精品解析：江西省景德镇一中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（19班）

江西省景德镇一中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（19班） 一、单选题 1. 已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直，面面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则或异面，故A选项错误； B选项，若，则或，故B选项错误； C选项，由直线与平面垂直的性质可得,故C选项正确； D选项，若，则或，故D选项错误. 故选：C 2. 若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得点到圆心距离，进而由，即可求解. 【详解】由，则圆心，半径， 所以点与圆心的距离， 所以， 则，. 所以. 故选：C. 3. 已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，分直线斜率存在与不存在，建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由抛物线，则焦点，设，， 易知 当直线的斜率不存在时，直线方程为，则， 即，解得； 当直线的斜率存在时，可设直线方程为， 代入，整理可得， ，， 则，当且仅当时，等号成立， 即，解得. 综上所述的最大值为. 故选：A. 4. 已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．  设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以．  根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10．  故选：C． 5. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面交于点，连接、，推导出点为的中点，用三棱柱的体积减去三棱台的体积即可得解. 【详解】设平面交于点，连接、， 在三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面，所以，， 又因为且，故四边形为平行四边形，所以，， 所以，， 因为为的中点，所以，为的中点，且， 因为直三棱柱的每条棱长都为， 则， 易知是边长为的等边三角形，则， ， 因此，顶点所在部分的体积为. 故选：B. 6. 已知点是双曲线C：（，）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线C的离心率的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 ，可得 ， 即有 为直角三角形，且， 可得 ， 由双曲线定义可得 ， 又 ，可得， 即有 ， 化为， 即有 ，可得 ， 由 可得 ， 故选C． 7. 设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，由椭圆定义，结合余弦定理求出，判断的形状，再利用三角形内角平分线的性质求解. 【详解】椭圆的焦点，，不妨令点在第一象限， 在中，， 则，解得，，则， 由平分，得，而，则， 所以. 故选：D 8. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得平面，再结合三角形全等的性质及圆的性质求出最小值. 【详解】如图，过点作，垂足为，连接， 而，，，平面，则平面． 又平面，则，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 平面，于是，而，因此，即， 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为． 故选：B 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式判断A，举反例判断B，C，利用斜率的几何意义判断D即可. 【详解】对于A，因为直线与平行， 所以，解得，此时直线为，即， 由平行线间距离公式得与的距离为，故A正确， 对于B，将点代入中， 发现，故该点不在直线上， 即过点且和直线平行的直线方程 不可能是，故B错误， 对于C，当时，直线可化为， 直线为，此时两直线也互相垂直， 所以“”不是“直线与直线互相垂直” 的必要不充分条件，故C错误， 对于D，直线的斜率为，则， 当时，的取值范围是，当时，的取值范围为， 故直线的倾斜角的取值范围是，故D正确. 故选：AD 10. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线：，根据题意求出，得到斜率判定A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定义转化长度，结合基本不等式计算判定D. 【详解】对于A，依题意得，设直线， 联立，消去x得，则， 则，解得或， 则或， 则直线l的斜率，故A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C，因为，所以，故C项错误； 对于D，依题意有，抛物线的准线方程为，所以， 则，由抛物线的定义可得， 可得， 因为，所以 ， 当且仅当时取等号，此时，故D项正确． 故选：ABD． 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积不变 C. 平面平面 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据为中点时，异面直线与所成角为判断A；根据判断B；证明平面即可判断C；将平面沿展开使其与平面重合时，再求的距离即可判断D. 【详解】解：对于A选项，由正方体的性质易知，为等边三角形， 所以，当为中点时，， 所以，此时，异面直线与所成角为，故A选项错误； 对于B选项，由正方体的性质易知平面，平面，侧面为正方形， 所以，，由于平面， 所以平面 设到平面的距离为，则， 因为， 所以，三棱锥的体积，故正确； 对于C选项，由正方体的性质易知平面，平面， 所以，，由于，平面， 所以平面，平面， 所以，同理证得， 由于，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面，故C选项正确； 对于D选项，根据题意，将平面沿展开使其与平面重合时，如图， 因为，所以，， 所以，故正确； 故选：BCD 12. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 13. 已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l交C于A、B两点，交C的准线于点M，若F为AM的中点，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作，垂足为E，确定，点A的横坐标为，设出直线方程，联立得到根与系数的关系，确定，，得到答案. 【详解】如图，设准线与x轴的交点为G，过点A作，垂足为E， 由抛物线，得，准线l的方程为，焦点F的坐标为， 为AM的中点，故，则点A的横坐标为 因为直线l过点F且与准线相交，所以直线l的斜率存在， 设其方程为，联立，化简可得， 方程的判别式， 设，，则，又，所以， 故，， 故 故答案为： 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出的双曲，进而求得双曲线的离心率. 【详解】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 15. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得. 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 故答案为：. 16. 三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 【答案】28π 【解析】 【分析】由题设及线面垂直的判定有平面，利用线面垂直模型求出三棱锥外接球的半径，进而求其表面积. 【详解】由题设，，即，， 由且都在平面内，则平面， 由，则的外接圆半径， 又，则三棱锥外接球半径， 所以所求外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题 17. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由ABCD为平行四边形知可求； （2）设点关于直线AB对称点的坐标为，由题意可得出，解方程即可得出答案. （3）求出和点到直线AB的距离即可求出面积. 【小问1详解】 设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. 【小问2详解】 直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. 【小问3详解】 ， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 18. 如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若为的中点，为上一点，证明． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，证明出，则或其补角为异面直线与所成角，然后求出三边边长，结合余弦定理求解的余弦值即可； （2）证明出平面，可得出，再由等腰三角形三线合一的性质得出，可得出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【小问1详解】 取中点，连接、， ，，四边形是平行四边形，则， 或其补角为异面直线与所成角， 翻折前，即，， 翻折后，则有，，且有， ，， 又，、平面，面， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 【小问2详解】 面，平面，， ，，，，故为等腰直角三角形， ， ，， 由余弦定理得， ，， ，、平面，面， 因为平面，， 又，为的中点，， ，、平面，面， 平面，. 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. 【小问2详解】 ①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. （1）若，求证：平面； （2）若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合，可得平面； （2）由题意可得与平面所成角即为与平面所成角，过作于，连接，可得，可求得，利用等体积法可求得到平面的距离，可得与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为，又是的中点，所以， 又平面，平面，所以， 又底面是矩形，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为，分别是，的中点，所以，， 又是的中点，底面是矩形，所以，， 所以且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以与平面所成角即为与平面所成角， 因为又平面，平面，所以， 过作于，连接， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以， 由，可得，所以， 设到平面的距离为， 由，所以， 又，所以， 所以，解得， 又，所以与平面所成角的正弦值为， 所以与平面所成角的正弦值为. 21. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据中垂线的性质可得，由椭圆的定义可知动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，从而求出轨迹方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，设，与椭圆联立韦达定理，把线段长度比转化为坐标比，代入韦达定理化简即可得点在定直线上； （ⅱ）利用坐标表示两个斜率，然后作商，将韦达定理代入即可判断. 【小问1详解】 由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 设曲线的方程为，则，解得， 所以， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 因为在上，所以， 由得， ，设， 则，由得， 化简得，则， 化简得，又因为，所以， 所以点在定直线上. （ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为， 从而得，， 由（ⅰ）知，，， 所以 ， 所以存在实数，使得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇一中2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（19班） 一、单选题 1. 已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于两点，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 14 5. 如图，在棱长均为的直三棱柱中，是的中点，过、、三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点所在部分的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点是双曲线C：（，）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线C的离心率的取值范围为 A. B. C. D. 7. 设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若直线与平行，则与的距离为 B. 过点且和直线平行的直线方程是 C. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，D是C的准线与x轴的交点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线l的斜率为 B. C. （O为坐标原点） D. 当取最小值时， 11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的取值范围是 B. 三棱锥的体积不变 C. 平面平面 D. 若，则的最小值为 12. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ） A. 椭圆的中心在直线上 B. C. 直线与椭圆所在平面所成的角为 D. 椭圆的离心率为 三、填空题 13. 已知抛物线C：焦点为F，过点F的直线l交C于A、B两点，交C的准线于点M，若F为AM的中点，则__________. 14. 已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是______． 15. 设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______. 16. 三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 四、解答题 17. 已知的三个顶点的坐标为，，．求： （1）点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； （2）点C关于直线AB对称点的坐标； （3）求的面积． 18. 如图，梯形中，，于点，，且．沿把折起到的位置，使． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）若为的中点，为上一点，证明． 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别是，，的中点. （1）若，求证：平面； （2）若二面角的正切值为，且，，求与平面所成角的正弦值. 21. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $