精品解析：江苏省如东高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末模拟二

如东高级中学高一下学期期末模拟二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可. 【详解】易知. 故选：D. 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，解得. 故选：A. 3. 设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（    ） A. 如果，那么 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如果，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，因为，所以存在直线，使得， 又，所以或， 当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知， 所以由平行传递性可得； 当时，因为，，所以直线与直线重合，故. 综上，若，，则，故C正确； 对于D，若，，所以或， 当时，存在直线，使得， 又因为，所以，则； 当时，因为，所以. 综上，若，则，故D正确. 4. 如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】因点E是的中点，点D是的中点， 所以 . 5. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小. 【详解】如图所示，取底面圆心（即中点），连接. 因为是中点，是中点，所以是的中位线，得. 因此异面直线和所成的角，等于与所成的角. 圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为. 因为是弧的中点，所以， 由面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，因此，是直角三角形，直角在点. 设底面圆半径为，则，直径. 因为轴截面是等边三角形，所以， 由中位线性质得， 在中，，因此 ，得 ， 即异面直线和所成角为. 7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】中设，，， 因为，， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 又因为，所以， 又，所以， 在中，，，， 根据，所以，， ， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 为线段上的一点， 则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 所以的最小值为. 8. 在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若满足，的有两解，则a的取值范围为 B. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是 C. 若则是的外心 D. 若点O为内一点，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理和三角函数的性质求解；对于B，根据余弦定理和已知条件化简，求出，再用正弦定理对进行化简，根据的范围判断即可；对于C，由向量的数量积的运算及外心的定义判断；对于D，交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比. 【详解】对于A，，所以， 因为，要使有两解，则，所以，A正确； 对于B，因为，又， 所以，即，即， 所以， 即，即， 因为，所以，即 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，B正确； 对于C， 则， 所以，所以点在边的高线上，所以不一定是的外心，C错误； 对于D，若点O为内一点，且， 延长交于点，故存在实数，使得， 由于在直线上，故，从而，即， 所以，故，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选择中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度，先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得.在点后移至点，测得仰角为，则山高的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先设出，并表示出其他相关边长，再利用余弦定理建立方程求解得到A，利用建立方程得到C，D即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以； 在中，， 由余弦定理得， 解得，故A正确， 因为，所以，同理可得， 因为，所以， 解得或，故C，D正确. 故选：ACD 10. 在锐角中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出. 【详解】对于选项A： 因为， 所以① ②， 所以，所以A正确； 对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确； 对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C错误； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 正三棱柱的外接球表面积为 B. 周长的最小值为 C. 棱上总存在点，使得直线平面 D. 为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，先求出正三棱柱底面正三角形的外接圆半径，根据外接球球心在上下底面中心连线的中点求出外接球半径，代入球表面积公式计算验证结论；对B，将正三棱柱两个相邻侧面展开为平面，利用两点之间线段最短得到的最小值，结合固定边长计算的最小周长验证结论；对C，在侧面中作，交于，在侧面过作的平行线交于，则点满足平面；对D，先计算正三棱柱总体积，再用割补法求出平面截得的较大部分体积，最终计算验证结论. 【详解】对于A：正三棱柱外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点， 底面正三角形边长为4，其外接圆半径​​； 正三棱柱高，球心到底面距离，因此外接球半径满足：， 外接球表面积，A正确； 对于B： 中，为定值，周长最小时最小， 将侧面与侧面翻折到同一平面内，连接，则的最小值为， ，因此周长最小值为 ，B错误； 对于C：在侧面内，过作，交于， 在侧面内，过作交于，， 所以平面平面，平面，所以平面 ，C正确； 对于D：正三棱柱总体积 ，是中点，取中点， 连接，则是边长为的等边三角形，取中点，则， 又由平面可知，，所以平面， 较小体积 ， 因此：，​ D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 13. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 【答案】 【解析】 【分析】构造一个过且平行于平面的平面，该平面与侧面的交线即为点的运动轨迹. 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接，连接， 由，，得，又，得四边形是平行四边形， 则，平面，平面， 因此平面； 又，，得，平面，平面， 因此平面，又平面，平面，， 则平面平面，而侧面，平面， 于是平面，则点在侧面与平面的交线上， 即点的轨迹为线段，又，所以点在侧面上的轨迹长度为. 14. 已知，，是平面内的三个单位向量，且，，两两的夹角相等，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】依题意它们两两的夹角为或，分两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为，，两两的夹角相等，所以它们两两的夹角为或． 当夹角为时，； 当夹角为时，，从而． 故答案为：或 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用三角形的面积公式求解. （2）（方法一）联立方程组计算出的值，利用余弦定理求出，从而求出的周长.（方法二）由余弦定理及，求出，从而求出的周长. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以的面积为. 【小问2详解】 （方法一）由，得或， 由余弦定理，得， 解得. 故的周长为. （方法二）由余弦定理， 得， 解得. 故的周长为. 16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【小问1详解】 证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. 【小问2详解】 在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 17. （1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 【答案】（1）（i）， ；（ii）；（2）最小值为 【解析】 【分析】（1）（i）依托向量线性运算的坐标相等构建方程组求解参数； （ii）利用向量平行的坐标判定公式建立方程求实数； （2）将向量模长表达式转化为二次函数，借助二次函数性质求解最小值. 【详解】（1）（i）由，代入向量坐标得， 可得方程组，解得，. （ii）由（i）得，故，则，， 由两向量平行的坐标关系得， 化简得，解得. （2）由，，得， 则， 令，其对称轴为， 当时，， 因此，的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又 平面，所以. 又，，，平面，所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可． （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可． （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角． 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取中点，连接，， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，，所以， 所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中， 在中， 在中， 由余弦定理可得，即， 化简得，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 19. A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． （1）若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； （2）若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； （3）若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案； （2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案； （3）由题目条件可得，结合向量知识可得， 又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案. 【小问1详解】 由题目所给信息，又D在线段BC外，则， 如图，因三角形ABC为等边三角形，， 则， 从而，， 则； 【小问2详解】 因，则D在线段BC内， 则， 因，则. 则， 则， 从而， 当且仅当时取等号； 【小问3详解】 因，则D在线段BC内. 则 又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线， 垂足分别为E，F，则， 则，又注意到，则， 从而，则， 从而， 则， 又，则. 则， 由正弦定理得， 由和差化积公式：， 则. 由积化和差公式：. 注意到，则，则当时， ，即， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 如东高级中学高一下学期期末模拟二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（    ） A. 如果，那么 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若满足，的有两解，则a的取值范围为 B. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是 C. 若则是的外心 D. 若点O为内一点，且，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选择中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度，先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得.在点后移至点，测得仰角为，则山高的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 在锐角中，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 正三棱柱的外接球表面积为 B. 周长的最小值为 C. 棱上总存在点，使得直线平面 D. 为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若复数，则实数的取值为__________. 13. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 14. 已知，，是平面内的三个单位向量，且，，两两的夹角相等，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求的面积； （2）若，求的周长. 16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：平面． 17. （1）已知平面向量，，，. （i）若，求和的值； （ii）在（i）的条件下，若，求实数的值； （2）已知，若，求的最小值. 18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． （1）若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； （2）若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； （3）若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $