第09讲 椭圆的标准方程（4知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第09讲 椭圆的标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景； 2．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程； 3．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 知识点1 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． （24-25高二上·陕西西安·月考）“平面内存在两个定点，使得一动点满足到这两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 知识点2 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数．图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 （24-25高二下·重庆·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D．4 知识点3 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； （23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 知识点4 点与椭圆的位置关系 1、焦点三角形的定义 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2、焦点三角形的两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． （24-25高二上·江苏无锡·期中）已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 考点一：椭圆的定义及其辨析 例1．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知椭圆，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为 . 【变式1-1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【变式1-3】（24-25高二上·河南周口·月考）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 考点二：求椭圆的标准方程 例2.（24-25高二上·广东中山·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·天津·月考）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【变式2-3】（24-25高二上·陕西榆林·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 考点三：椭圆方程的参数问题 例3.（24-25高二上·天津红桥·月考）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·福建福州·月考）已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【变式3-3】（24-25高二下·上海松江·月考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 考点四：利用定义解决焦三角问题 例4.（24-25高二下·广西南宁·月考）已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【变式4-1】（24-25高二上·广东阳江·月考）若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·四川达州·月考）已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【变式4-3】（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 考点五：利用定义解决最值问题 例5.（24-25高二上·江苏·月考）已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式5-1】（24-25高二下·河南·月考）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【变式5-2】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 考点六：与椭圆有关的轨迹问题 例6.（24-25高二上·甘肃张掖·月考）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式6-2】（24-25高三上·广西·月考）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·月考）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（    ） A．49 B．48 C．25 D．24 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·重庆·月考）已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（    ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点，延长交E于点B，延长交E于点C，则（    ）． A．的面积为 B．的周长为8 C． D．A到直线BC的距离为2 三、填空题 9．（24-25高二上·宁夏银川·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 10．（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 11．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 13．（24-25高二上·北京·月考）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 椭圆的标准方程 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景； 2．掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程； 3．会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． 知识点1 椭圆的定义 1、椭圆的定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距． 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、对定义的理解：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． （24-25高二上·陕西西安·月考）“平面内存在两个定点，使得一动点满足到这两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”； 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． ∴“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：D． 知识点2 椭圆的标准方程 1、椭圆标准方程的推导 （1）怎样建立适当的直角坐标系？ 以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1． （2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？ 设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）. 焦点的坐标分别是， 又设M与的距离的和等于常数．图1 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 （3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？ 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2、椭圆的标准方程对比 （24-25高二下·重庆·月考）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由椭圆的一个焦点坐标为，得.故选：C 知识点3 点与椭圆的位置关系 1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外； 点在椭圆内； 点在椭圆上； （23-24高二上·河南南阳·月考）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内，故选：B 知识点4 点与椭圆的位置关系 1、焦点三角形的定义 椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2、焦点三角形的两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：（余弦定理）． （24-25高二上·江苏无锡·期中）已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 【答案】8 【解析】已知是椭圆的左右焦点， 若直线过焦点，且与椭圆交于， 根据椭圆定义可知，， 所以的周长. 考点一：椭圆的定义及其辨析 例1．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知椭圆，若上一点到一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离为 . 【答案】3 【解析】由椭圆的定义，，所以到另一个焦点距离为3. 【变式1-1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【解析】∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段，故选：C． 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课前预习）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆. 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段.故选：D 【变式1-3】（24-25高二上·河南周口·月考）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【解析】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确；故选：CD. 考点二：求椭圆的标准方程 例2.（24-25高二上·广东中山·月考）平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由两点间距离公式，条件表示的几何意义为 点到与的距离之和：， 又，根据椭圆的定义，点在以和为焦点的椭圆上， 可设标准方程为：, 由，，根据,求出, 得到轨迹方程为：.故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，， 所以椭圆的方程为.故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·天津·月考）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【解析】由题意可知，，，即，，， 所以椭圆的标准方程为 或 .故选：B 【变式2-3】（24-25高二上·陕西榆林·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，点是上一点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 又是椭圆上一点，所以，解得1， 故椭圆的方程为，故选：C. 考点三：椭圆方程的参数问题 例3.（24-25高二上·天津红桥·月考）已知曲线表示椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 ，解得或.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【解析】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得.故选：. 【变式3-2】（24-25高二上·福建福州·月考）已知椭圆的焦点在轴上，且焦距为4，则（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【解析】因为表示焦点在轴上且焦距为的椭圆， 所以，解得，故选：C. 【变式3-3】（24-25高二下·上海松江·月考）“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【解析】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件，故选：B. 考点四：利用定义解决焦三角问题 例4.（24-25高二下·广西南宁·月考）已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【解析】由题意知：椭圆中， 所以的周长为故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·广东阳江·月考）若椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，，则， 在中，由余弦定理可得， ，所以.故选：B． 【变式4-2】（24-25高二上·四川达州·月考）已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意，，，， 中，， 所以， ∴， 所以. 【变式4-3】（24-25高二上·山西太原·月考）已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一点，且，则的值为 ． 【答案】 【解析】椭圆，则，，， 所以， 又，由余弦定理， 即， 所以，所以. 考点五：利用定义解决最值问题 例5.（24-25高二上·江苏·月考）已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以， 当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为，故选：D． 【变式5-1】（24-25高二下·河南·月考）已知椭圆的右焦点为，为上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【解析】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为， 故在椭圆内， 所以， 当在线段上时，等号成立.故选：B. 【变式5-2】（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为.故选：C. 【变式5-3】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知是曲线：上的动点，是圆：上的动点，，则的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为曲线：可化为，为椭圆， 则，故椭圆左焦点，右焦点， 又圆：的圆心恰好是，则， 又在椭圆中，有，， 所以， 当且仅当点在线段与椭圆的交点处， 点在线段的延长线与圆的交点处，等号成立.故选：D. 考点六：与椭圆有关的轨迹问题 例6.（24-25高二上·甘肃张掖·月考）在圆上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以三点共线，所以设． 因为，所以，所以． 因为点在圆上，将点代入， 得，所以，故选：A． 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【解析】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为.故选：C. 【变式6-2】（24-25高三上·广西·月考）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知圆和， 可知，，，，且， 又动圆与圆内切，同时与圆外切， 则，，所以， 所以动点到两个定点，的距离之和为定值，即满足椭圆的定义， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且长轴长度，焦距，即，，所以， 椭圆方程为，故选：C 【变式6-3】（24-25高二上·重庆·期中）已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为，故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·月考）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有：解得：故选：A. 2．（24-25高二上·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以，整理得， 则点的轨迹方程为故选：A. 3．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知椭圆，焦点是，，动点P在椭圆上，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：C. 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知是椭圆：上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（    ） A．49 B．48 C．25 D．24 【答案】D 【解析】由椭圆方程可知：，，， 所以作图如下： ∴由椭圆的性质可知，由，∴，， ∴， ∴， ∴，故选：D. 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图, 由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为.故选：B. 二、多选题 6．（24-25高二上·重庆·期末）已知点，动点满足，且动点的轨迹是椭圆，则点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由已知可得， 即点在以为圆心为半径的圆内，且点，不重合， 即点在圆内， 由，在圆内， 在圆上，在圆外， 可知AC选项正确；故选：AC. 7．（24-25高二下·重庆·月考）已知点，，，，点P为曲线C：上一点，则（    ） A．存在无数个点P，使得为定值 B．存在无数个点P，使得为定值 C．仅存在2个点P，使得 D．仅存在4个点P，使得 【答案】ABD 【解析】由曲线C：， 可知曲线为：椭圆和椭圆， 易知，为的焦点，，，为的焦点， 存在无数个点P，使得为定值，存在无数个点P， 使得为定值，故AB正确； 由图象可知：两椭圆共有4个交点， 所以仅存在4个点P，使得，故C错，D对，故选：ABD 8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点，延长交E于点B，延长交E于点C，则（    ）． A．的面积为 B．的周长为8 C． D．A到直线BC的距离为2 【答案】AC 【解析】 ，的面积为，故A正确； 周长为8，由，故的周长大于8，故B错误； 利用椭圆性质，由， ，故C正确； ，而，故A到直线BC距离为，故D错误； 当然也可以由不垂直到直线BC的距离小于2．故选：AC. 三、填空题 9．（24-25高二上·宁夏银川·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为方程所表示的曲线是椭圆， 所以满足，解得或, 因此的取值范围为. 10．（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【解析】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ，. 11．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，O为坐标原点．直线与椭圆相交于M，N两点，满足，则点M坐标为 ． 【答案】 【解析】由，则，则， 又，所以，则点N为下顶点． 由余弦定理， 所以 所以，则， 所以椭圆方程为，则点， 又，所以． 四、解答题 12．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为， 13．（24-25高二上·北京·月考）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：，则， ∵，∴，∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设，则， 点到直线的距离 ∴ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$