专题02 简易逻辑题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题02 简易逻辑题型归类 目录 类型一、判断真假命题求参 类型二、充分不必要条件求参数 类型三、必要不充分条件求参数 类型四、充要条件综合型 类型五、多重充分必要条件型 类型六、命题的否定 类型七、全称命题（恒成立型）求参 类型八、特称命题成立（存在型）求参 类型九、充要条件综合题 类型十、新定义型 压轴专练 类型一、判断真假命题求参 判断命题的真假，是属于考察知识交汇处的题型，它涉及到高中数学几乎全部的知识点，一般情况下，有以下方向解题思维： 1.直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断 2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。 例1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1-2． （24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 变式1-3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 类型二、充分不必要条件求参数 充分不必要于必要不充分条件判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立。 反过来，若q成立时，能否推出p成立； 若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断。 如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 简单通俗说“大是小的必要条件” 例2、（2022·河南·模拟预测）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2-1． （2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-2． （24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三、必要不充分条件求参数 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件 用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． (3)充分必要条件与集合包含之间的关系． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件。 例3．（2025·黑龙江·一模）已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．（24-25高二下·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2． （24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3-3． （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型四、充要条件综合型 充要条件，主要体现在方程与不等式的恒等变形等题型中。： (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 例4．（2018高二上·全国·专题练习）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ． 变式4-1． （15-16高一上·上海闵行·期中）已知函数（），写出的充要条件 . 变式4-2． （22-23高一·全国·阶段练习）设集合，，则的充要条件是 ． 变式4-3． （23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）集合,,则的充要条件是 类型五、多重充分必要条件型 多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。 判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性 例5．（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 变式5-1． （23-24高二上·江西南昌·期中）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的 条件．在充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件，既非充分又非必要条件中选一个填上 变式5-2．（20-21高一·全国·课后作业）若A是B的必要非充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分非必要条件，则C是A的 条件，D是A的 条件． 变式5-3． （21-22高一·全国·课后作业）若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α的 条件． 类型六、命题的否定 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 例6．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 变式6-1．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知命题，；命题，，则 A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 变式6-2． （24-25高一上·浙江温州·期中）甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员 甲说：“冠军是李亮或张正” 乙说：“冠军是林帅或张正” 丙说：“林帅和李亮都不是冠军” 丁说：“陈奇是冠军”． 结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（   ） A．林帅 B．李亮 C．陈奇 D．张正 变式6-3． （24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（   ） A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭 C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭 类型七、全称命题（恒成立型）求参 求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)． 要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 例7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-2． （21-22高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 变式7-3． （20-21高二上·山西太原·期末）已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型八、特称命题成立（存在型）求参 例8．（24-25高一下·四川眉山·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式8-1． （24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-2． （24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 变式8-3． （22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型九、充要条件综合题 例9．（21-22高二上·江西赣州·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 变式9-1． （21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 变式9-2．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 变式9-3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 （取值范围用区间表示）. 类型十、新定义型 涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 例10．．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 变式10-1． （24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 变式10-2．