专题03 解三角形（10大题型74题，期末真题汇编，江西专用）高一数学下学期北师大版

**基本信息** 解三角形专题汇编，涵盖10个核心考点，精选江西多地期末真题，注重基础运算与综合应用，含实际测量（如5G基站距离、纪念塔高度）和创新题型（费马点、同源三角形）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|正余弦定理运算、三角形形状判定、面积计算|基础题占比60%，易错点（解的个数）重复考查| |解答题|约34题|最值范围、中线角平分线、与向量/三角函数综合|分层设计，如面积问题从直接计算到最值探究，匹配期末复习梯度需求|

专题03 解三角形 高频考点概览 考点01 正余弦定理综合运算及解的个数（易错） 考点02 三角形形状判定（高频） 考点03 三角形面积相关题型（高频） 考点04 边长、周长最值与范围（难点） 考点05 中线、高线、角平分线题型（难点） 考点06 实际测量应用题型（难点） 考点07 解三角形与三角函数的结合（重难） 考点08 解三角形与平面向量的综合（重难） 考点09 几何图形中的计算（重难） 考点10 解三角形创新题（重难） 考点01 正余弦定理综合运算及解的个数 1．（24-25高一·吉安·期末）在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，即，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·九江·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，， 由正弦定理得，解得，故A正确. 故选：A 3．（24-25高一下·江西·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． 2 D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理列出方程，再解方程即可. 【详解】由，得，解得． 故选：A. 4．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，已知，，，则角的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由正弦定理结合三角形内角和定理即可得解. 【详解】由正弦定理得，所以，因为， 所以， 所以或， 若，则为直角三角形，则， 所以，则. 故选：C． 5．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理、诱导公式及和差公式即可求解. 【详解】由，得， 则， 所以， 化简得，即． 故选：. 6．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由钝角的三边为a，，， 则，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：B. 7.（24-25高一下·赣州·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 9．（24-25高一下·赣州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，， 即，， 又在中，，，， 由正弦定理得，，即， 解得. 故选：B. 10．（24-25高一下·吉安·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 考点02 三角形形状判定 11．（24-25高一下·九江·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 12．（24-25高一下·赣州·期末）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化可得： ，设， 则. 13．（24-25高一下·吉安·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理求解判断. 【详解】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且， 由正弦定理得，设， 由余弦定理得， 所以为钝角，所以的形状是钝角三角形. 故选：A. 14．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得，而，因此， 两边平方得，又，则，， 所以是直角三角形. 15．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知的内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】由结合正弦定理，可得，则， 则，则为钝角，故的形状是钝角三角形． 16．（24-25高一下·抚州·期末）在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理及三角形内角和关系、正弦和角公式计算即可. 【详解】易知，由正弦定理可知， 即，所以， 则，即，该三角形为钝角三角形，选D. 17．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 18．(24-25高一下·江西·期末)已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 19．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 考点03 三角形面积相关题型 20．（24-25高一下·赣州·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A 21．（多选）（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若面积为，则，则 【答案】AD 【分析】对于A，由大角对大边结合正弦定理即可判断；对于B，由正弦定理、结合余弦定理可得为锐角，但不能断定是锐角三角形；对于C，说明为等腰三角形或者直角三角形即可判断；由余弦定理、三角形面积公式得即可判断. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B，由正弦定理得，所以， 所以为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为、，则、， 因为，所以或或， 若，则；若，则； 若，则，这与的内角和定理矛盾． 综上所述，为等腰三角形或者直角三角形，C错； 对于D，若面积为，因为，则， 所以，则，由于，则，故D正确； 故选：AD． 22．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则______． 【答案】2 【分析】由及三角形面积公式求，进而求即可. 【详解】 由题设，，又， 所以， 则，可得，故. 故答案为：2 23．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理，三角形面积公式转化为，再由不等式求出即可得解. 【详解】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作的垂线，且使，则，   ，即，可得， ，即，． 故答案为： 24．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为______． 【答案】2 【分析】由余弦定理求出，进而求出面积. 【详解】由余弦定理得， 即，，解得（负值舍去）， 故. 故答案为：2 25．（24-25高一下·吉安·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 26．（24-25高一下·赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设结合正弦定理化简求解即可； （2）先利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得， 又，则, 因为，所以. （2）在中，，，， 由余弦定理，，即， 解得或（舍去）， 故的面积为． 27．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角B； (2)若，求面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解； （2）由余弦定理，基本不等式及三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）由正弦定理得，， 整理得，又均为三角形内角， 所以． （2）由余弦定理得，， 整理得，， 当且仅当时等号成立， 所以，即面积S的最大值. 28．（24-25高一下·吉安·期末）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简得，利用同角三角函数的关系式求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理，借助基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 即， 整理得，而，则， 于是，整理得， 即，而，解得， 所以. （2）知，当且仅当时取等号， 所以， 因此， 所以面积的最大值为. 29．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 考点04 边长、周长最值与范围 30．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得，由可得为角的平分线，再利用等面积法可得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由，根据正弦定理得， 则，即，所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：． 31．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，是边AB上的一点，且满足，，，则的面积为__________；若是边的中点，则__________. 【答案】 / 【分析】根据条件，利用正弦定理得，再利用余弦定理得，求得，，即可求解；利用等面积法得，再利用向量的中线公式得，即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，，所以，， 又，，所以. 在中，由余弦定理可得， 即，解得，， 所以的面积为. 又，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故答案为：；. 32．（24-25高一下·江西·期末）在中，，，则BC的最小值为______. 【答案】/0.8 【分析】先得到，由正弦定理和三角恒等变换得，换元后，结合求出最小值. 【详解】因为，，所以． 在，由正弦定理得， 所以． 又， 由，得． 将其代入得， ， 由得，令， 则，当且仅当时，取得最小值． 33．（24-25高一下·赣州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解； （2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长. 【详解】（1）由题意得， 因为， 所以， 得，得，因为，所以． （2）由，得． 由余弦定理，得， 得， 得， 所以的周长为． 34．（24-25高一下·江西南昌·期末）的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题给条件及余弦定理、同角三角函数的基本关系即可求解. （2）根据三角形的面积公式可求，再根据余弦定理即可求，即可得的周长. 【详解】（1）由余弦定理可知，. 因为，所以， 即. 由，且， 解得，则. （2）的面积，则. 因为，所以由， 可得， 则， 故的周长为. 35．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． (1)求角； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由三角形的面积公式可得，根据三角形为钝角三角形即可求解； （2）由余弦定理求出即可求解. 【详解】（1）由，得， 解得， 因为为钝角，所以． （2）因为，，， 所以， 解得， 所以的周长为． 36．（24-25高一下·江西·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若， 设AD为的角平分线， 求AD的长; (3)若 且面积为 ， 求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角，求得，利用三角形内角范围即可求得角； （2）利用面积相等建立方程，解之即得； （3）由三角形面积求得，利用余弦定理求得，即得的周长. 【详解】（1）由和正弦定理，， 因，则，故得， 又因，则. （2）设，则由面积相等，， 解得，即. （3）因，解得， 由余弦定理可得， 即，故，的周长为. 37．（24-25高一下·江西·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 38．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边和余弦定理可得，进而得到； （2）根据，结合基本不等式可求得最大值. 【详解】（1）由正弦定理得：，即， ，又，. （2）为边中点，， ， ， （当且仅当时取等号），最大值为. 39．（24-25高一下·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面积公式可得，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解， （2）根据边角互化，结合三角恒等变换，结合三角函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 考点05 中线、高线、角平分线题型 40．（24-25高一下·江西·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出角，再结合角平分线定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 即， 由余弦定理得：， 又，所以， 在中，因为为角的平分线，， 由角平分线定理得：， 设，则， 由余弦定理：， 即 ，解得：， 所以，即， 故选：A. 41．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化即可求解， （2）根据面积公式可得，进而根据余弦定理可求解，即可根据面积公式求解. 【详解】（1）由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． （2）由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 42．（24-25高一下·赣州·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的余弦公式化简，再解析方程即得. （2）根据，结合面积公式列式求解. 【详解】（1）由，得， 又在中，， 则，整理得， 而，，解得，所以． （2）在中，由是的角平分线，得， 由，得， 即，所以. 43．（24-25高一下·吉安·期末）已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，结合已知条件整理化简，求得，则得解； （2）根据面积公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得. 【详解】（1）因为，即， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． （2）如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 44．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得结果； （2）利用面积公式可得，然后使用余弦定理可知，最后使用面积公式可求边上的高. 【详解】（1）由题可知：，则， 且， 又，所以. （2）作边上的高，如图： ，由（1）可知，所以， 则， . 45．（24-25高一下·赣州·期末）记中的内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，且边上的中线的长度为，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用正弦定理、 三角恒等变换的知识化简已知条件，从而证得. （2）利用余弦定理列方程，化简求得的值. 【详解】（1）由正弦定理可得， 又为的内角，故． 代入上式，有， 即． 又，若，必有，不符合题意， 则，同理，则．又，则． （2）不妨设为边上的中线，在中， 有， 由（1）可得，故，即． 在中，有． 即． 解得． 考点06 实际测量应用题型 46．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中，，，则，，， 在中，，， 由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， . 故选：B. 47．（24-25高一下·抚州·期末）学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出各个角的度数，在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度. 【详解】依题意， 又，则，即有 在中，，由正弦定理得 且 则 在中， 所以山高为米. 故选：A. 48．（24-25高一下·江西萍乡·期末）萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 【答案】 【分析】根据仰角概念解三角形求得，利用直角三角形求出，即可确定长. 【详解】如图，依题意，，， 故，则， 在中，， 故米. 故答案为：. 48．（24-25高一下·江西上饶·期末）八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为________． （参考数据：取，）    【答案】53.6 【分析】根据正弦定理结合已知条件计算求解. 【详解】由题意得， 在中，由正弦定理， 得，所以． 故答案为：. 49．（24-25高一下·吉安·期末）一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_____海里. 【答案】2 【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解． 【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，    由题意结合图可知，，海里， 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 解得或（舍负）， 所以灯塔与轮船原来的距离为2海里． 故答案为：2 50．（24-25高一下·江西·期末）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 51．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高_______.（用，，，表示） 【答案】 【分析】在三角形中，由正弦定理求出，在直角三角形中，由可求出结果. 【详解】在三角形中，由正弦定理得， 又，所以， 在直角三角形中，. 故答案为：. 52．（24-25高一下·萍乡·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 【答案】 【分析】应用正弦定理求，再由即可求塔高． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 53．（24-25高一下·江西赣州·期末）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计） (1)若，求折断前树的高度； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. 【答案】(1)米 (2)救援车不能从此处通过，理由见解析 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得出答案； （2）设，则，可得，结合正弦函数得性质即可的解. 【详解】（1）在中，，，所以， 由正弦定理，得.， 又, 所以， 所以，求折断前树的高度为以米. （2）如图，设的内接矩形的边在上，且， 设，因为，，所以， 所以， 所以， 则， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以救援车不能从此处通过. 54．（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，. (1)乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？ (2)若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)（单位：） 【详解】（1）设乙在到达之前，乘缆车出发分钟时，与甲的距离为，则，即， 由余弦定理，， 即， 因二次函数的对称轴为，开口向上， 故当时，甲乙两游客之间的距离最短. （2）因，则为锐角，则， 在中，由正弦定理，，则， 依题意，乙从出发时，甲已走了，还需要走才能到达， 设乙步行的速度为，由题意可得：，解得， 所以为了使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内. 考点07 解三角形与三角函数的综合 55．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知函数，则的最小正周期是 C．在中，若，则是等腰直角三角形 D．已知，，则的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，由可得，由于，， 当，，此时由，可得， 此时，故，故为钝角三角形； 若，，此时由，可得，即， 此时只需要，故，故为钝角三角形，故A正确； 对于B，函数， 则的最小正周期不是，故B错误； 对于C，在中，若，则或， 即或，故是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，由于，故， 由于，故，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为，D正确. 故选：AD. 56．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为，由正弦边角关系得，即， 由余弦定理，得，又，所以， 由正弦定理得，所以，， 由余弦定理，得，所以， 利用等面积法可得， 则 ， ∵，∴，故，则， 所以，故 57．（24-25高一下·江西抚州数校·期末联考）已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1） 因为的最小值为，所以当时，， 所以. （2）由（1）知，，则，即， 所以或，解得或，， 的解集为：或. （3）因为在锐角中，，，， 所以，即 所以，所以， 设的外接圆半径为R，则有 所以 所以 又 所以，所以， 所以周长的取值范围为 58．（24-25高一下·江西·期末）如图所示，曲线与y轴的交点为B，与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点分别为C，D，且的面积为1，M是BC的中点． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）求函数的最小正周期； （ⅱ）设的外接圆交直线CD于点N（D，N为两个不同的点），求BN的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）设函数的最小正周期为T， 因为C，D分别为W与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点， 所以， 因为B为W与y轴的交点，所以， 因为的面积为1，所以，整理得． （2）（ⅰ）由（1）知，，，， 所以，故，， 所以，整理得， 所以，解得，所以， 故，故最小正周期为． （ⅱ）由（ⅰ）知，，故，，，， 故，，，，， 在中，，所以， 因为N在的外接圆上，所以，故， 由正弦定理，，解得． 59．（24-25高一下·江西丰城九中·月考）设函数（，），该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，，，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数图像上相邻两个最高点间的距离为，所以可得，解得， 所以函数解析式为， 又因为为奇函数，所以，又，所以， 所以， （2）， 由正弦定理得， ， ． ，．， ，，所以，所以， 由（1）知， 所以 ， 又因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 考点08 解三角形与平面向量的综合 60．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 61．（多选）（24-25高一下·江西九江·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则的最大值为 D．若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【详解】对于选项A： 根据正弦定理可得，解得. 因为，所以或者. 因为在三角形中，，所以或者. 从而满足条件的三角形只有2个，所以A正确. 对于选项B： 因为，所以或. 化简得：或.所以为等腰三角形或者直角三角形，B错误. 对于选项C： 因为，所以. 根据余弦定理. 因为，所以， 化简得：. 根据基本不等式的性质， 当且仅当时，等号成立，此时解得的最小值为. 又，所以的最大值为，C正确. 对于选项D： 是向量方向上的单位向量，所以它们的模为1. 所以，所以. 因为，说明角平分线方向的向量与的数量积为0， 所以角的平分线与垂直，所以为，所以为等边三角形，D正确. 故选：ACD. 62．（多选）（24-25高一下·江西·期末）已知外接圆的圆心为点，半径为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为 C．若，当取最小值时， D．若为锐角三角形，，则的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A：因为外接圆的圆心为点，设的中点为，则， 所以，故A正确； 对于B：若，则， 即，所以， 所以在上的投影向量为，故B正确； 对于C：设的中点为，则， 设，则， 所以，又，所以， 即，所以， 则，故C错误； 对于D：由A可知，同理可得， 由正弦定理，所以，， 所以 ， 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ABD 63．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的是（   ） A．B的取值范围为 B．的最小值为 C．c的值可能为3 D．的面积最大值为 【答案】AC 【分析】根据锐角三角形性质可判断A正确，利用余弦定理并结合数量积定义计算可得B错误，由正弦定理可得C正确，由面积公式可得D错误. 【详解】A选项，因为，为锐角三角形，即，解得； 所以B的取值范围为，即A正确； B选项，因为，，由余弦定理可知， 所以，所以， 因为， 所以当时，取得最小值0，不是；即B错误； C选项，由正弦定理可得，所以c的值可能为3；即C正确； D选项，，故最大值不是，即D错误. 故选：AC 64．（多选）（24-25高一下·江西赣州·期末）在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积最大值为 D．线段的长度最大值 【答案】ACD 【分析】对于A，由题意得，结合余弦定理即可判断；对于B，由向量的线性运算即可判断；对于C，由余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式即可判断；对于D，所求为三角形外接圆的直径. 【详解】对于A，由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故，故A正确； 对于B，，故B错误；    对于C，的面积为, 由余弦定理有，等号成立当且仅当， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，三角形外接圆的直径是，线段的长度最大值为三角形外接圆的直径，即，故D正确. 故选：ACD. 65．(24-25高一下·江西·期末)如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据找到的关系，再找到角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解. 【详解】因为，若，所以,所以，即， 又因为为斜边的中点，， 所以,, 所以 所以在中，,即, 整理得， 在中，,即, 整理得，， 联立得，， 即， 因为， ， 所以，解得， 因为，所以， 所以. 故答案为： 66．（24-25高一下·江西·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理，将化为 交叉相乘得： 展开： 因，故，即 因为锐角三角形，，得 故 （2）由，且 由正弦定理，得： 展开，则： 因,故 （3）因为 所以 同理所以 因此，即为的外心，所以，且 表达式化简为： 因 故 67．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，点是线段上靠近点的三等分点，，，， (1)以为基表示向量，； (2)求； (3)若点为线段上的动点（不含端点），交于点，当取得最小值时，求的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由已知，， ． （2）解法一：由（1）得， 则有， 即， 又，，， ∴， 解得. 解法二：设，则， ∵ ∴由余弦定理可得： 即， 解得，可得，． ∴. （3）设，由（2）知. 则， ∴当，即时，取得最小值． ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴，解得． ∴，从而． 考点09 几何图形中的计算问题 68．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，点为的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，点在内，且，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和两角和的正弦公式求解即可； （2）在和中分别用余弦定理，根据联立解出即可； （3）设，在和分别用正弦定理，用表示，，再根据正弦两角的和差公式化简求解即可. 【详解】（1）因为在中，所以由正弦定理可得， 又因为中，，， 所以， 解得，所以. （2）因为，，点为的中点， 在中，由余弦定理可知，即， 在中，由余弦定理可知， 即， 因为， 所以， 整理得，解得或（舍去）. （3）设， 则在中，因为，， 所以，解得， 在中，因为，，， 所以，解得， 所以 ， 因为，， 所以，即的取值范围为． 69．(24-25高一下·江西·期末)如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. (1)若，求的面积； (2)证明：； (3)若，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）在中，由余弦定理得，，根据为等边三角形，利用三角形面积公式即可求解； （2）在中，利用正弦定理，结合三角恒等变换即可求解， （3）利用余弦定理得，正弦定理得，结合（2）的结论以及三角形面积公式可得,利用三角函数的性质即可求解． 【详解】（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记， 在中，由余弦定理，， 所以，则，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以， 则的面积为； （2）在中，由正弦定理可得， 即且， 由于， 故， 由于三角形中，，因此，得证， （3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设， 在中，由余弦定理，， ， 在中，由正弦定理，，即，所以， 结合 ， 又因为，所以， 所以， 即的面积的取值范围为． 70．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四边形中，已知，，． (1)若中点为，求的长； (2)若，设， ①用表示，并写出的取值范围；②若，求的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）将整体代入余弦定理可得 （2）①中，由正弦定理化简可得；②把表示出来，得到，再用正弦定理计算，建立等式解出答案 【详解】（1）因为，，向量点积 所以 ， ， （2）①， ②在中，，，. ， ， ,即， 因为，所以． 考点10 解三角形创新题 71．（24-25高一下·江西宜春·期末）“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值； (3)若的面积为，设点为的费马点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和和差的正弦公式将原等式化简，求出的值，即可求得. （2）先由正弦定理求得，然后利用余弦定理和正弦定理求出，最后可求得的值. （3）首先由三角形面积公式求出，然后利用正弦定理将向量表示出来，然后利用向量数量积的定义列出的表达式并化简，最后根据角度范围确定其最小值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以， 又， 整理得， 因为，所以，可得，即， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得. 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 所以， 因为为三角形的内角，则，则. （3）因为，所以的内角均小于，所以点在的内部， 且，由，得， 设，，则， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以， 所以的最小值为. 72．（24-25高一下·江西上饶·期末）若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角． (1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由． (2)如图，同源三角形和的同源角为和，且． ①求； ②若，求面积的最大值． 【答案】(1)和等腰直角三角形为同源三角形，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得在中，即可说明和等腰直角三角形是否为同源三角形． （2）①由已知，利用三角形和，和的面积之比为边之间的关系之比，计算可得； ②由已知及①，设，可知，在中，利用余弦定理可由表示出，利用同角间的关系可表示出，进而表示出，利用二次函数求出最大值，开方后即可得到面积的最大值． 【详解】（1）和等腰直角三角形为同源三角形，理由如下： 在中，，， 由正弦定理， 得， 由，得，所以， 因为在等腰直角三角形中，存在大小为的内角， 所以和等腰直角三角形为同源三角形． （2）①由题意得，，，四点共线，设在边上的高为， 则，，的高均为， 因为，， 则，， ， 所以， ， 则， ， 两式相乘得， 所以． ②若，因为，则， 由①知，设，则，由，得． 在中，， 得， 则． 由，得，当时，的面积取得最大值，且最大值为． 73．（24-25高一下·江西宜春·期末）定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）利用两角差的余弦公式化简，即可求出，再得到，依题意，且，不同向，即可得到不等式组，解得即可； （2）（ⅰ）首先得到解析式，即可求出，再由正弦定理求出，再由等面积法计算可得；（ⅱ）由得到，从而转化为的三角函数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以．由，得． 因为，的夹角为锐角，所以，且，不同向， 则，解得且， 故实数的取值范围为． （2）因为向量的“跟随函数”为， 所以． 又，所以，因为，则， 所以，所以． 又，所以由正弦定理可得， 则，． （ⅰ）因为，所以． 由余弦定理得， 即，则． 所以， ． 由，可得，则． （ⅱ）由，可得， 则． 因为，所以， 则． 令，则，由，得， 则． 由，可得，显然函数在上单调递增， 故长度的取值范围为． 74．（24-25高一下·江西景德镇·期末）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求得即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； （2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以，在中，由余弦定理可得， 所以，即 解得或（舍去）， 所以的周长为. （3）因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 高频考点概览 考点01 正余弦定理综合运算及解的个数（易错） 考点02 三角形形状判定（高频） 考点03 三角形面积相关题型（高频） 考点04 边长、周长最值与范围（难点） 考点05 中线、高线、角平分线题型（难点） 考点06 实际测量应用题型（难点） 考点07 解三角形与三角函数的结合（重难） 考点08 解三角形与平面向量的综合（重难） 考点09 几何图形中的计算（重难） 考点10 解三角形创新题（重难） 考点01 正余弦定理综合运算及解的个数 1．（24-25高一·吉安·期末）在中，已知，，，则为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·九江·期末）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25高一下·江西·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． 2 D． 4．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，已知，，，则角的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高一下·赣州·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·赣州·期末）如图，在平面四边形ACBD中，，，，，则CD的长为（    ）    A．1 B． C． D． 10．（24-25高一下·吉安·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 考点02 三角形形状判定 11．（24-25高一下·九江·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 12．（24-25高一下·赣州·期末）在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·吉安·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 14．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 15．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知的内角的对边分别为，且，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 16．（24-25高一下·抚州·期末）在中，角､､所对的边分别为.若，则为（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 17．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 18．(24-25高一下·江西·期末)已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 19．（24-25高一下·江西抚州·期末）已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 考点03 三角形面积相关题型 20．（24-25高一下·赣州·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若面积为，则，则 22．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角、、的对边分别为、、，点在边上，，，，，则______． 23．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的取值范围是__________． 24．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为______． 25．（24-25高一下·吉安·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 26．（24-25高一下·赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 27．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求角B； (2)若，求面积S的最大值． 28．（24-25高一下·吉安·期末）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求面积的最大值． 29．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 考点04 边长、周长最值与范围 30．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，若，边上一点满足，则的最小值为__________. 31．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，是边AB上的一点，且满足，，，则的面积为__________；若是边的中点，则__________. 32．（24-25高一下·江西·期末）在中，，，则BC的最小值为______. 33．（24-25高一下·赣州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 34．（24-25高一下·江西南昌·期末）的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 35．（24-25高一下·江西·期末）在中，角所对的边分别为，，，已知，，为钝角，的面积为． (1)求角； (2)求的周长． 36．（24-25高一下·江西·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求； (2)若， 设AD为的角平分线， 求AD的长; (3)若 且面积为 ， 求的周长. 37．（24-25高一下·江西·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 38．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知中，分别为内角的对边，且满足. (1)求角； (2)设点为边中点，且，求最大值； 39．（24-25高一下·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． . 考点05 中线、高线、角平分线题型 40．（24-25高一下·江西·期末）已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（   ） A． B． C．2 D． 41．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 42．（24-25高一下·赣州·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，的角平分线交BC于M，求线段AM的长． 43．（24-25高一下·吉安·期末）已知，其内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，为边上的中点，求的长． 44．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 45．（24-25高一下·赣州·期末）记中的内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，且边上的中线的长度为，求a的值． 考点06 实际测量应用题型 46．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，某县区域地面有四个5G基站，，，.已知，两个基站建在江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（   ） A． B． C．15km D． 47．（24-25高一下·抚州·期末）学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了到达点（在同一个平面内），在处测得山顶的仰角为，则青城山的山高为（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·江西萍乡·期末）萍乡是秋收起义策源地，1927年毛泽东在安源主持召开秋收起义军事会议，并于9月9日亲自发动和领导了秋收起义，第一次高举起工农革命军的旗帜.如图，两点相距36米，与秋收起义纪念碑（底部不可到达）的底部在同一水平直线上，利用高为0.3米的测角仪器，在两点测得纪念碑的顶点的仰角分别为和，则该纪念碑的高度__________米. 48．（24-25高一下·江西上饶·期末）八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔为长方体，由台基、塔座、塔身、塔顶四部分组成．塔身正北面有“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字．如图，为了测量该塔的高度，无人机在与塔底位于同一水平面的点测得塔顶的仰角为，无人机飞行到与塔底位于同一水平面的点，测得，，，则纪念塔的塔高为________． （参考数据：取，）    49．（24-25高一下·吉安·期末）一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为_____海里. 50．（24-25高一下·江西·期末）如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高_______.（用，，，表示） 52．（24-25高一下·萍乡·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 53．（24-25高一下·江西赣州·期末）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计） (1)若，求折断前树的高度； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. 54．（24-25高一下·江西萍乡·期末）如图，游客从萍乡武功山旅游景区的金顶处下至处有两种路径：一种是先从沿索道乘缆车到，再从沿直线步行到；另一种是从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从金顶处下山，甲沿匀速步行，速度为：在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为，，，. (1)乙在到达之前，乘缆车出发多少分钟时，与甲的距离最短？ (2)若，为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 考点07 解三角形与三角函数的综合 55．（多选）（24-25高一上·江西景德镇·期末）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，若，则为钝角三角形 B．已知函数，则的最小正周期是 C．在中，若，则是等腰直角三角形 D．已知，，则的最小值为 56．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为__________． 57．（24-25高一下·江西抚州数校·期末联考）已知函数，的最小值为. (1)求的值； (2)求的解集； (3)在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求周长的取值范围. 58．（24-25高一下·江西·期末）如图所示，曲线与y轴的交点为B，与x轴在y轴的左、右两侧的第一个交点分别为C，D，且的面积为1，M是BC的中点． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）求函数的最小正周期； （ⅱ）设的外接圆交直线CD于点N（D，N为两个不同的点），求BN的长度． 59．（24-25高一下·江西丰城九中·月考）设函数（，），该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)在锐角中，角的对边分别为，，，若，求的取值范围. 考点08 解三角形与平面向量的综合 60．（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 61．（多选）（24-25高一下·江西九江·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则为等腰三角形 C．若，，则的最大值为 D．若，且，则为等边三角形 62．（多选）（24-25高一下·江西·期末）已知外接圆的圆心为点，半径为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为 C．若，当取最小值时， D．若为锐角三角形，，则的取值范围为 63．（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的是（   ） A．B的取值范围为 B．的最小值为 C．c的值可能为3 D．的面积最大值为 64．（多选）（24-25高一下·江西赣州·期末）在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积最大值为 D．线段的长度最大值 65．(24-25高一下·江西·期末)如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则 ． 66．（24-25高一下·江西·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围； (3)若点为所在平面内一点，且满足，求的取值范围. 67．（24-25高一下·江西吉安·期末）在中，点是线段上靠近点的三等分点，，，， (1)以为基表示向量，； (2)求； (3)若点为线段上的动点（不含端点），交于点，当取得最小值时，求的长． 考点09 几何图形中的计算问题 68．（24-25高一下·江西南昌·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，点为的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，点在内，且，，求的取值范围． 69．(24-25高一下·江西·期末)如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，. (1)若，求的面积； (2)证明：； (3)若，求的面积的取值范围. 70．（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四边形中，已知，，． (1)若中点为，求的长； (2)若，设， ①用表示，并写出的取值范围；②若，求的值． 考点10 解三角形创新题 71．（24-25高一下·江西宜春·期末）“费马点”是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状.当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值； (3)若的面积为，设点为的费马点，求的最小值. 72．（24-25高一下·江西上饶·期末）若中的一个内角等于中的一个内角，则称和为同源三角形，这组相等的内角称为同源三角形和的同源角． (1)若在中，，，，判断和等腰直角三角形是否为同源三角形，并说明理由． (2)如图，同源三角形和的同源角为和，且． ①求； ②若，求面积的最大值． 73．（24-25高一下·江西宜春·期末）定义：函数为向量的“跟随函数”，向量为函数的“原向量”． (1)设函数，的“原向量”分别为，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围． (2)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，AD平分∠BAC并与BC交于点D，向量的“跟随函数”为，且． （ⅰ）若，求AD的长； （ⅱ）求AD长度的取值范围． 74．（24-25高一下·江西景德镇·期末）是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. (1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； (2)若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； (3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $