得，， ① 又点，，均在椭圆上， 由相减得， ② 由得③ 联立②③得④    联立①④得， 为定值． 练2【解析】由题意，设椭圆半焦距为， 则，所以，所以， 设点，， 因为，所以的最大值为， 将代入，得，则，， 所以椭圆的标准方程为． 设点，直线方程为， 与椭圆方程联立得， ，即， 则， 直线的方程为， 令，则点的纵坐标， 直线的方程为， 令，则点的纵坐标， 当、、、四点共圆时，则，即， ， 则，由，解得．  例2【解析】1因为点在椭圆上，所以，解得， 故椭圆方程为， 过点作的斜率为的直线方程为， 与椭圆方程进行联立，即， 整理得，， 因为直线和椭圆有一个交点， 此时， 解得， 所以椭圆的方程为． 2设直线与椭圆的交点， 则过点斜率为的直线方程为， 与椭圆方程进行联立得， 整理得，， 由韦达定理知 ，， ， 当成等差数列时， ， 即，整理得 ，则 ， 整理得，， 解得或舍去， 所以当时成等差数列．  练3【解析】1以长轴和短轴为对角线的四边形面积为， 从而，， 因为在椭圆上，所以，解得，， 所以椭圆方程为． 2设，，的中点分别是，，，， 则，因为，均与椭圆相切于，点， 所以，． 因为在，两直线上，所以 所以，在直线上，即直线的方程为． 联立得 所以，，， 当直线斜率存在时， 直线的方程：， 设，，得， 因为直线与椭圆相切，所以，化简得． 代入，得， 因为在椭圆上，所以，代入得， 解得，舍，所以， 此时，， 所以中点为：， 方程的解为， 所以时，与椭圆相切时切点为的中点，所以满足条件． 当直线斜率不存在时，显然可得．  练4【解析】由题意得，设点，则点， 因为，所以，则 因为点在圆上，所以，则，即， 所以点轨迹方程为． ①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线， 联立，得， 设直线与曲线两交点的坐标分别为，则， ； 直线， 同理可得：， 设直线与轴交于点， 则当直线斜率存在时，由， 得， ，即直线恒过点； 当直线斜率不存在时，由，得，则， 则直线恒过点； ②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过， 综上：直线恒过点 在以中点为圆心，为直径的圆上， 取，则为定值； 存在点，使得为定值． ． 例3【解析】，，椭圆经过点， ， 则，又，． 故椭圆方程为：； 由题意设：，：， 再设，，， 联立，得． ，得， 同理，得． 不妨设在轴上方，则，， ，， ． 又，， ．  练5【解析】因为点在抛物线上， 所以，解得，因此抛物线的方程为． 设直线的方程为． 因为直线与抛物线交于两点，且点在直线的上方， 所以设，，且，即． 由，得， 而由得， 因此，，， 因此 ， 即， 所以直线和直线的倾斜角互补． 因为直线的倾斜角为，所以． 又因为由知：，所以， 因此由知：， 即， 所以，解得， 又因为， 而点到直线的距离为， 所以的面积， 设， 则， 时，，单调递增；时，，单调递减； 故时，取得最大值为， 所以的面积的最大值为．  练6【解析】由题意得，，，解得，， 所以椭圆的方程为 由题意得，，显然的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，消整理得， ，，， 由题意知，，不在轴上，则分别作在点，上的两条切线的斜率存在， 联立过，的切线方程，整理得． 相减可得，即， 化简可得，代入，可得，故． 设的中点为，则，，故， 因为，，所以， 所以，，三点共线， 又过作平行于的直线分别交，于，，易得∽， 取中点，根据三角形的性质有，，，四点共线， 结合椭圆的对称性有， 当且仅当时取等号， 所以   【专题训练】 1. 【解析】由题意知在第一象限，在第四象限． 由知，则． 又，，三点共线， 所以， 而由可得：，即， ， ，即，． 由斜率为得． 故答案为． 2. 【解析】设，由题意得 化简得 设点的坐标为，由题意可知 ，①                                  因为，所以过点作切线的斜率显然存在， 设直线的斜率为为，即， 将该直线方程与联立： 得：． 令，整理得，                                        由题意知，是方程②的两根， ，且由根于系数关系，知，③ 将①代入③即得，④ 由，结合题意可知：，， 所以，⑤ 由④⑤并结合点的位置，解得，，经检验符合题意．  3. 【解析】依题意：，解得，  所以椭圆的方程是；  解法一：设， 则 相减得：， 又由，知，， 由，知，，     代入式得：，即，  又因为点在椭圆内，所以，  所以的面积  解法二：设， 则 设直线的方程为，代入椭圆的方程得：， 由得，． 所以 ，消去得到， 所以，   因此的面积  解法三：设直线的方程为， 代入椭圆的方程得：， 由得，， 所以 ，， ， 原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以． 4.【解析】解：设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为， 所以，即， 因为，得，即， 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点，， 联立方程组， 整理得， 所以，， 证明：以 为定值，得证； 直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故． 联立方程组，整理得， 解得或舍， ， 所以的面积 ， 由可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为．  5. 【解析】由的方程：       由已知直线的斜率存在，设：， 与圆：相切， 则，  联立双曲线 与直线 的方程：， 设直线与双曲线的左右两支交于，两点， 所以 所以  ， 又，以，为直径的圆经过双曲线的右顶点， 所以，， 又 ， 即 或， ①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去； ②当时，代入，得，，满足条件， 所以直线的方程为或  6. 【解析】解：设，， 线段的中点为， ，． 将，代入椭圆：中，可得 ， 两式相减可得，， 即， ． 点在椭圆内，即， 解得， 由题意得，设，，，则 ，， 由及题设得，． 又点在上，所以，从而，， 于是， 同理． 所以， 故，即，，成等差数列． 设该数列的公差为，则，， 将代入得， 所以的方程为，代入的方程，并整理得． 故，，代入解得． 所以该数列的公差为或．  7. 【解析】因为双曲线的右焦点为，所以 因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以 所以，即双曲线 设，，，，，设切线为， 由得，因为直线与双曲线相切， 所以， 解得 所以 因为， 所以，，即直线 同理可得直线 因为直线与直线交于点， 所以， 所以点，满足方程，即直线 同理可得直线， 因为点在直线上，所以，即点在直线上 因为，，所以， 所以，即 所以直线， 由得 所以 因为点到直线的距离为，所以 令，，，， 因为 所以，，单调递减，，，单调递增， 所以．  8. 【解析】解：由题意，设，则， 由得，， 在区间上单调递减， 时，取最大值， ，解得， ， 由题意可得双曲线的标准方程为； 是定值，理由如下， 设，，直线为， 联立得，， ， ，， ， ， 即为定值； 证明：由对称性可知，，，， 易知∽， ， 由可知， 代入上式可得， 同理可得， ， 即为定值．  共17页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18：解析几何的解题能力 <<<专题综述>>> 解析几何是高中数学的重点和难点，对其中的直线、圆、圆锥曲线等知识的考查几乎没有遗漏过，基本思想实际上是用代数方法解决几何问题. 该部分试题的总特点是重基础,重素养,重能力.因此，要培养和提升学生的解题能力,首先领会考点知识，奠定培养解题能力的基础;其次通过研究题型，培养解题能力.<<<专题探究>>> 题型一：转化能力 解决解析几何的整体思路是：结合图形分析几何特征，几何特征恰当代数化，优化代数运算解决问题，把代数化的结论还原成几何结论.其中思维难点是转化，常见的转化思路有： 1.分析几何条件的本质特征转化成合理的代数关系，通过代数运算最终转化为几何结论.如： ①线段积问题：转化为向量数量积表示、将斜线段投影到坐标轴上或与坐标轴平行的直线上，将线段积转化为同一坐标轴上的射影问题，即将二维问题转化为一维问题、将线段用参数方程表示，将线段之积转化为参数之积等； ②角平分线：转化为两直线斜率间的关系、转化为角平分线上的点到角两边的距离相等、转化为三角形中对应线段的比例关系等； ③角问题：利用斜率转化、利用三角函数转化、利用平面向量转化、利用解三角形转化等； ④垂直问题：转化为向量数量积为0、转化为斜率表示等； ⑤平行四边形问题：结合向量线性运算的平行四边形法则，转化为向量间的关系； ⑥面积的转化：转化为几个三角形的面积和等. 2.分析复杂的几何条件转化成简单的几何条件，部分几何条件容易转化为代数关系，但是可能会导致计算复杂，故先转化为简单的几何条件. 3.在转化中优化解题策略（专题17）. 例1已知点，不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点． 若为线段的中点，证明：； 设的左焦点为，若在的角平分线所在直线上，且 被圆截得的弦长为，求 的方程． 【思路点拨】 第问考查弦中点问题，容易想到点差法解决；第问数形结合可得轴，故几何条件“在的角平分线所在直线上”，可转化为直线与的斜率为互为相反数，从而将几何问题代数化. 【规范解析】 由，可得， 因为是线段的中点， 所以，， 因为在椭圆上，所以 两式相减得：， 所以， 因为为中点，故点在椭圆的内部，所以， 又因为，所以，故； ①当的斜率为时，被圆截得的弦长为，不符合题意； ②当的斜率不为时，设直线， 由，得， 则，即， 则，， 又，则轴， 因为平分， 所以，即， 得 ，所以， 因为，所以解得，故直线的方程为， 因为被圆截得的弦长为，圆的半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则，且满足， 于是的方程为． 练1已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，左顶点为，且． 求椭圆的方程； 已知，，点在椭圆上，直线，分别与椭圆交于另一点，，若，，求证：为定值． 【规范解析】 设由题意得，，，， ， 解得，， 椭圆的方程为． 设，，， 由，， 得，， ① 又点，，均在椭圆上， 由相减得， ② 由得③ 联立②③得④    联立①④得， 为定值． 练2椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为． 求椭圆的标准方程； 设直线交轴于点，其中，直线交椭圆于另一点，直线和分别交直线于点和，若、、、四点共圆，求的值． 【规范解析】 由题意，设椭圆半焦距为， 则，所以，所以， 设点，， 因为，所以的最大值为， 将代入，得，则，， 所以椭圆的标准方程为． 设点，直线方程为， 与椭圆方程联立得， ，即， 则， 直线的方程为， 令，则点的纵坐标， 直线的方程为， 令，则点的纵坐标， 当、、、四点共圆时，则，即， ， 则，由，解得．  题型二：预判能力 解决解析几何问题时，结合平时的知识经验的积累和方法的总结，在解题过程中做出相对准确合理的预判，一定程度上能够指引解题方向，优化解题策略，修正解题的结果. 1. 预判目标，明确解题方向：在解决定点、定值、探索性等问题时，充分挖掘题目条件，整体建构好解题思路，采用特殊化、极端化等方法预判，得到初步的结论，明确解题目标，再进行结果验证. 2.预判方法，优化解题策略：为优化解题过程，降低运算难度，常会面临着点参、斜参、角参的选择.根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质，结合题目特点选择合适的参变量、公式、坐标系进行解题预判. 3.预判结果，验证解题过程：对解题过程中的一些阶段性结果的准确性进行预判，若与解题目标不符，则及时修正调整.比如在解决定点问题时，采用一般性解法得到结果，可利用特殊情况对结果进行验证判断结果.或者结合圆锥曲线的对称性，满足条件的直线不止一条，进而判断结果. 例2 已知椭圆，点在椭圆上，过点作斜率为的直线恰好与椭圆有且仅有一个公共点． 1求椭圆的标准方程； 2设点为椭圆的长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，是否存在常数，使成等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 第1问由题干的所给的2个条件，求出；第2由椭圆的对称性可知，若存在常数满足“使成等差数列”，则的值应为2个，且为互为相反数，对结果作出预判. 【规范解析】 1因为点在椭圆上，所以，解得， 故椭圆方程为， 过点作的斜率为的直线方程为， 与椭圆方程进行联立，即， 整理得，， 因为直线和椭圆有一个交点， 此时， 解得， 所以椭圆的方程为． 2设直线与椭圆的交点， 则过点斜率为的直线方程为， 与椭圆方程进行联立得， 整理得，， 由韦达定理知 ，， ， 当成等差数列时， ， 即，整理得 ，则 ， 整理得，， 解得或舍去， 所以当时成等差数列．  练3 已知椭圆过点，且以长轴和短轴为对角线的四边形面积为． 1求的方程 2已知椭圆，在椭圆上任取三点，，，是否存在使得与椭圆相切于三角形三边的中点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【规范解析】 1以长轴和短轴为对角线的四边形面积为，从而，， 因为在椭圆上，所以，解得，， 所以椭圆方程为． 2设，，的中点分别是，，，， 则，因为，均与椭圆相切于，点， 所以，． 因为在，两直线上，所以 所以，在直线上，即直线的方程为． 联立得 所以，，， 当直线斜率存在时， 直线的方程：， 设，，得， 因为直线与椭圆相切，所以，化简得． 代入，得， 因为在椭圆上，所以，代入得， 解得，舍，所以， 此时，， 所以中点为：， 方程的解为， 所以时，与椭圆相切时切点为的中点，所以满足条件． 当直线斜率不存在时，显然可得．  练4已知为圆：上一动点，过点作轴的垂线段，为垂足，若点满足． 求点的轨迹方程； 设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为、，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【规范解析】 由题意得，设点，则点， 因为，所以，则 因为点在圆上，所以，则，即， 所以点轨迹方程为． ①若两条互相垂直的弦所在直线的斜率均存在，则可设直线， 联立，得， 设直线与曲线两交点的坐标分别为，则， ； 直线， 同理可得：， 设直线与轴交于点， 则当直线斜率存在时，由， 得， ，即直线恒过点； 当直线斜率不存在时，由，得，则， 则直线恒过点； ②若两条互相垂直的弦所在直线中有一条斜率不存在，则直线为轴，恒过， 综上：直线恒过点 在以中点为圆心，为直径的圆上， 取，则为定值； 存在点，使得为定值． ． 题型三：运算能力 解决解析几何问题，要求学生在夯实基础知识、明确运算目标、注重算理算法的多样性的基础上，提升运算的合理性、简洁性、准确性. 1.明确几何特征，探究运算思路：利用数形结合思想，明确几何对象哪些是运动变化的量，哪些是不变的量，分析不同对象之间的位置关系、数量关系，再将几何问题代数化. 2.结合代数结构，选择运算方法：灵活的运用定义与性质，计算过程中恰当的利用换元法、同构、不等式等方法简化计算，从而实现快速高效的解题. 例3已知中心在原点，焦点为，的椭圆经过点． 求椭圆方程； 若是椭圆上任意一点，交椭圆于点，交椭圆于点，求的值． 【思路点拨】 第问结合焦点坐标及椭圆上的点的坐标，求出椭圆方程；第问通过数形结合分析几何特征，将线段长的比值转化为线段在轴上的投影长的比值，即用点的纵坐标表示简化计算，避免用两点间的距离公式使结果复杂化. 【规范解析】 ，，椭圆经过点， ， 则，又，． 故椭圆方程为：； 由题意设：，：， 再设，，， 联立，得． ，得， 同理，得． 不妨设在轴上方，则，， ，， ． 又，， ．  练5作斜率为的直线与抛物线交于两点如图所示，点在抛物线上且在直线上方． 1求的方程并证明．直线和的倾斜角互补． 2若直线的倾斜角为，求的面积的最大值． 【规范解析】 因为点在抛物线上， 所以，解得，因此抛物线的方程为． 设直线的方程为． 因为直线与抛物线交于两点，且点在直线的上方， 所以设，，且，即． 由，得， 而由得， 因此，，， 因此 ， 即， 所以直线和直线的倾斜角互补． 因为直线的倾斜角为，所以． 又因为由知：，所以， 因此由知：， 即， 所以，解得， 又因为， 而点到直线的距离为， 所以的面积， 设， 则， 时，，单调递增；时，，单调递减； 故时，取得最大值为， 所以的面积的最大值为．  练6已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为． 求的方程 设任意过的直线为交于，，分别作在点，上的两条切线，并记它们的交点为，过作平行于的直线分别交于，，求的取值范围． 【规范解析】 由题意得，，，解得，， 所以椭圆的方程为 由题意得，，显然的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，消整理得， ，，， 由题意知，，不在轴上，则分别作在点，上的两条切线的斜率存在， 联立过，的切线方程，整理得． 相减可得，即， 化简可得，代入，可得，故． 设的中点为，则，，故， 因为，，所以， 所以，，三点共线， 又过作平行于的直线分别交，于，，易得∽， 取中点，根据三角形的性质有，，，四点共线， 结合椭圆的对称性有， 当且仅当时取等号， 所以   <<<专题训练>>> 1. 已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，若，且直线的斜率为，则          ． 【解析】 解：由题意知在第一象限，在第四象限． 由知，则． 又，，三点共线， 所以， 而由可得：，即， ， ，即，． 由斜率为得． 故答案为． 2. 在平面直角坐标系中，点，，动点满足直线与的斜率乘积为． 求动点的轨迹方程； 已知，在上取一点作的两条切线，其中为切点，的斜率分别为，直线与轴的负半轴交于点，直线与轴的正半轴交于点，且，求和． 【解析】 解：设，由题意得 化简得 设点的坐标为，由题意可知 ，①                                  因为，所以过点作切线的斜率显然存在， 设直线的斜率为为，即， 将该直线方程与联立： 得：． 令，整理得，                                        由题意知，是方程②的两根， ，且由根于系数关系，知，③ 将①代入③即得，④ 由，结合题意可知：，， 所以，⑤ 由④⑤并结合点的位置，解得，，经检验符合题意．  3. 已知离心率为的椭圆：的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． 求椭圆的方程； 斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点面积的取值范围． 【解析】 解：依题意：，解得，  所以椭圆的方程是；  解法一：设， 则 相减得：， 又由，知，， 由，知，，     代入式得：，即，  又因为点在椭圆内，所以，  所以的面积  解法二：设， 则 设直线的方程为，代入椭圆的方程得：， 由得，． 所以 ，消去得到， 所以，   因此的面积  解法三：设直线的方程为， 代入椭圆的方程得：， 由得，， 所以 ，， ， 原点到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以． 4. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为． 求椭圆的标准方程 过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． 求证：为定值，并求出该定值 设直线与轴交于点，求的面积的最大值． 【解析】 解：设椭圆的焦距为， 因为椭圆的离心率为， 所以，即， 因为，得，即， 所以直线的方程为，即， 因为原点到直线的距离为， 故，解得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点，， 联立方程组， 整理得， 所以，， 证明：以 为定值，得证； 直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点， 直线的方程为，令，得，故． 联立方程组，整理得， 解得或舍， ， 所以的面积 ， 由可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，， 当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为．  5. (2025·河北省模拟)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为． 求双曲线的方程 如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程． 【解析】 解：由的方程：       由已知直线的斜率存在，设：， 与圆：相切， 则，  联立双曲线 与直线 的方程：， 设直线与双曲线的左右两支交于，两点， 所以 所以  ， 又，以，为直径的圆经过双曲线的右顶点， 所以，， 又 ， 即 或， ①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去； ②当时，代入，得，，满足条件， 所以直线的方程为或  6. 已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为． 证明：； 设为的右焦点，为上一点，且证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 【解析】 解：设，， 线段的中点为， ，． 将，代入椭圆：中，可得 ， 两式相减可得，， 即， ． 点在椭圆内，即， 解得， 由题意得，设，，，则 ，， 由及题设得，． 又点在上，所以，从而，， 于是， 同理． 所以， 故，即，，成等差数列． 设该数列的公差为，则，， 将代入得， 所以的方程为，代入的方程，并整理得． 故，，代入解得． 所以该数列的公差为或．  7. (2024·浙江省联考)设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为． 求双曲线的方程； 若，点在线段上不含端点，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值． 【解析】 解：因为双曲线的右焦点为，所以 因为右焦点到双曲线的渐近线的距离为，所以 所以，即双曲线 设，，，，，设切线为， 由得，因为直线与双曲线相切， 所以， 解得 所以 因为， 所以，，即直线 同理可得直线 因为直线与直线交于点， 所以， 所以点，满足方程，即直线 同理可得直线， 因为点在直线上，所以，即点在直线上 因为，，所以， 所以，即 所以直线， 由得 所以 因为点到直线的距离为，所以 令，，，， 因为 所以，，单调递减，，，单调递增， 所以．  8. 现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为． 求双曲线的标准方程 过的直线交双曲线左支于，两点点在点上方，判断是否是定值，并给出理由 在的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于，两点点在点上方，与相交于点，求证：为定值． 【解析】 解：由题意，设，则， 由得，， 在区间上单调递减， 时，取最大值， ，解得， ， 由题意可得双曲线的标准方程为； 是定值，理由如下， 设，，直线为， 联立得，， ， ，， ， ， 即为定值； 证明：由对称性可知，，，， 易知∽， ， 由可知， 代入上式可得， 同理可得， ， 即为定值．  共23页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18：解析几何的解题能力 <<<专题综述>>> 解析几何是高中数学的重点和难点，对其中的直线、圆、圆锥曲线等知识的考查几乎没有遗漏过，基本思想实际上是用代数方法解决几何问题. 该部分试题的总特点是重基础,重素养,重能力.因此，要培养和提升学生的解题能力,首先领会考点知识，奠定培养解题能力的基础;其次通过研究题型，培养解题能力.<<<专题探究>>> 题型一：转化能力 解决解析几何的整体思路是：结合图形分析几何特征，几何特征恰当代数化，优化代数运算解决问题，把代数化的结论还原成几何结论.其中思维难点是转化，常见的转化思路有： 1.分析几何条件的本质特征转化成合理的代数关系，通过代数运算最终转化为几何结论.如： ①线段积问题：转化为向量数量积表示、将斜线段投影到坐标轴上或与坐标轴平行的直线上，将线段积转化为同一坐标轴上的射影问题，即将二维问题转化为一维问题、将线段用参数方程表示，将线段之积转化为参数之积等； ②角平分线：转化为两直线斜率间的关系、转化为角平分线上的点到角两边的距离相等、转化为三角形中对应线段的比例关系等； ③角问题：利用斜率转化、利用三角函数转化、利用平面向量转化、利用解三角形转化等； ④垂直问题：转化为向量数量积为0、转化为斜率表示等； ⑤平行四边形问题：结合向量线性运算的平行四边形法则，转化为向量间的关系； ⑥面积的转化：转化为几个三角形的面积和等. 2.分析复杂的几何条件转化成简单的几何条件，部分几何条件容易转化为代数关系，但是可能会导致计算复杂，故先转化为简单的几何条件. 3.在转化中优化解题策略（专题17）. 例1已知点，不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点． 若为线段的中点，证明：； 设的左焦点为，若在的角平分线所在直线上，且 被圆截得的弦长为，求 的方程． 【思路点拨】 第问考查弦中点问题，容易想到点差法解决；第问数形结合可得轴，故几何条件“在的角平分线所在直线上”，可转化为直线与的斜率为互为相反数，从而将几何问题代数化. 练1已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，左顶点为，且． 求椭圆的方程； 已知，，点在椭圆上，直线，分别与椭圆交于另一点，，若，，求证：为定值． 练2椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为． 求椭圆的标准方程； 设直线交轴于点，其中，直线交椭圆于另一点，直线和分别交直线于点和，若、、、四点共圆，求的值． 题型二：预判能力 解决解析几何问题时，结合平时的知识经验的积累和方法的总结，在解题过程中做出相对准确合理的预判，一定程度上能够指引解题方向，优化解题策略，修正解题的结果. 1. 预判目标，明确解题方向：在解决定点、定值、探索性等问题时，充分挖掘题目条件，整体建构好解题思路，采用特殊化、极端化等方法预判，得到初步的结论，明确解题目标，再进行结果验证. 2.预判方法，优化解题策略：为优化解题过程，降低运算难度，常会面临着点参、斜参、角参的选择.根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质，结合题目特点选择合适的参变量、公式、坐标系进行解题预判. 3.预判结果，验证解题过程：对解题过程中的一些阶段性结果的准确性进行预判，若与解题目标不符，则及时修正调整.比如在解决定点问题时，采用一般性解法得到结果，可利用特殊情况对结果进行验证判断结果.或者结合圆锥曲线的对称性，满足条件的直线不止一条，进而判断结果. 例2已知椭圆，点在椭圆上，过点作斜率为的直线恰好与椭圆有且仅有一个公共点． 1求椭圆的标准方程； 2设点为椭圆的长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，是否存在常数，使成等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 第1问由题干的所给的2个条件，求出；第2由椭圆的对称性可知，若存在常数满足“使成等差数列”，则的值应为2个，且为互为相反数，对结果作出预判. 练3已知椭圆过点，且以长轴和短轴为对角线的四边形面积为． 1求的方程 2已知椭圆，在椭圆上任取三点，，，是否存在使得与椭圆相切于三角形三边的中点，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 练4已知为圆：上一动点，过点作轴的垂线段，为垂足，若点满足． 求点的轨迹方程； 设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为、，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：运算能力 解决解析几何问题，要求学生在夯实基础知识、明确运算目标、注重算理算法的多样性的基础上，提升运算的合理性、简洁性、准确性. 1.明确几何特征，探究运算思路：利用数形结合思想，明确几何对象哪些是运动变化的量，哪些是不变的量，分析不同对象之间的位置关系、数量关系，再将几何问题代数化. 2.结合代数结构，选择运算方法：灵活的运用定义与性质，计算过程中恰当的利用换元法、同构、不等式等方法简化计算，从而实现快速高效的解题. 例3 已知中心在原点，焦点为，的椭圆经过点． 求椭圆方程； 若是椭圆上任意一点，交椭圆于点，交椭圆于点，求的值． 【思路点拨】 第问结合焦点坐标及椭圆上的点的坐标，求出椭圆方程；第问通过数形结合分析几何特征，将线段长的比值转化为线段在轴上的投影长的比值，即用点的纵坐标表示简化计算，避免用两点间的距离公式使结果复杂化. 练5作斜率为的直线与抛物线交于两点如图所示，点在抛物线上且在直线上方． 1求的方程并证明．直线和的倾斜角互补． 2若直线的倾斜角为，求的面积的最大值． 练6已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距与短轴长均为． 求的方程 设任意过的直线为交于，，分别作在点，上的两条切线，并记它们的交点为，过作平行于的直线分别交于，，求的取值范围． <<<专题训练>>> 1. 已知点与抛物线，过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，若，且直线的斜率为，则          ． 2. 在平面直角坐标系中，点，，动点满足直线与的斜率乘积为． 求动点的轨迹方程； 已知，在上取一点作的两条切线，其中为切点，的斜率分别为，直线与轴的负半轴交于点，直线与轴的正半轴交于点，且，求和． 3. 已知离心率为的椭圆：的左顶点为，左焦点为，及点，且，，成等比数列． 求椭圆的方程； 斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求为坐标原点面积的取值范围． 4. 在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的右顶点，上顶点，若的离心率为，且到直线的距离为． 求椭圆的标准方程 过点的直线与椭圆交于，两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为，． 求证：为定值，并求出该定值 设直线与轴交于点，求的面积的最大值． 5. (2025·河北省模拟)在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为． 求双曲线的方程 如图，过圆上一点作圆的切线与双曲线的左右两支分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的方程． 6. 已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为． 证明：； 设为的右焦点，为上一点，且证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 7. (2024·浙江省联考)设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为． 求双曲线的方程； 若，点在线段上不含端点，过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值． 8. 现有一双曲线，和分别为的左焦点和右焦点，是双曲线上一动点，的最大值为． 求双曲线的标准方程 过的直线交双曲线左支于，两点点在点上方，判断是否是定值，并给出理由 在的条件下，过点作平行于的直线交双曲线右支于，两点点在点上方，与相交于点，求证：为定值． 共9页/第9页 学科网（北京）股份有限公司 $$