2025年高二数学秋季开学摸底考（人教B版2019）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A D B D A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BC BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12． 13．4 14．米 平方米. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）当且时, ,即， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 所以， 所以；（6分） （2），， 则，又，， 所以，解得，所以， 则， 即与夹角的余弦值为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）；（4分） （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ；（9分） （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题设，易知，又为等腰直角三角形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以平面PAE⊥平面PBF；（4分） （2）如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点， 由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB， ∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角， 由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE， 又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，（7分） 设，则，，，， 故二面角的正弦值为；（10分） （3）由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则， 故四棱锥的体积为1.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意得． 由， 得， 所以的单调递增区间为．（4分） （2）由，得，由，得． 当，即时，是增函数，所以． 当，即时，先增后减，所以． 当，即时，先增后减，所以． 综上，当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为．（10分） （3） ． 由，得，得或， 即或． 因为，所以或或或． 故在上的零点之和为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴．（5分） （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为.（10分） （3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以 因为， 所以 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$试题 第 1页（共 6页） 试题 第 2页（共 6页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修第三册+必修第四册+空间向量与立体几何 第一部分（选择题 共 58分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知 i是虚数单位，则复数 2021 1 2i i z  ，在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知两个单位向量 1e  ， 2e  的夹角为120，则    1 2 2 12e e e e        （ ） A． 3 2 B．3 C． 5 2 D．5 3．已知 ， 是两个不同的平面， l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A．若 / / ， l  ，m  ，则 //l m B．若  ， l  ，则 l  C．若 l  ，  ，则 //l  D．若 l ∥ ，m  ，则 l m 4．若 π 3cos 4 5       ，则 sin2 （ ） A． 7 25 B． 7 25  C． 1 5  D． 1 5 5．已知函数 ( ) 3 sin 2 cos 2f x x x  ，把函数 ( )f x 的图象沿 x轴向左平移 6  个单位，得到函数  g x 的图象， 关于函数  g x ，下列说法正确的是（ ） A．在 , 4 2       上是增函数 B．其图象关于直线 4 x   对称 C．函数  g x 是奇函数 D．在区间 2, 6 3       上的值域为[-2,1] 6．平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD为正方形， 1 1 π 3 A AD A AB   ， 1 1AA AB  ，E为 1 1C D 的中点，则异面直线 BE和 DC所成角的余弦值为（ ） A．0 B． 3 2 C． 12 D． 3 4 7．如图，在四边形 ABCD中， 2AC   ， 3CD   ， 30ACD  o，E为线段 AC的中点， 2DE EB   ，则 DA DB    （ ） A．3 B． 3 3 2 C． 3 4 D． 3 2 8．在 ABCV 中，设角A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，且      sin sin sinc b C a b A B    ， 2 3a  ， 则 ABCV 面积的最大值为（ ） A．2 B． 2 3 C． 3 D．4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知空间中三点 (0,1,0)A ， (2,2,0)B ， ( 1,3,1)C  ，则（ ） A． AB   AC  B． AB  与 BC  夹角的余弦值是 55 11 C．直线 AB的一个方向向量是  2, 1,0  D．平面 ABC的一个法向量是 (1, 2,5) 10．在 ABCV 中， π2, 6, , 3 AB AC BAC D    是边 BC上的一点，则（ ） A． 6 3AB AC    B． 2 7BC  试题 第 3页（共 6页） 试题 第 4页（共 6页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … C．若 2DC BD   ，则 2 1 3 3 AD AB AC     D．若 AD是 BAC 的平分线，则 3 3AD  11．如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，M为 1DD 的中点，F为侧面 1 1AAD D内一动点，且 1 //B F 平面 1BC M，过 1, ,A M C 三点作正方体截面，则（ ） A．动点 F的轨迹长为 2 2 B．三棱锥 1D DCB 的外接球表面积为12 C．三棱锥 1F BC M 的体积为 4 3 D．若 Q为上一点，则线段 1AQ长度的取值范围为 2 6[ 2 2] 3 ， 第二部分（非选择题 共 92分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．若复数  2 6 iz m m m    （其中 i为虚数单位），当 z对应的点在第三象限时，则实数m的取值范围 为 ． 13．已知三棱锥 P ABC 的体积为6，M 是空间中一点， 1 2 4 15 15 15 PM PA PB PC        ，则三棱锥 A MBC 的体积是 . 14．某地进行老旧小区改造，有半径为 60米，圆心角为 3  的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一 块三角形绿地 PQR，其中 P在BC上，PQ AB ，垂足为Q，PR AC ，垂足为 R，设 0, 3 PAB         ， 则 PQ  （用 表示）；当 P在BC上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量    3 4 3a b x    ，， ， . (1)当    a b a b     且 0x  时，求 a b  ; (2)当    3 7 / /c a b c   ，， 时，求 a与b夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 的底面 ABCD为正方形，棱长都为 2，且 1 1 60A AD A AB    ， 设 1AA a   ， AB b   ， AD c   ，M ，N 分别是棱 1AA， BC的中点，点 P为棱 1 1C D上的动点. (1)用a，b  ， c表示 1AN  ； (2)若 P为棱 1 1C D的中点，求 1MP NC   ； (3)是否存在点 P，使 1AP A N ，若存在，试确定点 P的位置，若不存在，请说明理由. 试题 第 5页（共 6页） 试题 第 6页（共 6页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 号 ： __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 17．（15分） 如图 1，在等腰梯形 ABCD中，AB∥CD， 45C   ，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿 AE，BF折起，使得点 D、C重合(记为点 P)，形成图 2，且△PEF是等腰直角三角形. (1)证明：平面 PAE⊥平面 PBF； (2)求二面角 P AB F  的正弦值； (3)若 2AB  ，求四棱锥 P ABFE 的体积. 18．（17分） 将函数   πsin 6 g x x      图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 （纵坐标不变），再将得到的图象上所 有的点向左平移 π 6 个单位长度，得到函数  f x 的图象． (1)求  f x 的解析式及单调递增区间； (2)讨论  f x 在 π π π, 12 12 2 m m            上的值域； (3)求函数      3 1h x g x f x   在 0,4π 上的零点之和． 19．（17分） 在锐角 ABCV 中，角A， B，C的对边为 a，b， c，若 2c  ，     2 sin sin sinb C B a b A    . (1)求角C的大小； (2)若E为 AB的中点，且 3CE  ，求 ABCV 的面积S； (3)如图，过A点在 ABCV 所在平面内作 AD AB ，且满足 2π 3 ADC  .求线段 AD DC 的最大值. 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修第三册+必修第四册+空间向量与立体几何 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 3．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．其图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．在区间上的值域为 6．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 8．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间中三点，，，则（ ） A． B．与夹角的余弦值是 C．直线的一个方向向量是 D．平面的一个法向量是 10．在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（    ） A．动点F的轨迹长为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．三棱锥的体积为 D．若Q为上一点，则线段长度的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 13．已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 14．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)当且时，求; (2)当时，求与夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 17．（15分） 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. (1)证明：平面PAE⊥平面PBF； (2)求二面角的正弦值； (3)若，求四棱锥的体积. 18．（17分） 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)讨论在上的值域； (3)求函数在上的零点之和． 19．（17分） 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】复数，在复平面内对应的点， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【解析】因为两个单位向量，的夹角为， 所以， 所以. 故选：A 3．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，，则或者异面，故A错误， 对于B，若，，且与，的交线垂直，才有，否则与不一定垂直，故B错误， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：D 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 且， 故选：B. 5．已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．其图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．在区间上的值域为 【答案】D 【解析】，沿轴向左平移个单位， 得． 对于A，当，单调递减，所以选项A错误； 对于B，，则图象关于对称，所以选项B错误； 对于C，是偶函数．所以选项C错误； 对于D，当，则，所以D正确， 综上可知，正确的为D. 故选：D． 6．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 7．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：C. 8．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间中三点，，，则（ ） A． B．与夹角的余弦值是 C．直线的一个方向向量是 D．平面的一个法向量是 【答案】ACD 【解析】由，，， 得， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以向量与平行， 所以直线的一个方向向量是，故C正确； 对于D，因为，所以不共线， 设， 则， 所以， 所以是平面的一个法向量，故D正确. 故选：ACD. 10．在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 【答案】BC 【解析】对于选项A ：，故选项 A 错误； 对于选项B：由余弦定理，得，解得，故选项B正确； 对于选项C：因为，所以，所以，故选项C正确； 对于选项D：由等面积法，得 ， 即，解得，故选项D错误； 故选：BC 11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（    ） A．动点F的轨迹长为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．三棱锥的体积为 D．若Q为上一点，则线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于A，如图，分别取的中点，连接， 因为为的中点，易得， 则得四边形是平行四边形，故， 因平面，平面，故平面， 又因，，则得四边形是平行四边形， 故，又因为，故， 因平面，平面，故平面， 又，平面，故平面平面， 又因平面，故平面，故点的轨迹为线段， 又，所以动点F的轨迹长为，故A错误； 对于B，由题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因正方体的棱长为2， 则其外接球的直径为，故三棱锥的外接球表面积为，故B正确； 对于C，由A项分析，点的轨迹为线段，因平面， 故平面，则点到平面的距离即为到平面的距离， 过点作于，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 易得，又，所以， 所以， 所以 ， 所以三棱锥的体积为，故C正确； 对于D，如图，设平面与平面交于，点在上， 因平面平面，平面平面，故， 同理可证，即得是平行四边形，故点为的中点. 在四棱锥中，显然侧棱最长，其长度为； 设四棱锥的高为，因，故四边形是菱形， 则的边上的高为面对角线长的一半，为，又， 故，而， 由，可得：， 代值解得，综上，可知线段长度的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 13．已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【解析】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 14．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 . 【答案】 米 平方米. 【解析】在中，，AP=60米， ∴（米）， 在中，可得， 由题可知， ∴的面积为： ， 又，， ∴当，即时，的面积有最大值平方米， 即三角形绿地的最大面积是平方米. 故答案为：米；平方米. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)当且时，求; (2)当时，求与夹角的余弦值. 【解析】（1）当且时, ,即， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 所以， 所以；（6分） （2），， 则，又，， 所以，解得，所以， 则， 即与夹角的余弦值为.（13分） 16．（15分） 如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）；（4分） （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ；（9分） （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点.（15分） 17．（15分） 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. (1)证明：平面PAE⊥平面PBF； (2)求二面角的正弦值； (3)若，求四棱锥的体积. 【解析】（1）由题设，易知，又为等腰直角三角形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以平面PAE⊥平面PBF；（4分） （2）如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点， 由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB， ∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角， 由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE， 又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，（7分） 设，则，，，， 故二面角的正弦值为；（10分） （3）由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则， 故四棱锥的体积为1.（15分） 18．（17分） 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)讨论在上的值域； (3)求函数在上的零点之和． 【解析】（1）由题意得． 由， 得， 所以的单调递增区间为．（4分） （2）由，得，由，得． 当，即时，是增函数，所以． 当，即时，先增后减，所以． 当，即时，先增后减，所以． 综上，当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为． 当时，在上的值域为．（10分） （3） ． 由，得，得或， 即或． 因为，所以或或或． 故在上的零点之和为．（17分） 19．（17分） 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【解析】（1）因为，， 所以，即， 由余弦定理得， 又，∴．（5分） （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以， 面积为.（10分） （3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则， 则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以 因为， 所以 又，所以， 所以当，即时，有最大值，最大值为.（17分） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5分，共 40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：必修第三册+必修第四册+空间向量与立体几何 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知两个单位向量，的夹角为，则（    ） A． B．3 C． D．5 3．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，把函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．其图象关于直线对称 C．函数是奇函数 D．在区间上的值域为 6．平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 7．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 8．在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间中三点，，，则（ ） A． B．与夹角的余弦值是 C．直线的一个方向向量是 D．平面的一个法向量是 10．在中，是边上的一点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若是的平分线，则 11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，F为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（    ） A．动点F的轨迹长为 B．三棱锥的外接球表面积为 C．三棱锥的体积为 D．若Q为上一点，则线段长度的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 13．已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 14．某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)当且时，求; (2)当时，求与夹角的余弦值. 16．（15分） 如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 17．（15分） 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形. (1)证明：平面PAE⊥平面PBF； (2)求二面角的正弦值； (3)若，求四棱锥的体积. 18．（17分） 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象． (1)求的解析式及单调递增区间； (2)讨论在上的值域； (3)求函数在上的零点之和． 19．（17分） 在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$