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 变式10-3． （24-25高二上·北京·阶段练习）已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 压轴专练 一、单选题 1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 8．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（24-25高二下·江西·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”的否定是“” D．“”是真命题 11．（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 13．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 简易逻辑题型归类 目录 类型一、判断真假命题求参 类型二、充分不必要条件求参数 类型三、必要不充分条件求参数 类型四、充要条件综合型 类型五、多重充分必要条件型 类型六、命题的否定 类型七、全称命题（恒成立型）求参 类型八、特称命题成立（存在型）求参 类型九、充要条件综合题 类型十、新定义型 压轴专练 类型一、判断真假命题求参 判断命题的真假，是属于考察知识交汇处的题型，它涉及到高中数学几乎全部的知识点，一般情况下，有以下方向解题思维： 1.直接法：应用所学过的基本事实和定理进行判断 2.反例法：举出命题所涉及到的知识中的反例即可。 例1．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）设，命题的定义域是R，命题的值域是R，设命题中至少有一个是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别分析命题和命题成立时的取值范围，再根据命题，中至少有一个是真命题，求出的取值范围. 【详解】命题：，的定义域是， 即对于任意，恒成立. 当时，不恒成立. 当时，二次函数要恒大于， 则需满足. 解不等式，可得. 所以当命题为真时，. 命题：，的值域是， 这意味着能取遍所有大于的值. 当时，能取遍所有大于的值. 当时，二次函数的图象开口向上， 要使其能取遍所有大于的值，则需， 解不等式可得，即. 当时，二次函数的图象开口向下，不能取遍所有大于的值， 所以当命题为真时，. 命题，中至少有一个是真命题的反面是，都为假命题. 当为假命题时，；当为假命题时，或. 所以，都为假命题时，. 那么命题，中至少有一个是真命题时，，即. 故选：D. 变式1-1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 变式1-2． （24-25高一上·上海·阶段练习）设全集，集合A，B是R的两个子集，对于任意，定义，，给出下列两个命题： ①对于任意，都有； ②对于任意，都有. 则（   ） A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】根据题意确定，的取值，得出与集合，的关系，判断命题是否正确. 【详解】命题①对于任意，都有； 若，则即，,或，，，即， 若，则时即即， 或时即即，故总有， 故命题①为真命题； 命题②对于任意，都有. 若，则，而，故即，故； 若，则当，一定成立，即，此时， 当时，，此时也成立， 故命题②为真命题； 故选：A. 变式1-3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则． 类型二、充分不必要条件求参数 充分不必要于必要不充分条件判断 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立。 反过来，若q成立时，能否推出p成立； 若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件． (2)也可利用集合的关系判断。 如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 简单通俗说“大是小的必要条件” 例2、（2022·河南·模拟预测）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 变式2-1． （2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 变式2-2． （24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 变式2-3．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，设， 或，设或， 是的充分不必要条件，故是的真子集， 故或，解得或， 故选：B 类型三、必要不充分条件求参数 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件 用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解． (3)充分必要条件与集合包含之间的关系． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件。 例3．（2025·黑龙江·一模）已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的包含关系，分类讨论时， 的解集即可求解； 【详解】是上的增函数，得， 考虑 当时，等价于得：. 当时，等价于， 当时，由，可得：，又，此时解集为， 也即的解集为符合题意； 当时，由，可得：，又，此时解集为， 也即的解集为，不符合题意； 当时，由，可得：，又，此时解集为， 也即的解集为，符合题意； 综上可知：的取值范围是. 故选：B 变式3-1．（24-25高二下·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式化简、，结合是的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可. 【详解】由，解得或， 即：“或”， 由，即，解得， 所以：“”， 因为是的必要不充分条件， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：B 变式3-2． （24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，确定集合，通过讨论的范围，确定集合，根据题意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式组，即可求得答案． 【详解】由题可知，， 若，则， 若时，则. 因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立， 当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且， 综上所述：. 故选：B. 变式3-3． （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 类型四、充要条件综合型 充要条件，主要体现在方程与不等式的恒等变形等题型中。： (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 例4．（2018高二上·全国·专题练习）已知两个关于x的一元二次方程和，两方程的根都是整数的充要条件为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念、一元二次方程由实数根，求得，根据两方程的根是整数，则其根的和与积也为整数列式，由此求得的值. 【详解】因为是一元二次方程，所以． 又另一方程为，且两方程都要有实根， 所以，解得． 因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数， 所以，所以m为4的约数．又，所以或． 当时，第一个方程的根为非整数； 而当时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是． 故答案为： 【点睛】本小题主要考查充要条件的求法，属于中档题. 变式4-1． （15-16高一上·上海闵行·期中）已知函数（），写出的充要条件 . 【答案】或 【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可． 【详解】若， 则当，即或， 当时，不等式等价为，满足条件， 当时，不等式等价为，，不满足条件， 当时，要使，则，解之得：或， 综上：或，反之也成立.故答案为：或. 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查二次函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 变式4-2． （22-23高一·全国·阶段练习）设集合，，则的充要条件是 ． 【答案】， 【分析】因为，所以是方程的根，也是方程的根，通过代入得到关于，的方程组，解出，，再说明当和时，能够满足. 【详解】由，可知，，于是 解得此时，，符合． 故的充要条件是，故答案为：， 变式4-3． （23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）集合,,则的充要条件是 【答案】 【分析】是圆心在处,半径为的圆内及圆上的点的集合；表示的点的集合是以为中心,边长为的正方形,由,则圆在正方形内部,进而求解即可 【详解】由题,是圆心在处,半径为的圆内及圆上的点的集合； 表示的点的集合如图所示的以为中心,边长为的正方形, 若,即圆在正方形内部, 当圆为正方形的内切圆时,即,故,故答案为: 【点睛】本题考查由充要条件求参数范围,考查数形结合思想,考查点集的概念 类型五、多重充分必要条件型 多重复杂的充分必要条件之间传递变化判断， 可以借助类似如下“地图”一样来判断 。 判断方法是，根据箭头是否能“往返”或者“转圈”推导，以此判断冲分析与必要性 例5．（24-25高一上·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 变式5-1． （23-24高二上·江西南昌·期中）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的 条件．在充分非必要条件，必要非充分条件，充要条件，既非充分又非必要条件中选一个填上 【答案】充分不必要条件 【分析】先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充分必要条件的定义，判断出结论． 【详解】甲乙，乙丙，丙丁 甲丁 故甲是丁的充分不必要条件 故答案：充分不必要条件 【点睛】解决一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者是否能推出后者；反之后者是否能推出前者，利用充分必要条件定义进行判断． 变式5-2．（20-21高一·全国·课后作业）若A是B的必要非充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分非必要条件，则C是A的 条件，D是A的 条件． 【答案】 充分非必要条件 充分非必要条件 【分析】由题意，利用推出符号表示出、、C、D之间的关系，从而即可求解. 【详解】解：由题意，可得， 所以C是A的充分非必要条件，D是A的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要条件；充分非必要条件. 变式5-3． （21-22高一·全国·课后作业）若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】先由已知条件，转化为相互间的推出关系，利用充分必要条件的定义，判断得出结论． 【详解】解：∵α是β的必要非充分条件，∴β⇒α，不能推出； ∵β是γ的充要条件，∴β⇔γ； ∵γ是δ的必要非充分条件，∴δ⇒γ，不能推出； ∴δ⇒α，不能推出， 故δ是α的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 类型六、命题的否定 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 例6．（22-23高一上·浙江·期中）命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解. 【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题 故否定形式是，都有. 故选：D 变式6-1．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知命题，；命题，，则 A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】根据不等式的性质得为p真命题，所以为假；找出实例证明q为真命题，所以为假；由此即可求解. 【详解】，，显然成立，所以p是真命题，是假命题． 当，时，，所以q是真命题，是假命题．故选：A 变式6-2． （24-25高一上·浙江温州·期中）甲、乙、丙、丁四位同学猜测校运会长跑比赛中最终获得冠军的运动员 甲说：“冠军是李亮或张正” 乙说：“冠军是林帅或张正” 丙说：“林帅和李亮都不是冠军” 丁说：“陈奇是冠军”． 结果出来后，只有两个人的推断是正确的，则冠军是（   ） A．林帅 B．李亮 C．陈奇 D．张正 【答案】C 【分析】根据选项依次判断四人的推断结果即可. 【详解】对A，若林帅获得冠军，则乙正确，甲、丙、丁都错误，故A错误； 对B，若李亮获得冠军，则甲正确，乙、丙、丁错误，故B错误； 对C，若陈奇获得冠军，则丙、丁正确，甲、乙错误，故C正确； 对D，若张正获得冠军，则甲、乙、丙正确，丁错误，故D错误. 故选：C 变式6-3． （24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）定义：已知集合满足，，都有，则称集合对于这种*运算是封闭的．下列论述错误的是（   ） A．若，则对于加法“＋”封闭 B．若，则对于减法“－”封闭 C．若，则对于乘法“×”封闭 D．若，则对于除法“÷”封闭 【答案】D 【分析】根据题设新定义，结合数的加减乘除性质判断各项正误. 【详解】A：任意两个自然数相加必是自然数，所以对于加法“＋”封闭，对； B：任意两个实数相减必是实数，所以对于减法“－”封闭，对； C：任意两个有理数相乘必是有理数，所以对于乘法“×”封闭，对； D：对于除数是0的情况，任何数除以0没有意义，故对于除法“÷”不封闭，错. 故选：D 类型七、全称命题（恒成立型）求参 求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值)． 要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假． 例7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 变式7-1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 变式7-2． （21-22高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解. 【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则即可得：， 综上所述：实数的取值集合是，故选：B. 变式7-3． （20-21高二上·山西太原·期末）已知命题：，是真命题，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得对于恒成立，讨论和即可求解. 【详解】若命题：，是真命题， 则对于恒成立， 当时，可得：不满足对于恒成立，所以不符合题意； 当时，需满足解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于对于恒成立，需讨论和，当时，结合二次函数图象即可得等价条件. 类型八、特称命题成立（存在型）求参 例8．（24-25高一下·四川眉山·期末）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找到命题成立的等价条件，再分析充分不必要条件. 【详解】∵，∴. 若命题“，”是真命题，则，即. 命题“，”是真命题的充分不必要条件对应的范围是的真子集，根据选项可知D选项符合题意. 故选：D. 变式8-1． （24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可. 【详解】由题意知“，”是真命题， 所以，解之可得, 所以的取值范围是. 故选：B 变式8-2． （24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 变式8-3． （22-23高一下·山西大同·阶段练习）已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】命题为真命题等价于不等式有解． 当时，不等式变形为，则，符合题意； 当时，，解得； 当时，总存在，使得； 综上可得实数的取值范围为． 故选：B 类型九、充要条件综合题 例9．（21-22高二上·江西赣州·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设集合或，或，由题意可得，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设集合或，或， 若是的必要条件，则， 当时，即时，此时，成立； 当时，即时，若，此时，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 变式9-1． （21-22高一上·上海宝山·期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 变式9-2．（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,．故答案为：,． 变式9-3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数m的取值范围是 （取值范围用区间表示）. 【答案】 【分析】是的必要条件可得，分类讨论，根据子集概念求解即可. 【详解】设， 若是的必要条件，则, （1）当时，即，此时，成立； （2）当时，即，若，此时， 解得，又，故无解. 综上，. 故答案为： 类型十、新定义型 涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 例10．．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中所有元素按从小到大顺序的一种排列，记集合. (1)已知集合，求的值； (2)已知集合，若，求的值； (3)已知，记集合或. （ⅰ）当时，证明：的充要条件是； （ⅱ）若，求的所有可能取值. 【答案】(1) (2)2 (3)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【分析】（1）根据集合的新定义分别求解的值即可； （2）由（1）得，从而得集合，先求解，从而得； （3）（ⅰ）先证充分性，设，从而得的元素，进而求得；再证必要性，设，其中，确定集合中的最小元素与最大元素，从而确定的元素，进而求解；（ⅱ）分别验证，，时，结合新定义判断即可. 【详解】（1）当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，； 综上，结合集合中元素的互异性，. （2）（2）由（1）知，且， 且同时成立，解得，所以， 又， 所以. （3）（3）（ⅰ）先证充分性.因为，所以，且. 从而可以设，其中， 此时中的元素为，故. 再证必要性.设，其中. 注意到和集中的最小元素为，最大元素为， 因为， 所以中间三个元素可以是，也可以是， 它们是对应相等的，所以有， 即. 故，得证. （ⅱ）①若，由（ⅰ）小问的分析知， 设，其中， 此时中的元素为，这与条件矛盾. ②取，其中， 容易验证此时中的元素为，符合条件，所以可以取2. （注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可.） ③若，设，其中. 结合知，，其中， 至少存在两个不同的正整数，使得. 不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数. 注意到 （*）， 这是中的个不同的元素. 根据的定义我们有， 即，（★） 当时，由的最小性知，即， 此时我们有， 因此，与（★）矛盾， 当时，有， 由此说明：是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 同理，根据的定义有是中的元素，但与（*）式中的个元素均不相等. 因为，所以，此时，矛盾. 注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素. 综上，的取值只能为2. 【点睛】关键点点睛： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决. 变式10-1． （24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． (1)已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； (2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ (3)试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 变式10-2．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件，理由见解析 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 变式10-3． （24-25高二上·北京·阶段练习）已知集合中至少有三个元素，如果，同时满足①；②;③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)若集合，判断是否具有性质； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)具有性质，不具有性质； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义条件，分别判断集合. （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）由存在三个互不相同的，使得均属于，证明满足性质P的三个条件；再证明集合具有性质，集合是集合的“期待子集”即可. 【详解】（1）集合具有性质，理由如下： 取，满足，，是偶数， 因此集合具有性质； 集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取或或，均有，不满足条件②， 所以不具有性质. （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令，解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”. （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质.   再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 压轴专练 一、单选题 1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知命题，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结果. 【详解】命题，为全称量词命题， 该命题的否定为，， 故选：D. 2．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 3．（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知有是的真子集，且是的真子集，即得是的真子集，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知方程有实数解，即，解得． 5．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 6．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A 7．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 8．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设为全集，，是集合，则“存在集合使得，”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】1.判断充分性 已知，所以. 又因为，即中的元素都在中.而中的元素都不在中， 所以和没有公共元素，即. 由此可知，当“存在集合使得，”时，能推出“”， 所以“存在集合使得，”是“”的充分条件. 2. 判断必要性 已知，即和没有公共元素.此时取集合， 那么对于全集，就是由所有不属于但属于的元素组成的集合.如图， 因为和没有公共元素，所以中的元素都不属于，即， 同时（即）.所以当“”时， 能推出“存在集合使得，”， 所以“存在集合使得，”是“”的必要条件. 则“存在集合使得，”是“”的充分必要条件. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江西·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”的否定是“” D．“”是真命题 【答案】ACD 【分析】根据子集与真子集概念易判断A，B项；运用带量词命题的否定要求易得C项；通过举例说明存在量词命题为真即可判断D项. 【详解】对于A，因集合是的真子集，故，故A正确； 对于B，设，满足，但，故B错误； 对于C，由全称量词命题的否定是存在量词命题，需要改变量词并否定结论，故C正确； 对于D，当时，，故D正确． 故选：ACD． 11．（24-25高一上·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合新定义结合一元二次方程逐个分析即可. 【详解】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 13．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若命题：，使得为假命题，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得为真命题，从而求得的范围. 【详解】因为命题为假命题，所以命题为真命题， ，， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$