湖南省新高考教学教研联盟暨长郡二十校联盟2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

2025年高二期末联考 数学 命题人：彭泽华 审题人：高李 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数为纯虚数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 5. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 已知且，则二项式的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. 6 D. 24 7. 定义新运算：，设，命题，则（    ） A. ，且为假 B. ，且为假 C. ，且为真 D. ，且为真 8. 已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（ ）. A. . B. . C. . D. . 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 若，两组数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性较强 B. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 C. 决定系数越大，模型的拟合效果越好 D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是 10. 已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，.若是边长为2的等边三角形，为底面圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ） A. 球的表面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 四面体的体积的取值范围是 D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为 第II卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有______种. 13. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为__________________. 14. 已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，. （1）求的值； （2）设为的中点，且，，求的周长. 16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. （1）若，求； （2）若，且数列为递增数列，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，． （1）求证：． （2）求线段中点到平面的距离． （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据（单位：人）： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 55 45 100 合计 120 80 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，. （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求在内的极值； （3）设，若有2个零点，，且，求证：. 2025年高二期末联考 数学 命题人：彭泽华 审题人：高李 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ACD 第II卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】150 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） 由于平面平面，平面平面， 且平面， 平面， 平面，． （2） （3）存在，，理由如下： 令，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 易知平面的一个法向量为， 于是，， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时． 【18题答案】 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）有极大值，无最小值 （3） ，则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $