精品解析：甘肃省靖远县第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学模拟试题

高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：高考全部内容. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数（ ） A. B. 3 C. 1 D. 4. 某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至多一个被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有99个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券.若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止.求得抽奖次数的均值是（ ） A. 49 B. 49.5 C. 50 D. 50.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为4 C. D. 10. 如图，在中，，，，若点为的中点，点在上，且，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 13. 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数____. 14. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得至多为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是函数的部分图象. （1）求函数在区间上的值域； （2）若，且，求的值. 16. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点. （1）在平面内确定一点，使平面； （2）证明：棱上不存在点，使平面平面. 17. 为检验网课学习效果，某机构对1000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.在网课结束后对这1000名学生进行考试，根据考试结果将这1000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示： 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 200 600 没有家长督促的学生 300 合计 1000 （1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到0.001）说明，是否有99.5%的把握认为家长是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有关联? （2）从有家长督促的600名学生中按成绩是否上升，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从6人中随机抽取3人做进一步调查.记抽到1名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得-1分，抽到的3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数和，其中为常数且. （1）过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; （2）若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 19. 已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. （1）若直线的斜率为，求点的坐标. （2）设，.求证：为定值，并求出该值. （3）若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟 150分） 考试范围：高考全部内容. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，且，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，判断集合中元素的关系，对参数分类讨论，求出参数可能的取值. 【详解】由题意得. 当时，，； 当时，，由，可得或. 综上，实数的取值集合为. 故选：D. 2. 等差数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为，则，，解得， 所以. 故选：D. 3. 已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线方程，进而得到切线在y轴上的截距，列方程求参数. 【详解】由题设，则，而， 所以处切线为， 令，则，可得. 故选：A 4. 某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积公式和基本不等式，求出面积的最大值即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则， 所以，当且仅当时，有最大值400. 故选：C. 5. 已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线距离的向量方法，构造方向向量，根据公式，求出点到直线的距离即可. 【详解】由题意得，， 所以点到直线的距离. 故选：A. 6. 某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至多一个被选中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即得. 【详解】设男生甲被选中为事件，男生乙和女生丙至多一个被选中为事件， 则，， 由条件概率公式，可得. 故选：A. 7. 若直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设切点坐标为，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 由直线与曲线相切， 设切点坐标为，可得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有99个写有“谢谢参与”的奖券，1个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券.若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止.求得抽奖次数的均值是（ ） A. 49 B. 49.5 C. 50 D. 50.5 【答案】D 【解析】 【详解】当，表示第一次就抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为； 当，表示第一次抽到写有“谢谢参与”的奖券，第二次抽到写有“恭喜中奖”的奖券，其概率为； 以此类推，第次中奖概率； 所以的均值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为4 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设对应的向量为，由向量加法法则即可判断A、B选项；由复数的乘法运算及复数的模长即可判断C、D选项. 【详解】设对应的向量为，由向量加法法则可得， 当反向和同向时分别取等，即，故的最小值为2，最大值为4，A、B正确； 设，则，又， 则，C正确； 又，则，则 ，D错误. 故选：ABC. 10. 如图，在中，，，，若点为的中点，点在上，且，与相交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦定理解出三角形，再根据向量共线，向量数量积，向量数量积求夹角的余弦值得概念和计算方法，逐个判断各项正误. 【详解】因为，，， 由余弦定理知， 所以，故A项正确； ，则， 由，，三点共线，得，则，所以，即，故B项不正确； 因为为的中点，，所以，， 则，故C项不正确； 由已知，,又，，所以， 又, 则， 所以，故D项正确. 故答案为：AD. 11. 已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，设切点，由导数几何意义结合点斜式求出切线方程，再由切线过点求出参数即可求解. 【详解】由题意的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，又切线过点， 所以或或， 所以代入切线方程整理得切线方程为或或. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数____. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，写出切线方程，根据题意，列出方程组，即可求得参数值. 【详解】，故，又，故， 故在处的切线为：，也即； 设与曲线切于点，又，故， 则，且，则可得，解得， 故. 故答案为：. 14. 某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于8至12之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.7%，则需调整生产工艺，使得至多为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的特征得出，再列不等式计算求参. 【详解】由题可知，， 再根据题意以及正态曲线的特征可知，的解集. 由，可得， 所以解得，故至多为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图是函数的部分图象. （1）求函数在区间上的值域； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象及五点法可得，然后根据正弦函数的图象和性质即得； （2）由题可得，然后根据同角关系式及两角差的余弦公式即得. 【小问1详解】 由图可知：，即， ，又由图可知是五点作图法中的第三点， ，又， 所以，， 则，又， 所以，则，故， 即函数在区间上的值域为； 【小问2详解】 由（1）知，因为，所以， 所以， 所以 16. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点. （1）在平面内确定一点，使平面； （2）证明：棱上不存在点，使平面平面. 【答案】（1）当点的坐标为时，平面. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据证明线面垂直的向量方法，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，表示出方向向量，列出方程组，求出结果； （2）根据证明面面平行的向量方法，设出点的坐标，证明面上两条直线方向向量，不能同时与另一个面的法向量垂直即可. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则，，，，，， 设，. 因为，，，又，不共线， 所以当时，平面. 所以，解得，， 所以当点的坐标为时，平面. 【小问2详解】 设平面的法向量为，则， 因为，，所以， 令，则，，所以平面的一个法向量. 若平面平面，则也是平面的一个法向量. 因为，， 所以，即，得， 此时， 所以不是平面的一个法向量，即与平面不垂直. 所以棱上不存在点，使平面平面. 17. 为检验网课学习效果，某机构对1000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.在网课结束后对这1000名学生进行考试，根据考试结果将这1000名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示： 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 200 600 没有家长督促的学生 300 合计 1000 （1）完成以上列联表，并通过计算（结果精确到0.001）说明，是否有99.5%的把握认为家长是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有关联? （2）从有家长督促的600名学生中按成绩是否上升，采用分层随机抽样的方法抽出6人，再从6人中随机抽取3人做进一步调查.记抽到1名成绩上升的学生得1分，抽到1名成绩没有上升的学生得-1分，抽到的3名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）表格见解析，有的把握认为家长是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有关联 （2）分布列见解析，-1 【解析】 【分析】（1）根据题目信息，完成列联表，根据独立性检验的方法，根据公式计算，判断是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有无关联； （2）根据离散型随机变量概率计算方法，根据抽取出的学生的得分情况，计算该事件概率，写出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 200 400 600 没有家长督促的学生 100 300 400 合计 300 700 1000 有的把握认为家长是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有关联. 【小问2详解】 从有家长督促的600名学生中按成绩是否上升，采用分层随机抽样的方法抽出6人，其中成绩上升的有2人，成绩没有上升的有4人，再从这6人中随机抽取3人. 由题意知随机变量所有可能的取值为，，1 则， ， ， 的分布列为 -3 -1 1 . 18. 已知函数和，其中为常数且. （1）过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; （2）若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为，得到切线方程，根据切线过点，得到，转化为只有一个实数解，根据，求得或，进而得到切线方程； （2）根据题意，求得，设曲线和在点处的切线的斜率为，得到和，根据直线的斜率为，得到，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 设切点坐标为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则关于的方程只有一个实数解， 即只有一个实数解， 由，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. 【小问2详解】 解：由，且定义域为， 函数的定义域为，且， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则，所以，则点， 设曲线在店处的切线的斜率为， 可得，解得，则点， 因为直线的斜率为，所以， 又因为，所以，即的取值范围为. 19. 已知椭圆：，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方）且与轴交于点. （1）若直线的斜率为，求点的坐标. （2）设，.求证：为定值，并求出该值. （3）若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）证明:由题意可知直线的斜率存在且不为0，且设为，设直线的方程为：， 所以 ，消去得， 设，，则 由，，且点的横坐标为0，得，， 从而 ，为定值，且. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得直线方程为，与椭圆方程联立即可求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，由韦达定理得，由由，得，，即，代入即可求解； （3）先求的周长，进而得，又，进而解得，即可求解. 【小问1详解】 （1）由题意有椭圆左焦点坐标为，则直线方程为， 所以解得或 ， 所以的坐标为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线，则的内切圆的半径为，又，为椭圆的焦点， 故的周长为，从而， 设，，则， 即， 由（2）两方程联立得， 得，化简得，解得或（舍去），故， 即存在直线满足题意. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $